Halla el área de la zona sombreada
Vložit
- čas přidán 29. 08. 2024
- Cómo calcular el área de la figura sombreada. Tenemos un triángulo rectángulo y en su interior un cuadrado, como se indica en la figura. Con los daros dados (dos segmentos que forman la hipotenusa del triángulo rectángulo) hay que hallar el área del cuadrado.
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15 u^2
No es necesario hacer tanto cálculo, basta aplicar T de Pitágoras en el pequeño triángulo superior donde aparece a, y usando la relación entre x con a, se consigue una ecuación que es lineal en A=x^2
@@albertogarcia4177 así lo realice yo y me tardé cerca de un minuto. Lastima que no puedo enviar la foto donde lo realicé. Pero si aplique Pitágoras y luego semejanza de triángulos
¡JUAN! Que libro me recomiendas donde vengan ejercicios así y los teoremas como los de tales y más cosas así. Saludos. Me encantan tus videos.
Discupe profe, no sé por qué razón interprete un caso particular. No tomé en cuenta que en realidad ERA un cuadrado. Usted tiene toda la razón.
Maestro Juan, excelente clase. Por favor, no borre los procedimientos, ojalá pudiera hacerse de una pizarra más grande para que le quepa todo sin borrar. Muchas gracias.
En unas semanas espero disponer de una pizarra que cubre toda una pared💪😈. Andres, gracias 🙏
Hola, siempre puedes hacer pausas en el vídeo para que puedas copiar los procedimientos.
Lo que pasa es que el profe Juan, es un poco claustrofóbico 😂
Pero puedes manejar el video, regresarlo, Pausarlo, copiar y adelantar.
Que malo
También se puede resolver por funciones trigonométricas, usando ley de cosenos se encuentra la relación entre las distancias (x y b) y con una tangente inversa el ángulo entre la hipotenusa y el lado (x+b) y con ese ángulo se encuentra el valor del lado x, como 2cos(ángulo encontrado) o 3 sin(ángulo encontrado) y hallando el lado se multiplica por el mismo y listo, área encontrada
¿cual de las formas es más rápida?
Soy de Peru
@@mikisam2968 diría que ambos métodos son semejantes, a mi me gusta mucho la trigonometría y por eso uso leyes de senos o cosenos..
Pero, estableciendo proporciones con los rectángulos. y Avanzando el sentido horario.. Determinamos en la 2da proporción y A es 15 u2 Mas sencilla la determinación del rectángulo. Mostro su Criterio..Establecer Proporciones entre áreas.. Sin mucha matemática Elaborada.. Solo Aritmética.
eso sería presuponiendo los valores de los dos ángulos además del recto.
Sin entrar en funciones trigonometricas. Quizás más corto. Por triangulos semejantes x/2= raiz2(9-x^2)/3
Se resuelve rápido elevando al cuadrado ambos miembros y despejando x.
Le agradezco su pedagogía 😀👏👏
En el ejercicio del profesor yo he hecho:
1. He hecho un sistema de 3 incógnitas en los rectángulos 9u² y 18u² porque tienen la misma base ( la he llamado "x") así que aplico el área del rectángulo: [ xy=9, xz=18, xyz=27] y así tengo la altura (3) de el rectangulo 12 y con la fórmula del área: [ base × altura (3)= 12] y ya tengo la base de el rectangulo 12 (4).
2. Ahora con estos datos, he recortado la figura total 90° desde la altura del rectángulo 18 ( esto hará que corte el cuadrado 42 en dos trozos ). Y al aplicar la fórmula {base × altura= área} he obtenido por una ecuación que la mitad izquierda del rectángulo 42 es de 27u² por lo tanto la otra debe tener un área de 15u².
3. Puedo resolver la altura de el rectángulo "A" sumando la altura de el rectángulo 18 + la altura del rectángulo 9 y da 9/2 (nueve medios). El lado derecho de la figura debe medir lo mismo que el izquierdo por lo que mediante una ecuación ( 9 = 9/2 + X ) me da que la altura del rectángulo 15 da 9/2 y así mediante otra ecuación (9X/2 = 15) puedo obtener la base de el rectángulo 15 que da 10/3 (diez tercios). La base del rectángulo 15 es la misma que la del rectángulo "A" así que ya puedo resolver su área ( 10/3 × 9/2 = X ) me da finalmente que el rectángulo "A" da 15.
Esta es la manera que he utilizado porque no queria aplicar trigonometría jajaja aunque es un poco larga
xd
Yo lo que hice fue ver qué el trozo de 9+18+A = 42.... Entonces 42- (9+18) = A = 15 xd
@@jeffx10_cr cuanto razonamiento, de pelos
@@jeffx10_cr no necesariamente el 42 corta en la mitad, en este caso justo lo es y por eso te dio el resultado, pero no tiene por qué serlo siempre
@@gatzuke4245 Tienes razón. Primero hay que encontrar las relaciones los rectángulos con proporciones en fracciones y haciendo deducción con rectángulos de la misma altura. Por ejemplo: Si tenemos (y)(x)=12, entonces (y)(2x)=24 (teniendo en cuenta que 'y' es el lado que comparten). Se hace lo mismo para el 18 y 9, luego de esto deduces la altura del cuadrado total y la altura de 9 (después de haber deducido la base del 18 con el mismo lado que el 12 de antes 'x'). Con esta información deduje los lados del 42 (7/3y y 3/2X) y curiosamente al sumar las alturas de 12 y 9 (que es la altura de A) nos da 3/2x. Aquí ya encontramos una relación en los rectángulos por lo que procedemos con un sistema de ecuaciones: (7/3y)(3/2x)=42 y (3/2x)(5/6y)=A, despejamos para cualquier variable (x o y) en ambas ecuaciones e igualamos. Luego, la otra variable se cancela (x o y) y nos queda el valor de A (15).
