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高斯如何做出正17边形？李永乐老师讲数学神器【尺规作图1/2】
Vložit
- čas přidán 29. 09. 2019
- 古希腊时代，数学家们就开始研究如何使用直尺和圆规作图，称为尺规作图。使用尺规作图，人们可以方便的做出中垂线、角分线、平行线等，而且，用尺规作图可以表示出所有的有理数，已经有理数开多次平方的数。但是也有一些问题，始终没有用尺规作图完成，其中就有正17边形的做法问题。十八世纪末，19岁的高斯用一个晚上的时间证明了正17边形的可尺规作图性，从此名扬天下。现在，我们还知道了哪些多边形是可以尺规作图的，哪些是不可以的。高斯是怎么做到的？点开视频看看吧
大家有什么想看的内容，可以在下方留言！
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这一期节目难度比较大，尤其是最后一部分。但是如果你能坚持看完，一定会发出感慨：高斯真厉害
你也厉害
看到後面 傻眼了...
高斯是真的厉害，最近工作有幸也一直在接触高斯模糊的算法，大量的图形计算和美化都用到了这个公式。
雖然我對數學苦手~~但是 高斯這麼漂亮的思考邏輯...佩服阿
高斯真的厉害，在很小的时候就读过关于历史上数学家的介绍，感觉高斯在这些人里面也是特别厉害。但是一直没有找到介绍他做正十七边形的具体方法。谢谢李老师。
同时我发现数学家寿命都特别长，而音乐家去世都比较早。那时候就坚定了搞研究的决心😂
老师我快50岁了因家里穷没念书。所以看了你的这些视频很不错谢谢你了。留下了这么多好记录片好好留给咱们的后人吧。我是因为身体不好看了科学知识有了见识有了道德有了没了时间了。希望你健康快乐。多为人类社会做更多有您的影响之里程碑。您讲的是科学我是尊敬的
这一期讲得太精彩了,无论是从听众角度还是教师角度都是完美的!
这一期讲得太精彩了
无论是从听众入睡的角度
还是切换视频的角度
都是完美的。。。。。
@@FlashPoint.Paradox 如果听众是一名大一新生,或者又稍微了解过复平面的高中生,这次的视频十分适合.其次从课堂教学的角度看.每一步都十分合情合理,真的做到了每一句话,每一个教学设计都有其目的性,而且整个课堂架构循序渐进,有条不紊,每一步都好吸引人.这节课真的是艺术品啊啊啊啊啊啊啊...
@@CTKwok-dc3wu 讚同
人类的发展是靠高斯这样的天才推动的，最为一个平凡的普通人，感谢李永乐老师能带我参观人类智慧的艺术殿堂
大学上抽象代数的时候老师让学生自己看如何证明可以用尺规作图做正17边型，大部分人在照着证明步骤看的情况下还研究了一晚上，足以证明我们普通学数学的人跟高斯他们的差距有多大。大学4年里最佩服的数学家是学代数时候的伽罗瓦和学拓扑时候的康托尔，一个创立了群论，一个创立了集合论，尤其是康托尔集，当时认为这应该是最美的数学表达。读博以后才越来越体会到高斯，欧拉，尤其是希尔伯特，这些最顶尖数学家的伟大之处。
还有操怀东
虽然听不懂，但睡得挺香的
哈哈哈，我还特意关注了一个解说象棋的，因为一看就困，解决了失眠问题
@@user-dq5ln8ut2j 哈哈我也看那个，但是觉得李老师的视频效果更好😂😂
Jayden Huang 聽不懂 就滾
@@user-dq5ln8ut2j 同感哈, 我都是听妈咪说, 一会就睡着了.