Después de encontrar el valor hice un teste para verificar asumiendo que x = 3, y = 4.
El resultado fue:
(X) (Y) = A
3 x 4 = 12
3 x 6 = 18
6 x 4 = 24
3/2 x 6 = 9
9/2 x 28/3 = 42
9/2 x 10/3 = 15
Nota: La base de A en términos de 'y' se puede deducir con los lados del rectángulo total (el mas grande). El lado de arriba mide 10/3y si sumamos las cantidades y el lado de abajo es: y + 3/2y + ?. Al igualar estas dos incógnitas (que son iguales porque son el mismo lado opuesto) nos da 6/5y.
Esta genial ver las distintas formas de razonamiento sobre un mismo problema. Al profe muchas gracias poe estos videos. Por mi parte yo aproveché, la proporcionalidad de los triángulos rectángulos y una identidad pitagorica. Así:
Tenemos un angulo θ que desconocemos, pero que sabemos que el mismo para todos los triángulos (sea el de hipotenusa 2, de hipotenusa 3
u hipotenusa 5).
Del triángulo se hipotenusa 3 obtenemos que:
sin(θ) = x/3
Del triángulo se hipotenusa 2 obtenemos que:
cos(θ) = x/2
Luego,
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
(x/3)² + (x/2)² = 1
x²/9 + x²/4 = 1
(x²/9)*(4/4) + (x²/4)*(9/9) = 1
4x²/36 + 9x²/36 = 1
(4x²+9x²)/36 = 1
(4x²+9x²) = 36
13x² = 36
x² = 36/13
Por que no aplicar diréctamente segmentos proporcionales? la razón: 3/2=1,5
en la base superior del cuadrado a=[2/3] x => por Pitágoras (2/3* x)² + x² = 2² -----> x²=36/13 = àrea del cuadrádo sombreado
El primer problema lo resolví de forma muy sencilla. Al ser los dos triángulos semejantes (mismos ángulos), todos sus lados equivalentes están en la misma proporción de 2/3. Por tanto, el cateto menor del triángulo pequeño, a=2/3x. Usando Pitágoras: x al cuadrado + 2/3 de x al cuadrado es igual a 2 al cuadrado. Despejando la x al cuadrado, sale 36/13.
Esa es la solución inmediata; D. Juan parece aficionado a las complicaciones innecesarias.
No.
Es 64/25=2,56
Estimado Profesor, el proceso de formulas es correcto no así los números, ya que para que la figura interna al gran triangulo escaleno sea un cuadrado los segmentos de la gran hipotenusa deben ser de 2,1429 (en lugar de 2) y 2,8571 (en lugar de 3) y cada lado del cuadrado sería 1,7143- En el caso que el segmento mayor de la hipotenusa sea 3, el segmento menor de la misma debe ser de ,25 y cada lado del cuadrado sería de 1,8. Esto quiere decir, que jamás tendríamos una figura cuadrada con dos segmentos en la gran hipotenusa con valores de 2 y 3 unidades. Desde ya, un fuerte abrazo desde Argentina, un fiel alumno suyo...
Si tomaste el triángulo con proporción 3:4:5, estás en un error.
Gracias Juan! siempre es un gusto hacer tus retos matemáticos...mi solución fue con trigonometría (y ulitizando calculadora :( :
a) 3sen(theta)= y (lado vertical del cuadrado)
b) 2cos(theta)= x (lado horizontal del caudro)
c) Dado que es un cuadra, y/x=1 y y/x=3sen(theta)/2cos(theta) = (3/2) tan(theta) , con lo cual calculé el ángulo "theta" del triángulo, lo demás ya fue solo encontrar x y y del cuadrado.
Don Juan! Es usted todo un espectáculo!!!
Jose, muchas gracias. A tu servicio!
prof. @juan Del ejerció que dejaste para resolver El Area es A=15u²
Yo lo haría más fácil. Cojo un ángulo a en la esquina inferior. Sen a = x/3, cos a = x/2. Le aplicamos la relación fundamental de la trigonometría, sen^2 a + cos^2 a = 1. Y sale directamente x^2 = 36/13
No
x^2=64/25=2,56
@@josemariatrueba4568Si. Aunque no tan directo:
sin²(a) + cos²(a) = 1
(x/3)² + (x/2)² = 1
x²/9 + x²/4 = 1
(x²/9)*(4/4) + (x²/4)*(9/9) = 1
4x²/36 + 9x²/36 = 1
(4x²+9x²)/36 = 1
(4x²+9x²) = 36
13x² = 36
x² = 36/13
El 2do. ejercicio :
Primero prolongas el lado del rectángulo A , de tal manera q corta el rectángulo de 42 en dos rectángulo.
Luego : sobre el rectángulo de 12 hay uno de 24 ( el doble), entonces sobre 18 tiene q estar 36. Como ya tienes 9 el que está más arriba es de 27.
Como ya sabes que aquel vale 27 el de su derecha vale 15 (27+15=42).
Como debajo de 27 tienes otro de 27 (18+9) ; entonces debajo de 15 tiene que ser 15 , que es el rectángulo A.
Por proporciones geometricas, los catetos del triángulo (Pitágoras), el vertical es 3 y el horizontal es 4. Por lo tanto NO ES UN CUADRADO , es un rectángulo de 1.8 de base, por 1.6 de alto. El área es 1.6 x 1.8.. El triangulo superior (hipotenusa = 2) sus catetos deben ser 1.2 y 1.6; el trianguli inferior (hipotenusa = 3) sus catetos deben ser 1.8 y 2.4.
Area del rectángulo correcto asi es 1.6x1.8.
@Benito Camela no saber de geometria
Se puede resolver con el valor del ángulo de 90 y la hipotenusa ?
Bueno yo hice algo muy similar, saque relaciones entre los lados de los 2 triángulos (sino me equivoco es tales que ya ni me acuerdo xd) tal que b/x = x/a = 3/2. Luego use pitagóras con cualquiera de los 2 triángulos, con la primera relación puse el lado a o b en función de x y volví a pitagóras para despejar x cuadrado que directamente ya es el área del cuadrado
Amigo Juan, se puede hacer de manera directa con el triángulo rectángulo, pues si la hipotenusa es 5, entonces los catetos son 3 y 4 respectivamente.
Como los triángulos son semejantes, puedes aplicar Pitágoras sobre cualquiera de los tres. Con el de hipotenusa 3 sale mucho más rápido y con menos operaciones.
Profesor Juan yo lo resolvi mediante razones trigonometricas, primero le halle la razon trigonometrica al triangulo completo para determinar el cateto opuesto y asi mismo hice con el triangulo pequeño y luego de eso hice la resta y ya me daba el lado del cuadrado a mi me dio A=9
Si te referís al problema del vídeo no da 9. Da lo que dijo el profesor. Yo lo resolví de otra manera y llegué al resultado. A = 36/13 u^2.
Es 15u2
Sen(y) = x/3
Cos(y) = x/2
Elevando al cuadrado
Sen^2(y) = x^2/9
Cos^2(y) = x^2/4
Sumando las dos expresiones
1 = 13 x^2/36
Así
36/13 u^2 = x^2
Muchísimo más fácil así como lo describes! Gracias!
Yo tmb lo ví así y luego ví los comentarios súper elaborados
Profe, interesante problema.
Antes de ver su solución, yo lo resolví por Trigonometría, usando razones trigonométricas (seno, coseno y tangente), igualando razones por cada triángulo semejante, hallando la constante y reemplazando el valor de la constante hallada. Pero bien se dice que para matemáticas, hay varias soluciones y gracias por la solución, permite ver nuevos horizontes para los ejercicios :D
Edit: La respuesta del reto son 15 u². Usé proporción y propiedades de áreas
Yo lo que hice fue darme cuenta que 42=9+18+A XDDDDDD
El Triangulo del Profe es una escuadra que se usa para cuadrar los terrenos. cuyas proporciones son: 3, 4, 5. los lados 3, y 4 son los catetos y 5 es la hipotenusa. dando como resultado, un triangulo rectángulo cuyos ángulos son: 30º, 60º, y 90º. El asunto es que no existe un cuadrado perfecto que encaje exactamente en dicha intersección de la hipotenusa; por ello considero que el problema esta mal planteado ó mal graficado en realidad en dicha intersección encaja un rectángulo de las siguientes medidas: base = 1.6, altura = 1.8, Área = 1.6 x 1.8 = 2.88u Calculo de la base: b = 4x3/5= 2.4 entonces X = 4 - 2.4 = 1.6 Calculo de la altura: y = 3 x 3/5 = 9/5 entonces y = 1.8 eso es todo Corrigiendo Los Ángulos internos: (36º52´11.63") , (53º7´48.37" y (90º00´00") Gracias Yamil por corregirme. Guando el Profesor Juan plantea el problema, se entiende claramente que el supuesto cuadrado está referenciado con el punto 3 de la hipotenusa y allí no encaja dicho cuadrado, si no sabemos la referencia entonces no se podría calcular ya que dentro de ese triangulo pueden caber n cuadrados y no supiéramos cual de ellos calcular; al profesor Juan le sale 36/13 que equivale a = 2.76923077 u2 equivalente a un cuadrado de 1.66410059 de lado aprox. si promedio las medidas del rectángulo que intercepta con el punto 3 de la hipotenusa, sería: (1.6 + 1.8)/2 = 1.7 cuadrado de 1.7 de lado donde a = 2.89 u2 aun así no no intercepta con la hipotenusa. el cuadrado más próximo a la hipotenusa es de a = 2.93877551 aprox. cuyo lado es 1.71428571 aprox. que intercepta con la hipotenusa pero no en el punto 3.
Muy buena tu hipótesis, si esas medidas 3, 4 y 5 se utilizan en los terrenos para construir ángulos rectos. Me dejasteis en la duda en cuanto al área que sombreo el profe Juan si es o no un cuadrado, el comienza el problema con la idea de que es un cuadrado, ahora tú dices que con esas dimensiones sólo puede un rectángulo, en fin lo represente en una hoja cuadriculada con las medidas que puso el profe y creo que tienes razón, allí entra un rectángulo
Que yo recuerde al triangulo de 3,4,5 le correspondían los ángulos de 37, 53, 90. ¿O cómo funciona la cosa?