黄征 街头象棋？
高斯真係好利害，我這個凡人看到韋達定理，跪了。這是那麼天馬行空的想法
相信教授想法都差無幾，在天才面前變得暗淡無光了
坚持看完了几个30s长广告来支持老师的视频 知识无价！谢谢李老师！
Peng Liu 谢谢老铁
你得点击广告
我是youtube會員，我多刷老師的視頻
在大学学习统计和电磁场的时候也看到了高斯众多建树中的一角，高斯的建树确实是伟大的。同时李老师能在各种领域都能深入浅出的讲的很明白，老师也可以说是教师繁星中的那个月亮了
我从小就特别喜欢数学，因为我爸爸总教我很多数学知识，我不喜欢英语语文，但是我热爱数学的兴趣让我从小就提前预习没学过的数学课程。小学4年级我搬家转学到了一个市重点新学校，第一次随堂数学测试正好学完分数，我把应该用分数解答的题目用还没教过的小数解答了，本以为新老师会对我有表扬，然而非也，由于语文英语测验的不好，让我的新数学老师一直质疑我是个蹲班差生，并且请我家长询问情况，之后在班级里也一直质疑我有欺骗行为，虽然我妈妈也和新老师说过我没有留级。当时我不知道我的数学老师是不是认为语文英语不好的学生数学也不可能好，自此我变得不敢再去预习课本内容和不爱学习了，在学习上没有自信也不敢再有自信了，直到高考我也只上了一个二本大学。看到李老师的教学又让将近30岁的我看到了曾经我热爱数学的那份热忱。我不会让我未来的孩子重覆我的旧辙
很遗憾你遇到了很不好的环境，但是希望你孩子可以更好
学了这么多年，第一次知道可以用尺规作图来计算乘，除，开方。好神奇呀。一直知道数学很重要也很深奥，却仅仅停留在字面意思上。惭愧。
妙啊，太妙了，尺规作图问题转变为代数问题，代数问题用方程解决，化未知为已知，太妙了...
讲讲 没听懂
@@zxwang5003 数字是抽象的，几何使数学变更形象。
补充一个跟代数或者说抽代无关但是和尺规作图规则有关的：
通常上学的时候基本上老师会用圆规量一条已知线段，然后拿起来去别的地方截，这是不允许的。在尺规作图中圆规只能对一个圆心作弧，一旦离开了这个圆心，圆规夹的那个角就失效了。但是！给定线段AB，以及一个点C，我们可以用尺规作图做平行四边形ABCD或者ABDC，就有了以C为端点长为AB的线段CD。如此之后我们便可以以此方法去任意位置截一段线段的长度了，相当于我们可以用圆规测量长度了。
另外通常我们的实体尺子是长方体的，或者三角板，常规三角板有直角。小朋友就会问那我不是可以画直角了？并不行，抽象的尺只是一条线，而且是直线，长度无限。但是，我们直接给平角画角平分线就有直角了。
如果不允许你提到的用圆规截取长度，怎么作出平行四边形ABCD?
@@franklv8869 用原始规则可以画一条直线过一个点的垂线，就是用圆规划一下直线，相当于作了个等腰三角形，然后用标准的平分线段方法截底边中点，相当于能画出三角形的中线，三线合一这条就是高。类似地可以再作一个垂线，就有了平行线。能作平行线就能作平行四边形了。
李老师才是中国人的代表，加油李老师，加油所有费都在教育一线的工作者，希望你们能好好培养我们的下一代。
看李老师的视频总有一种互动的感觉。李老师的课逻辑非常严谨，连续性很强，真的让人甘之若饴👍👍和听牛津大学教授的课感觉很像。
數學老師是一種很喜歡徒手畫圓的生物
每個數學老師都練就了能徒手畫圓，畫直線以及很多幾何圖形的能力，佩服!
虽然没能完全理解李老师所讲内容，但是我被震惊了！高斯真是个介于牛A与牛C间的人！
尺規作圖是依據數理特性搭配各種輔助規具進而可以畫出需要的圖形，是製圖的基礎。
未看先讚啦！
理论上我明白，尺规是精确，可是真实践起来自己画的时候，尺规并不精确，上学的时候就经常觉得笔的粗细，圆心的选取，交点大小这些都是有误差，当然这些在用电脑作图的时候就没问题了，所以其实当年那些人没有电脑怎么画得准呢，人手操作的话，跟用刻度量一样都是不准确的
@@kaka22C 我了解您的想法，因為我以前是學製圖的，所以一開始當然也是從尺規作圖開始學習，所以你說的那些問題我能體會的。
不過到後來開始學電腦繪圖的時候就...哈哈哈，什麼都省事了！
感觉迄今为止最硬核的一集，竟然把正十七边形理论讲解的这么简单，，佩服
其實尺規作圖是你只能畫一個圓，圓內有一個半徑，僅此而已。初期入手方法是取兩個點，畫一條線，同時向對方作圓，就會得到等邊三角形及垂直線。然後再利用等邊三角形及垂直線特性，得到老師所說的特性
1）60度，90度
2）角度和長度能平分（等腰三角形特性）
3）三角尺的由來*
用畢氏定理求角度及長度
a）45度，45度，直角。（對角線對應1,1,2平方根）
b）30度，60度，直角。（對角線對應1,3平方根,2)
聽著老師講完，才發現數學真的很有趣~
高斯太猛了。。不愧是站数学家金字塔顶端C位的男人
突然意识到 老师穿西装马甲了 帅气
以前的高中數學老師講到高斯講得超樂的
讓我第一次覺得數學課有趣
老师一听到高斯做出来了之后说了三个字，我第一反应是“你牛逼”...
汝之秀，何人能及
六六六
为什么不是“WTF！”
我以为是 “爸爸好”
哈哈哈我也差不多，我第一反应是“了不起”
说实话，我自己高中时也算出过cos72度，相信这里也有朋友做到过。但我没用复数，用的是相似形，找到了黄金分割的二次方程。其实视频中的x1+x2=（根号5 - 1）/2=0.618...就是黄金分割点。这也是为什么五边形这么美。。。说到黄金分割点，又让人想到了斐波那契数列，本质上都是二次方程。斐波那契对应的是x^2-x-1=0，五边形对应的是x^2+x-1=0。（正负）黄金分割点都是其中的一个根。
就爱听李老师讲高斯。跪着感叹：李老师用“厉害”形容高斯！
規尺作圖，規則如下定義。
1.一個點定位，相線相交。
2. 直尺只做延長線，兩點相連作用，沒有刻度。
3.㘣規是可以間，等矩。
規尺作圖，先做到如下兩點a和b。(事實上，是真的可以做到，不是虛構的。至於用什麼方法，篇幅有限，文字上，不能盡說。)
a.任意＜90°㘣心角与直角°90的比例，劃成長度比，等於x：直徑(2r)。
b.丌的長度3.14159...用兩線相交，不是平行線無限分割法，劃在 4cm線上。
伸延以下所有，規尺可成。
1.圆周上，任意一段孤線，長度劃成直線。
2.任意整數角，可成,最少分割單位為1°度。n=11,13,17,19,23,31.. )
3.任意等分角。(包括三等分角)。
4. 任意等分圓。n=7,11,17,19 23...)
4.以圓面積，作正方形面積。(以圓証方)。
5.任意扇形面積，可作正方形面積。
結論：解決所有圓形內，規尺作圖的所有限制。
任意角，弧長，正多边圆分割，扇形面積等等。
唯一，倍立方體積，邊長除外，但這不是圆的部份 。
李老师最厉害的不是数理化，而是语速这么快的中文还没有口误，如何做到的？李老师的语文老师应该获得表彰。
可見數理邏輯之強，對數理很有自信
口误虽然没有,但经常有笔误...
so what? He can wipe the mistake with his sleeves. That's so cute.