a ver, tu tienes un punto, técnicamente el cuadrado no encaja ahí, pero no se trata de si encaja o no, si no de lo que representa como tal, un ejercicio que te hace usar el cerebro y necesita el uso de conocimientos que se han aprehendido a través de los años, para poder deducir cuánto sería el area de nuestro hipotético cuadrado
Hola ayer me fui a dormir pensando que tenías razón y hoy me he despertado dándome cuenta que realmente no XD. Me explico, el error está en asumir que el único triángulo cuya hipotenusa es 5 , es aquel que tiene de catetos 4 y 3. Hoy estuve pensando que existen infinitos triangulos de hipotenusa 5 diferentes de la terna pitagórica. Hay un sutil detalle y es que aquí estoy asumiendo que los lados NO son enteros, ya que si los lados fueran enteros entonces si que sería el triángulo 3,4,5. Por ejemplo el triángulo de lados 1,√24 y 5 es un ejemplo de triángulo rectángulo con hipotenusa 5. Pues me dio curiosidad y calculé que triángulo podría ser el del dibujo de Juan. Existe un triángulo en cuyo interior hay un cuadrado de area 36/13 y que su esquina superior derecha (del cuadrado) interseca la linea (hipotenusa) justo cuando su longitud es 3. O sea el del dibujo.
Las dimensiones serían
Cuadrado:
Area cuadrado= 36/16
Lado cuadrado x=( 6*√13)/(13)
Triángulo
Base = x+b = (15*√13)/(13)
Altura=x+a =(10*√13)/(13)
a=(4*√13)/(13)
b=(9*√13)/(13)
Ese triangulo cumple que
base*base + altura*altura =5*5
O sea es un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y además todas las propiedades del dibujo.
Para comprobar si la esquina interseca la hipotenusa basta con pensar que todos los puntos de la hipotenusa cumplen con la ecuación
y-yo=m(x-xo) Ec recta punto- pendiente. Calculando la pendiente m=-2/3 y si escogemos un punto por donde pasa la recta ( puntos de la hipotenusa) es P=(xo,yo)=(0,altura)=(0,10*√13)/(13))
La recta queda así:
y-(10*√13)/(13)= -(2/3)*x
Esta recta te dice la ecuación que cunplen todos los puntos de la hipotenusa. En particular el punto que nos interesa es Q=(x,x) = (6*√13)/(13), 6*√13)/(13))
Si está en y entonces interseca la esquina del cuadrado con la hipotenusa. Tenemos que comprobar si la recta evaluada en 6*√13)/(13) da también 6*√13)/(13)
Si se evalua la recta "y" en ese punto se obtiene que si!
y cuando x=6*√13)/(13)=(6*√13)/(13)
Conclusión:
Si los catetos pueden ser no enteros, ese triángulo SÍ existe y el problema está bien planteado.
Disculpad por escribir toda la biblia en el comentario.
No. Mal tu planteamiento. En ningún momento se dice que los lados del triángulo sean 3u, 4u y 5u. Sólo se dice que es un triángulo rectángulo de hipotenusa 5u. De los infinitos triángulos de hipotenusa 5u hallar el área del cuadrado que encaja en el punto 2-3.
Si haces los cálculos en realidad miden 2,77u, 4,16u y 5u
Excelente problema y muy buena definición la de Juan, Sin embargo yo lo hice como otros de los compañeros con relaciones trigonométricas y es mucho más rápido y fácil: Si x es el lado del cuadrado y @ el angulo tenemos que sen@ = x/3 y cos@ = x/2, entonces tang@ = (x/3)/(x/2) => 2/3 En consecuencia tan ^-1 (2/3) = 2.76 U^2 lo que es lo mismo que 36/13.
Hola profe Juan, en cuanto al último problema que dejasteis, lo saqué por deducción a partir de las medidas, quizá hay un método como el que aplicasteis en el ejercicio, el área me dio 15 unidades al cuadrado, no sé si está bien, saludos profe.
Yo lo resolví de la misma forma y también me dio 15u²
Exactamente
Siguiendo con el Teorma de Tales, hay una forma mucho más rápida de resolver el problema. Por ejemplo si usamos el triangulo "grande", sabemos que los catetos son x y 3x/2, y que la hipotenusa es 3, con lo que podemos usar Pitágoras y hallar el valor de x, para luego elevarlo al cuadrado y tendremos el área. Es mucho más rápido.
En la primera deducción llega a la conclusión de que a=2X/3; con el valor de este cateto, el del otro que es "X" y la hipotenusa de valor 2 ya se obtiene inmediatamente el valor del cuadrado de "X" (que es el área buscada) aplicando el teorema de Pitágoras. En el problema propuesto al final del video el área buscada tiene un valor de 15 unidades cuadradas.
Pero, con su criterio aritmético de proporciones, se juega con los rectángulos se forman 2 grupos de rectángulos.. con 2 proporciones sucesivas. Obtenemos 15 u2
@@ricardocastro7327 Si prolongamos hasta la izquierda la línea base de la celda de área (42), la columna de la izquierda queda dividida en tres celdas de áreas (24-B), (B) y (12). Analizando por separado la cuadrícula de áreas (B), (9), (12) y (18), y teniendo en cuenta que la relación entre áreas de la misma columna o de la misma fila es constante, podemos deducir: B/12=9/18 ⇒ B=6 ⇒ 24-B=18= B+12. La igualdad resultante nos dice que la línea base de la celda de área (42) divide al rectángulo general en dos mitades y podemos escribir la siguiente expresión: 42=9+18+X ⇒ X=42-9-18=15.
Escribes el coseno y el seno de cada triángulo sobre y al lado del rectángulo sombreado, utilizas la identidad Sen2 + Cos2 = 1 y despejado x.