李老师总是莫名其妙的加儿化音。。。其他都很好
@@user-dt9cv6vg6q 他在北京生活了几十年，而儿化音是北京话的典型特征
27:08 “那么有一个人是有希望的 那个人名字叫伽罗瓦” 然后左下角出现了李老师的照片 我还以为是伽罗瓦😂
李老师你好，我还是话多的那个。刚开始听的时候，我以为你要讲共济会，伏羲女娲，阴阳八卦。前两个章节我的知识可以理解，第三节我有模糊的印象，也知道。然后你讲了2000年的数学问题被解决了，我震撼了，尺和规数千年的问题可以解决。擦黑板是个亮点哦！还有半个黑板！！！益普西陇是我活了40年没有听过的名词，学生我受教了，我的学历很低的，老师莫笑。今天的图片相当的good，比你告诉我高斯是谁好。后半个黑板的比较硬核，两千年破解不了的，你半个板书讲解给大家，你也很厉害了。虽然我没懂，但这是我自己的问题。老师你就这样硬核下去，一定成功的。罗振宇、樊登、郎咸平等等的都是垃圾。。。华语人口的89%的人也是垃圾，行尸走肉。他们最喜欢的是“喂，来食！”。李老师看你怎么选择受众了，人从实体店到天猫到淘宝到拼多多，之后无下限的。有一个科幻片，未来人的电影院里，屏幕上就是一个屁股，除了男主的所有人都在看着笑。李老师你还年轻，应该希望在你年老的时候不会有人说你是个网红吧！
喜欢听老师讲这种稍微复杂一点的，听完豁然开朗的感觉。
從頭到尾看完了，真的精彩
厲害的不僅是李老師，還有在歷史上留名的各領域專家們 :)
a
看到一半就想老师讲不能三等分任意角的事情 居然最后真的预告了！ 好评
这个，想也能想到，和除法是一样
最後那個分析瞬間了解了 這道題的奧妙 感謝老師上課
很多人不知道“长度1”是怎么作出来的，说说我个人的理解：如果你想教会我1英尺有多长，那么你必须先告诉我1英尺等于多少米，也就是把英尺相对于米的倍数关系告诉我。那么当你给我一个长度3.28英尺，根据倍数关系我自然知道1米是多长了。
其实李老师也说了：你给我“a”这个长度，其实意味着a与1的关系你是知道的
用刻度等於用固定值寫程序，這種尺規法相當於用變量寫程序
这个比喻太形象了
點讚
固定值 = 常量
函数式编程。丘奇数实现加法
尺规是绝对精确，长度角度是相对精确，因为长度角度都是人类定义的，而且本身就有误差。所以用长度和角度作图都是相对精确甚至是不精确，无法用于数学推理证明。
Andy KL 其实也并非绝对精确。因为你在动圆规的时候，圆规的张角总会动一点，你质量好，就动得不明显，你质量不合格，有钱的话就直接扔掉了。圆规的制造也是靠人类定义的长度角度来进行的。
@@Dynablade1994 圓規扎入紙張會戳穿偏移，扎硬平面又無法固定圓心，現實中無法作出完美圖形
@@Dynablade1994 前面那位说的绝对精确是指逻辑上的绝对。就好比矢量图和点阵图的区别。
几何与代数的关系真是奇妙，有如醍醐灌顶，谢谢老师
没想到尺规作图有那么多用途，现在刚学了一下（作平分线和中线这些），明年才正式教，感觉好牛逼的样子
1:35 “哎呦歪了”瞬间出戏哈哈哈哈
李老師的小朋友就和王剛師傅的攤主一樣神秘 ...... @@!!!