El resultado del ejercicio es 15 u^2
Muchos caimos en el error de creer de que porque la Hipotenusa es 5 los otros lados son 3 y 4 necesariamente, buena explicación.
Si son los lados 3 y 4 , eso nunca cambia, los lados del cuadrado son 1.6
Para formar un ángulo de 90 grados los albañiles utilizamos esa regla 3, 4, 5
Y así puedes aumentar en múltiplos 6, 8, 10
12, 16, 20
Porqué es un error..?
No hay error, si la hipotenusa es 5, forzosamente los catetos: opuesto es 3 y el adyacente es 4; cuando se trata de triangulos rectángulos.
Le agradesco a Juan por este canal tan importate y necessary. Saludos desde Nuevo Mexico USA 🇺🇸
No
El área del cuadro pequeño de la tarea profe es 15 unidades cuadradas y el área total de todo el cuadro es 120 unidades cuadrado saludos profe es el mejor 💖 👍🏻 💪 🙌 😉
O me salió A=9 Area Total= 108 xD
Me salió lo mismo
Me alegra que no caigas en el error, porque cada vez oigo más lo de "este área" o "este agua", en lugar del correcto "esta área" o "esta agua". Se oye tanto que yo mismo tengo que pensar cómo decirlo correctamente, para lo cual uso el refrán "nunca digas de este agua no beberé" (porque lo que hay que decir es "de esta agua no beberé")
Gracias , Manuel. 💙💚💜😌
Muchas gracias profe por explicar este ejercicio, cuando me toco en la uní no tenia idea de por donde empezar, pero ahora se como es de proceder para la próxima xd
PD: la respuesta del según ejer es 15 verdad?
Sí, es 15.
2do. ejercicio
SI trazamos una línea desde la parte superior del rectángulo con área = 9 hacia la izquierda, nos queda del lado derecho dos rectángulos de área 18 (uno arriba y otro abajo), la demostración de esto es deriva de la relación de alturas entre los rectángulos de area 18 y 9, dado que tienen la misma base, la altura del segundo es el doble que la altura del primero, esto lo traslados al rectángulo izquierdo y sabemos que el nuevo rectángulo tiene un área de 6 u², por ende sabemos que esa línea divide horizontalmente al cuadrado justo al medio, luego sumamos el área de las partes superiores y restamos el área de las partes inferiores, la diferencia es A.
A = 15 u²
تمرين جميل جيد . شرح واضح مرتب . شكرا جزيلا لكم والله يحفظكم ويرعاكم ويحميكم. تحياتنا لكم من غزة فلسطين .
Hola Juan, espero llegues a ver este comentario. Ante todo te felicito por tu canal, me agradan tus videos. En este video en particular detecté un pequeño error, se asume que la figura inscrita con un vertice en un extremo del segmento de magnitud 2 es un cuadrado y en realidad es un rectangulo, sus lados cortos miden 8/5 y sus lados largos 9/5. Se puede verificar facilmente pues es un triangulo rectangulo conocido de hipotenusa 5 (en consecuencia catetos 3 y 4). Para que fuera un cuadrado el vertice debería coincidir en 2.142857 aproximadamente. Saludos.
Hola, también me di cuenta en primera que era un triángulo notable por tener la hipotenusa de valor 5, por lo tanto los catetos tiene que ser 4 y 3.
Hola Juan
Excelente explicación
Las matemáticas son un lenguaje.
No entiendo mucho...
Pero disfrutó de tú explicación.
Saludos
Desde
Santiago de Chile.
De tan solo ver esto, me recordó por qué amaba las matemáticas♥️♥️♥️.
Cuando era niño acompañe a mi primo a su universidad y cuando entramos al salón, observé el pizarrón con infinidad de formas y números y no supe que hacer más que preguntar como loco como se hacen esas cosas tan increíbles.
No mmes que belleza son las matemáticas.
Los lados de ese triangulo rectangulo miden 3, 4, 5. La cuerda que empleaban los egipcios como escuadra
No
Profesor Juan, lo explico todo muy bien y esta clase me fue más util de lo que puede imaginar, ya que era lo que estaba buscando, pero discrepo con su caracterizacion de este problema, es decir...en que parte de todo este problema encuentra que es guapo??? Es la primera vez que tengo la necesidad de buscar algun video para comprender un tema, me sentia el más bruto del planeta por no comprender el problema en la clase. Ahora estoy encontrando el camino correcto gracias a usted.
Pudo ser muuuuucho más simple. Tras establecer que a=2/3 x, bastaba con resolver el triángulo superior, tal que a^2 + x^2 = 2^2, queda como 4/9 x^2 + x^2 = 4
Es usted todo un Dios de las matemáticas, ahorita estoy con introducciones a la geometría analítica, y no comprendo pero apuesto que con su video soy todo un capo.
Máster, ídolo, crack, maremoto, terremoto.
Excelentes todas tus demostraciones Juan, eres una persona muy didactica y haces de las matematicas algo muy placentero.
El área resulta ser: ((m**2)(n**2))/(m**2+n**2). Considerando: m=2 y n=3. Después de reemplazar valores y operar se obtiene: 36/13=2.7692. Saludos desde Perú.
El area es 36/13 u²
Porque como es recto, hay 2 triangulos rectangulos semejantes y si las dos hipotenusas son "a" y "b" entonces
b×a/b=a ⇒ x×a/b ⇒ x²(a/b)²+x²=x²(a²+b²)/b²=a² O a×b/a=b ⇒ x×b/a ⇒ x²(b/a)²+x²=x²(a²+b²)/a²=b² O x²(a+b/b)²+x²(a+b/a)²=x²(a+b)²(1/b²+1/a²)=(a+b)² x²=(1/(a²+b²)/a²b²) ⇒ x²=a²b²/(a²+b²)
x²=2²×3²/(2²+3²)=36/13 u²
Del otro ejercicio es 15
Hay que trazar un segmento perpendicular del rectangulo de 42 desde un vertice de 9 hasta el otro segmento
Y como hay lados iguales entonces 12 es a 24 como 18 es a 36 ; 36-9=27 18+9=27 y 27 es a 27 como A es a 15
A=15
Que bueno eres profe .
Sobre la respuesta del último ejercicio:
Por proporción, vemos como podemos dividir a 42 en 4 piezas: 3 partes de 9 y el resto sería 15.
Viento que los bloques 12 y 18 tienen la misma altura, y que encima del bloque 12 se posiciona el 24, podemos dividir este último en dos y nos daría dos bloques de 12.
En relación a los tamaños, el bloque x sería igual al cuarto bloque que dividimos del 42, es decir, 15.
Señor Juan!! Me encantan sus enseñanzas. Estoy aprendiendo un montón. Mi consulta, ¿Para qué curso iría dirigido este ejercicio!?
Muchas gracias ☺️ y un abrazo!!
Se podría generalizar el problema y en lugar de 2 y 3 indicar m y n. Así el área sería: A = (mn)^2/(m^2+n^2)
Estaba dándole vueltas a la construcción geométrica (regla y compás) del triángulo que contiene al cuadrado en cuestión, para un segmento cualquiera de longitud = 'm+n'.
La construcción geométrica es muy sencilla. Se puede llegar fácilmente a comprobar que uno de los ángulos del triángulo rectángulo tiene como tangente en uno de sus ángulos el valor 'm/n', por lo que solo hay que dibujar un triángulo rectángulo cuyos lados perpendiculares sean 'm' y 'n' y uno de los ángulos que obtengamos transportarlo al segmento 'm+n' para obtener un triángulo semejante que sería la solución al problema. Si se dibuja adecuadamente sale inmediatamente tanto el triángulo rectángulo semejante, como el cuadrado inscrito.
Juan , ¿no era más fácil y rápido aplicar Pitágoras en el triángulo a, 2, x?
creo que se resuelve mas rápido con la identidad de sen²x+cos²x=1 y considerando que senx=a/3 y cosx=a/2 donde a es el lado del cuadrado.
Así lo acabo de resolver yo. Lo que ocurre es que suele considerarse más elegante no recurrir a las razones trigonométricas si puede resolverse aplicando semejanza.
Excelente profe, ud es una eminencia explicando!!
Si no conoces el teorema de Tales podes hacerlo con semejanza y proporcionalidad:
Asignas valores a los catetos (con letras) y llegas al mismo dibujo del vídeo o parecido. Luego tenes 3 triángulos: 1) De cateto vertical de medida "a", cateto horizontal de medida "x" e hipotenusa de medida 2.
2) cateto vertical de medida "x", cateto horizontal de medida "b" e hipotenusa de medida 3.
3) El triángulo más grande de cateto vertical de medida "x + a", cateto horizontal de medida "x + b" e hipotenusa de medida 5.
Cómo los tres triángulos son semejantes podemos usar la proporcionalidad, entonces:
De 1) y 3) se tiene:
2/5 = a/a+x
a = 2/3 x
De 2) y 3) se tiene:
3/5 = b/x+b
b = 3/2 x
Ahora podemos calcular el valor de "x" usando el triángulo 3), primero calculamos la medida de los catetos:
El cateto vertical mide 5/3 x, el cateto horizontal mide 5/2 x.
Usamos el teorema de Pitágoras:
5^2 = (5/3 x)^2 + (5/2 x)^2
Hacemos el cálculo y tenemos que x = 6/raíz cuadrada de 13.
Con el valor de "x" calculamos el área solicitada:
A = x^2
A = (6/raíz cuadrada de 13)^2
A = 36/13 u^2.
si lo hacemos calculándolo mediante area de cuadrados divididas entre 2 con las diagonales de estos y restando el area total del triángulo para obtener la del cuadrado da un resultado diferente
También con Pitágoras y relaciones trigonométricas, es divertido. 4(sen2a+cos2a)+8/6 l2+9(sen2a+cos2a)+18/6 l2=25
CosZ= X/2, SenZ= X/3, eleva al cuadrado y suma las funciones; queda: X^2/4 + X^/9= 1 y listo, sale el sol!!!!
Hola profesor. Aplicando Pitágoras es muy sencillo, vera: las tres áreas deben sumar 5 al cuadrado correcto? O sea 25.
Usando sus letras catetos a, x y b. Serían A2+x2=4 y x2+b2=9 . 4 + x2 + 9 = 25
Por lo tanto x2= 25-13=12
El área es de 12 unidades
Sabiendo que el ángulo que forman los dos rectángulos son iguales, entonces el sen de tita es igual a x/3 y el cos de tita es x/2, la suma del cuadrados de estos es 1 y de ahí se iguala a (x/2)^2 + (x/3)^2 de ahí despejamos x^2 y esa es el área que se buscaba
No había necesidad de multiplicar ambos lados por 4•9. Solo se suman las fracciones de los dos términos con X² y se despeja la X.