高斯如果活在今天能干出什么事儿来，真的佩服
看了这集55岁老女人被李永乐老师实力圈粉，果断订阅；李老师--偶象👍
cos72不难求，用三角公式就可以算，但cos 2pi/17确实难，放到复平面来求解还是挺巧妙的，这个方法似乎给出一个普遍的求法。（ps：貌似17边形要解8次方程，求最大的那个解，高斯🐂皮）
u 🐮
沙发！当年我的数学老师徒手画圆超厉害！
当年老师同厉害
当年地理老师画圆同厉害，一甩就是一个地球
野生捕獲大象真白。
當年我的繪畫老師
徒手畫出蒼井空老師。。。。
我当年画圆也很厉害，现在在工地搬了几年砖，估计手法不溜了。毕竟搬砖不要画图。
我上初中的时候老师就没有讲尺规作图在代数上的意义。看了李老师的视频之后豁然开朗，看问题的高度立刻不一样了
只有大学数学系研究生学了伽罗瓦理论才能最终搞清楚。
李老师这一讲让我又回到了高中时代，找到了久违的感觉，复数这个重要的知识点又在脑中复活了！看完这期视频不需要多大坚持，中间只暂停了几秒钟思考了一下就顺利地看完了。不得不感叹：高斯真厉害！李老师更厉害！！
基本上就是，上课期间，低头捡东西， 再抬头就听不懂了。
Zhi Wan 错，上课时间低头捡东西，五岁抬头就听不懂。
飞过一只苍蝇 用手一打 密密麻麻满满多了一黑板的字 而且还要挨骂
@@naturemaster201hatura9 我两岁抬头的阿努纳奇也在2045年没听懂
别找借口！好像不低头捡东西就能听懂似的！😂
低头捡笔 其实是在下面睡觉
这期太厉害了，数学真美
数学之美不只是那些精巧的公理定理猜想，更令人感慨的是人类从身边常见现象出发所作出的思考、分析、推理，积跬致远，逐步构建起恢弘数学大厦的过程，数千年来理性智慧的光芒从未消失，最为耀眼的就是高斯、欧拉、牛顿...这样的大神
另下一个前无古人，可能是老师
你。你的学能态度真的令人敬佩。
数学太强大了，这集给我看哭了
这集确实让人非常感动。
看哭不至于吧
乖啦！不哭
我有一个同学高中自己用尺规画出来了，天才
目测？
那巧了，我们小学语文课上有高斯做17边形的故事，于是第二天三四个人做出来了
他们用的方法是错的，只是觉得好笑就分享出来了，大家不要见怪
简化一下，不能有刻度=不能测量，可以包含的元素为直线和圆弧，圆弧的特点是圆弧上每一个点距离圆心点的距离相同，引出两种基本操作：相等，旋转
这期的视频很深奥 但是十分精彩 ！希望李老师能把每个小步骤提出问题的让我们先解一下 ，然后再解析。这样我们才能真正理解和吸收您讲的内容。
你可以試試暫停鍵XD
一黑板的板书终于不够了，高斯之厉害可见一斑！
我从小就听父亲给我讲高斯，每次高斯的故事都能刷新我对他的认知。这个人是真的厉害！
看到後面的複數平面，我高中的記憶都回來了
记得中学教过做正5边形，当然只是教了方法，所以一直疑惑是一种近似的方法，今天终于是长了知识了。
很后悔那时候没有好好上学 ，现在看看都好神奇。如果那时候好好听讲都能会，珍惜我们以后的时光吧，因为失去的时光不会再有。。。。 谢谢李永乐老师。
挖槽，看得我起鸡皮疙瘩了……这些天才真的太厉害，作为凡人，我只能仰望……
@Jinn LEE 我们仰望天才，天才仰望高斯……
今天这套衣服超帅！
然后看完真的感慨古希腊人对于数和形的探索，那么抽象又那么真实
以前初中时候很迷尺规作图 还买几何原本来看 现在挺怀念当时探索知识的自己
最早研究正十七边形的时候是三等分角问题，高斯发现了正多边形可以尺规作图的条件，当时觉得，真tmnb。
高斯算法的第一步，biu～先把黑板擦干净
这一看就是抹布擦的，作为擦黑板专业户表示如此
学了知识没有多少时间给我发挥了希望当今社会上多多有您这样的好老师
这期视频好牛，解决了我好多困惑，感谢老师！
我以前都對能徒手畫圓的人施以很高的敬意
感觉人类就是在等待这样的人每几百年出现一个，然后推动人类发展几百年。
要出现在正确的位置上所以要等几百年
這期好好看,半夜一個人喝著啤酒聽著李老師講解高斯,太迷人了 ~
非常好，终于知道什么是尺规作图了。
李老師請加上副標題:
以尺規作圖做出正五邊形
我記得是用三角形36°、72°、72°的特性去畫圖
祝老師教師節快樂
李老师多讲些几何，爱您，么么哒。您是灵魂画手，笔芯。。。
全部看完!!好強大!!真的是數學天才高斯....還有 老師說到解5等分正三角 一開始還可以懂 但是算式寫下去 跟專業術語說出來
完全不了解了.....懵了..