Quiero saludarte ayudas a mucha gente . Desde Perú un exiliado venezolano . Te respeto y te admiro
Explica muy bien, excelente pedagogía. Lo fejicuto. José Bosque desde Venezuela
El ejercicio me da 15 u2. Es correcto?
Si, a mi me da ese resultado
Solo usando aritmética
Me gustan tus videos, son bien explicados , muchas gracias por la dedicación que ponés y con tanta claridad 👍. Saludos desde Argentina. Abrazo
Tan α = 2/3 , α = 33.69 ° de ahí, se obtienen las áreas totales de cada triángulo, al triángulo mayor se le restan los 2 triángulos pequeños y obtenemos el resultado
Prof. Juan, qué forma más bonita de ejercitar operaciones algebraicas 🎉
Muy buena explicación aunque cuando despejar a en función de x ya puedes decir por Pitágoras que (a^2)+(x^2)=4 si remmplazas a en función de x queda (4/9)(x^2)+(x^2)=4, (13/9)(x^2)=4, 13(x^2)=36
X^2 = 36/13
Se llega a lo mismo obviando la relación que describe a B en función de x
Sin entrar en complicaciones: Por proporción entre paralelos tenemos que el triángulo con hipotenusa 3 tiene unos catetos en proporción de 1 y 3/2 al lado del cuadrado A. Entonces por Pitágoras tenemos la ecuación 3^2 = A^2 + 1.5A^2 que llevamos a
9 = 2.5A^2 entonces A ^2 = 9/2.5 resultando que el área de A es 3.6 unidades.
el proceso de Manuel Echegaray me parece genial dada su simplicidad, concuerdo exactamente con ese proceso, por otro lado el usar funciones trigonométricas no deja de ser solo una aproximación, bastante exacta pero conceptualmente o formalmente es aproximado.
Profe creo que cometiste un error en el ejercicio, en el minuto 7:41 , multiplicas ambas partes de la ecuación X 4.9 pero la primera parte de esa ecuación en ese momento ya había sido multiplicada desde segundos antes. Por favor corrígeme si estoy equivocado yo
Yo lo resolví sin meter tantas variables. Ahora que con respecto a tu procedimiento primero por Pitágoras determine "a" que es igual a raíz (4-x^2)
En seguida aplique tales de la siguiente manera (a+x)/5=a/2
(x+√(4-x^2))/5=(√(4-x^2))/2 Entonces resolví para x^2
me perdi cuando dijo " que ejercicio tan lindo".🤣🤣.
Es coña!! excelente explicacion!!
Me encantan sus matemáticos pero este repaso sería mucho más claro si no borrara para VER LA SECUENCIA POR FAVOR NO BORRE DALE CON ORDEN‼️
Excelente ejemplo de dos teoremas fundamentales, Thales y Pitágoras, muchas gracias y abrazo grande desde Buenos Aires Argentina
Yo tenía una solución más rebuscada y fea porque el teorema de thales me queda muy lejos: 2cos a=3sen a -> a=atag 2/3 de ahí saco la proporción del triángulo y el resto del razonamiento igual. Gracias Juan!
La respuesta del área del ejercicio propuesto al final es 15 u^2. Gracias.
Espectacular sin duda es algo maravilloso: me encanta la Matemática
Con basamento en el triángulo universal en el cual la hipotenusa es 5, necesariamente sus catetos serán 3 y 5 respectivamente y aplicando la ley de triángulos semejantes, podemos observar que geométricamente no es posible construir un cuadrado perfecto con los segmentos de la hipotenusa de 2 y 3 que sumarían 5.
Siendo X el lado superior del polígono tendríamos:
(4×2)/5=X , en donde X=1.6.
Siendo Y el lateral del polígono tendríamos:
(3×3)/5=Y, en donde Y = 1.8.
Conclusión, no obtendríamos un cuadrado perfecto sino un cuadrilátero de lados 1.6 y 1.8 unidades.
Si quisiéramos construir el máximo cuadrado perfecto inscrito dentro del citado triángulo universal, aplicando también la semejanza de triángulos tendríamos:
a=segmento superior de la hipotenusa; b= segmento inferior de la hipotenusa y X el lado del cuadrado perfecto inscrito en el triángulo.
X=3a/5 / y también X=4b/5
X=3a/5 / despejando a =5x/3
X=4b/5 / despejando b =5x/4
Teniendo en cuenta que a + b = 5, o sea la hipotenusa, tendríamos:
5x/3 + 5x/4 =5
Despejando x =60/35 que es el lado del cuadrado
Área del cuadrado = 60/35 x 60/35 = 2.9387755 u2
Obtuve el mismo resultado
Pero en vez de hacer todo lo que hizo profe no podrá aplicar seno, cose, tag, por ser un triángulo rectángulo??? O es mucho trabajo realizarlo?
Si la hipotenusa mide (2 + 3 = 5), los dos catetos miden 3 y 4, por tratarse de la primera terna pitagórica.
En el segundo ejercicio si tenemos en cuenta que el triángulo superior derecho es 42 y es del mismo tamaño que el de abajo la repuesta es 15? Ya que 42-27=15.
O hay que hacer otra cosa, porque no tomé en cuenta el 24 y el 12 😅
Considerando que es triángulo notorio, los catetos valdrían 3 y 4, X valdría 60/35 al cuadrado igual al área 2.938 cm²
Esto lo determine por triángulos semejantes y dándole el valor de 20 a X,
3 es a 35X (15X+20X)
por lo tanto 20X=60/35
No es posible construir un cuadrado perfecto considerando que los segmentos de la hipotenusa sean 2 y 3
No deja de ser un excelente ejercicio
La figura completa no es un triángulo rectángulo perfecto. Es decir, la línea que mide 2 y la línea que mide 3 juntas no forman una línea recta.