反觀你旁邊有圖解比較能了解 直接畫出來...
最後 感覺阿..這也是教授的失誤差曲 把世紀難題讓學生當作作業給帶回去解!怎不現在多數大學生都來這招!?
把世紀難題當做插曲誤丟給學生說不定就解出來了.....
當年高斯還不知道這是世紀難題呢..高斯表示:1天破解 我還花一天?!
還有老師阿 你開場說的小朋友到底是誰阿!?呵呵呵阿 你說的內容已經到大學了.....那個小朋友還能看完你的影片不簡單阿....
机械制图通常会通过7等分外接圆直径来作正7变形，符合尺规作图规则，请问李老师，这种方法作的正n边形是否是一个近似值？能否讲解一下？同样疑问的请帮我顶一下，感谢
评论里无法作图，在网上搜索“机械制图正7边形”便能看到作图方法，感兴趣的小朋友可以帮我解答一下
@@mengzhengzhuang7644 机械制图就是近似的，是七边形，不是正七边形，虽然边长相等，但肯定有一些角和正七边形的角度数不等。
人家的尺规是不带刻度的。如果能精准量出周长，除以7不就完了吗？不带量的好吗。
高斯真牛叉，如果不是高斯，就不会有后来的统计学，高斯函数的研究成果对统计学来说是基础工作，统计学与概率又是今天我们众多工科的理论支撑。无法想象如果没有高斯，我们会怎么样。
闪烁在人类科学发展史上的璀璨繁星，为我们做了最基础又是最艰难的工作。如你所说，没有他们，我们至少要在黑暗中继续摸索数百年，甚至更长。
日子还不照样过？有吃有喝就能过日子。
好喜欢这种硬核的、让人受虐的讲课内容，选题和妈咪叔越来越接近了！
真棒👍好几次试图想通尺规五边形的原理，只有深思过才知道自己和数学家思维根本就不是一个层面。虽然一说复数我也有了思路，可是这更说明不在一个层面。
很多年前网上有个还原高斯尺规作图的动图，看完还是一脸懵逼，我是哪来的勇气看下去的😂😂😂
蒙奇D葛炮 现在还搜得到，看到最后根本跟不上了。自个儿做做着做着就忘了该走哪一步了。
B站应该有
我第一次看到的时候就觉得高斯真的是天才
報告老師~~擦完黑板後那段 我看一半 就去掛急診了~~腦子燒掉了 TAT
我先去加个保险丝再看，烧了就麻烦了
感谢李老师，祝教师节快乐！
老師講得真好！ 很喜歡看老師的影片 :)
为了支持我把广告看了十几遍
@Jinfeng Fish 直接看啊
李老师，其实正五边形可以用相似三角形（72-72-36) 的比值求出来，这样较直观，可不用复数理论。
確實 不過老師可能是從高斯處理正17邊形的方法簡化出這個版本
好讓我們大致了解一下當時高斯做了些什麼
Louisc398 Louis 对，谢谢。
這集真精彩!看得十分過癮
趣味幾何学 : 中垂角分何處交？（圖形中的比例）
雖說三角是任意，內角和均一百八，
此中奧秘需探索，更有比例隱其中。
且看：
任意一個三角形，三個角度均不等，
一角引出平分線，交於對邊於一點。
此邊引出中垂線，必交角分線一點，
此點在內或在外，請君作圖要端嚴。
話說高斯用數學推理的方法，證明了用尺規作圖，可以作出正十七邊形。隨後，也有他人用尺規作圖真正作出了正十七邊形。作圖過程十分複雜，一般人沒有這樣的興趣和耐心自己做一遍；或者看完即了事，其中的原理並不一定懂。我就是其中之一。但是，簡單的圖形，其中也蘊藏著奧秘，這個奧秘就是幾何作圖中線段長度的比例關系的存在和應用。
簡單如任意三角形的一個内角平分線，分割對邊成兩段，其角的兩邊的比值與對邊被分線段的比值是相等的。這個性質被稱之為＂三角形內分比性質＂。（注：此處的＂內分＂是＂內角平分線＂的含義縮略書寫）。即 "夾一角的兩邊的比值" 等於 "該角的角平分線交於對邊上所分割成的兩條線段的對應長度的比值"。用數學語言表述：