Sólo así es correcto el procedimiento.
Primero: 1/x*=1/n*+1/m* ( * cuadrado, m y m divisiones) ; 2doRpta: 15
Respondiendo a lo del rectángulo, el área es 15u², ya que, teniendo en cuenta que todos son rectangulos sin excepción, entonces:
9=9×1
18=9×2
12=2×6
24=6×4
42=(4-1=3)×14
Base de A=14-9=5
Altura de A=1+2=3
A=3×5=15
Y ya de paso, el área total del rectángulo es igual 6×20=120
Felicidades maestro. Es un placer escucharle y aprender con usted las mayematicas son agradables interesantes. SALUDOS.😀
Otra forma:
Tomando el triángulo superior:
a²+x²=2² -> x²=4-a²
Ahora por relación de triángulos:
3/x = 2/a -> a=2x/3
Juntando los dos parciales:
x²=4-(2x/3)²
x²=4-(4x²/9)
x²+(4x²/9) = 4
13x² = 36
x²=36/13
Bueno, si en lugar de 2 y 3 le damos variables como por ejemplo "d" y "e".
Con las razones y teorema de Pitágoras puedes construir rápidamente dos fórmulas que aplican para cualquier problema del mismo modelado.
Sabiendo que:
d² = a² + x²
Y que:
a = (d/e)x
Tienes la primera fórmula sustituyendo y haciendo unos despejes.
X²= d²/((d²/e²) +1)
Me encantaría expresarlo en fracción pero es muy difícil por aquí.... Aún así, así se puede operar la fórmula.
La segunda cuando tomamos el análisis de b sería algo así:
Sabiendo que:
e² = b² + x²
Y que:
b = (e/d)x
Obtenemos cómo fórmula final.
X² = e²/((e²/d²) +1)
Y bueno, estas fórmulas son rápidas, precisas y aplican para cualquier juego de valores de la hipotenusa del triángulo cuando un cuadrado está inscrito de esta manera.
Espero les sirvan o les gusten.
Mi respuesta en el ejercicio es A = 15
Al principio lo hice por deducción buscando los multiplos del rectángulo con menor área, luego decidi aplicar la formula del area para despejar otroa valores
Gracias Juan por tu trabajo. Aprendo con cada video tuyo. Pero los árboles están PLANTADOS y no clavados. "Clavado como un poste" podría valer.
Que Bueno con el Teorema de Thales, lo había olvidado como criterio.. Gracias por Recordármelo.
Tan entretenido que los 10 minutos se me fueron como agua entre los dedos, excelente forma de explicar.
Se calculan las áreas de los tres triángulos, se suman los dos pequeños y se restan del triángulo grande!!!
Y, ¿cuál sería la solución si la figura sombreada no fuese un cuadrado sino un rectángulo? ¿Hay una solución posible?
@Benito Camela Si tiene sentido, y usted mismo ha dado la respuesta. Es decir, hay un infinito numero de soluciones, a menos que fijemos las coordenadas de un punto fijo en cualquiera de los lados del triángulo o demos un dato adicional, v.g. la determinación de un ángulo no recto en la figura.
Este ejercicio es ilustrativo para entender o recordar el teorema de Pitagoras, pero dadas las proporciones es un problema que no tiene solucion, o por lo menos una solucion que muestre 2 pequenos triangulos con hipotenusas de 2 y 3. Si usamos el teorema y asumimos que los lados de los triangulos pequenos tienen la misma proporcion de 3/4, el lado del maximo cuadrado dentro del triangulo grande es 12/7u. Con esas proporciones las hipotenusas NUNCA podrian ser 2 y 3.
En caso que hubieras dicho que el area sombreada es un rectangulo, las dimensiones serian 1.8 x 1.6, y el area seria 2.88. El triangulo de arriba tendria lados 1.2 x 1.6 (hipotenusa 2) y el triangulo de abajo 1.8 x 2.4 (hipotenusa 3).
Buen vídeo, lo estuve resolviendo con ecuaciones de áreas y se complicó, aunque posible resolverlo.
Desconocía el teorema de Tales, bastante útil para resolver el problema.
Eres un Crack de las Matemáticas 👏👏👏😊👍
Se puede también sacando la media proporcional con uno de los triangulos
Un ejemplo es el triangulo (NO RECTANGULO) que tiene la base 4.
Osea
4/3 = 3/x
x es el valor de la suma de otro numero que forme 4
x = 9/4
9/4 + y = 4
y = 7/4
Sigue la idea usando otros trinagulos
:)
Lo propongo mas fácil, se tiene dos triángulos rectángulos con hipotenusas 2 y 3, se aplica semejanza y con eso obtengo que la base del primer triangulo es 2L y la del segundo triángulo 3L, luego este último triangulo tiene una altura de 2L, y aplico pitagoras con hipotenusa igual a 3, con eso obtengo que L al cuadrado es 9/13, pero como el área es 4L al cuadrado, simplemente lo multiplicó por 4 al 9/13, y boom obtengo el área del cuadrado igual a 36/13
perfecto!! coincido con tu procedimiento. excelente lógica sin tanto rodeo.
Que Grandioso Su Criterio, usando Proporciones. me ha hecho que despierten las Neuronas de ubicación Espacial...