且看：命題 I
有一個任意△ABC， （A點在上，B點在左下，C點在右下）。假設∠C＞∠B，∠A的平分線AD交對邊BC於D點，求證： AB：AC＝BD：DC 。
（注：AB，AC，BD，DC 分別為四個線段的長度。在如下視頻中，表示線段的字母上面必須加一橫杠，而我在電腦輸入中無法如此表示）。
證明：
過D點分別向線段AB,，AC作垂線，交AB,，AC於E，F兩點，
則E，F是垂足，且線段DE，DF分別是△ABD 與 △ACD 的高，同時也是點D到兩邊AB，AC的距離。
因为∵ AD是∠BAC的平分線，且DE，DF分別是兩邊AB與AC的距離，
所以∴ DE＝DF （角平分線的性質）
在△ABD 與△ACD 中，( △ABD的面積與△ACD的面積分別用S△ABD和S△ACD表示 )
則： S△ABD：S△ACD＝[1/2×(AB×DE)] : [1/2×(AC×DF)]
因为∵ DE＝DF （角平分線的性質）
所以∴ S△ABD：S△ACD＝[1/2×(AB×DE)] : [1/2×(AC×DF)]＝ AB：AC （等式１）
同時，我們再作△ABC的底邊的垂線AH，交BC邊於H點（視頻中未畫），
則垂線段AH同時是△ABC，△ABD，△ACD的高。根據三角形的面積公式：
則：S△ABD：S△ACD＝[1/2×(BD×AH)] : [1/2×(DC×AH)] ＝ BD：DC （等式２）
因为∵ （等式１）和（等式２）左邊相等，
所以∴ AB：AC ＝ BD：DC （等量替換）
所以∴ 三角形的＂內分比性質＂得證。（命題 I 得證）
*********************************************************************
開篇的64字一段的詩詞，用數學語言表述，就是命題 II：
命題 II：
有一個任意△ABC， （A點在上，B點在左下，C點在右下）。假設∠C＞∠B，∠A的平分線AD交對邊BC於D點，求證：BC的中垂線 L（垂直平分線 L）與 ∠A的平分線交於△ABC之外。
欲證命題 II，我們必須要先證明＂三角形的內分比性質＂
在命題 I --- ＂三角形內分比性質＂ 得證的基礎上，我們繼續證明命題 II：
因为∵ ∠C＞∠B （假設）
所以∴ AB＞AC （大角對大邊），
即：AB／AC ＞１
因为∵ AB：AC ＝ BD：DC （內分比性質）
且：AB／AC ＞１ （已證）
所以∴ BD／DC＞１
即：BD＞DC
所以∴ D點不是BC的中點，且D點靠近大角∠C，
所以∴ 線段BC的中垂線L（垂直平分線 L）落在了線段AD的左邊，不會與線段AD相交。
若要∠BAC的平分線與BC的中垂線L相交，則必須延長分角線段AD於BC邊的下面，與BC的中垂線L交於△ABC的外面。
所以∴ 任何一個三邊不相等或三角不相等的三角形，其一角的角平分線與其對邊的中垂線（垂直平分線 ）必然相交於此三角形之外。
所以∴ 命題 II 得證。
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特殊地：當三角形的內分比 （AB：AC ＝１）時，則∠BAC的兩邊相等：AB＝AC （等腰三角形），
而：BC的中垂線 L（垂直平分線L ）與BC的交點D是BC的中點，且與線段BC垂直。 （結論１）
因为∵ AB＝AC （已知），∠BAD=∠DAC（角平分線） ，AD=AD（共用邊）
所以∴ △BAD ≌ △DAC （SAS）
所以∴ ∠BDA=∠ADC= 直角
所以∴ AD⊥ BC，且 BD=DC (即：D是線段BC的中點）。 （結論 2）
根據（結論１）與（結論 2），
則：BC的中垂線L，∠BAC的平分線AD與線段BC上的交點都是D點，且L⊥ BC，AD⊥ BC，
而過直線上一點只能引一條垂線與原直線垂直，
所以∴ 線段BC的中垂線 L（垂直平分線 L）與∠BAC的角平分線AD重合。
所以∴ 角平分線AD也是線段BC的中垂線 L（垂直平分線L ），
所以∴ 等腰三角形頂角的平分線是此角到對（底）邊的高，也是對（底）邊上的中垂線。
綜上所述，任意三角形的一個角的分角線與其對邊的中垂線 （垂直平分線 ）的交點，或落在三角形的一條邊上（當三角形是等腰三角形或等邊三角形）；或落在三角形的外面（當三角形的三個角或三條邊均不相等）。
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為什麼要這麼詳細地討論這個問題？因為我們在做平面幾何圖時，一定要比較嚴格地按照題目的要求畫圖，比如分角線，最好用圓規作圖。否則如果畫錯圖，即使推理過程正確，也不可能得出正確的結論。
在歐基裏德幾平面幾何中，公理和定義都是按照圖形的具體形象和直覺下定義的，如果不按要求作圖，就會在無知覺的情況下，違反由基本公理和定義的前提設定下推導出的其它定理，因而在錯誤的基礎上再行推導，必然推導出錯誤的結論。
比如說，如果把一個任意三角形的角平分線和它所對邊的中垂線 （垂直平分線）的交點錯誤地畫在此三角形之內，你即使經過一系列嚴密的推理，仍然會得出一個錯誤的結論－－－那就是，所有的三角形都是等腰三角形。
所以，古代數學家為什麼要研究尺規作圖，是有其看不見的道理的 --- 因為這些圖形中暗藏著比例關系。如果隨手亂畫，就不會看出和找出其中內在的規律。所以，如果自己作幾何圖形，請務必按照幾何作圖的基本要求畫圖。當然，學會作圖不是一蹴（cù）而就的簡單事情，要有耐心，一點一點地積累，至少要力求把簡單圖形作正確。
如果你在開始學習平面幾何感到困難，這是很正常的事情，給自己多一點時間思考和練習。試想，當人類開始籍借幾個簡單的幾何圖形，而把所有的幾何圖形分類，抽象化，並且找出其普遍適用的內在規律，這是一個漫長的過程，其中傾注了古往今來的無數的愛好數學和邏輯的優秀頭腦的連續不斷的艱辛探索和不斷完善，才有了現在的歐基裏德幾何學。
如果你能夠理解歐基裏德幾何學的構架，你會明白，歐基裏德幾何學是一個偉大的基礎學習，而非歐幾何學是在對歐基裏德幾何學第五公設的質疑中並行發展起來的。如果你真正理解了什麼是好的數學，那就是，開辟一個新的領域 --- 在這個領域中，會有許多新的定義定理的產生；而其中，必然是有公理（不證自明的原始依據）的存在，而此公理的發現，需要有一顆純真無暇的心，一個獨立思考的大腦，一雙不厭其煩，反複演算的手，和享樂其中的數學素養。
感恩老师！
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有兩個視頻，一個是李永樂老師的｛高斯如何做出正17边形？李永乐老师讲数学神器【尺规作图1/2】｝，內容之精彩，可以說是神之筆畫，神之解說，千萬不要錯過，請大家觀賞。
另外一個就是如下的均一教育平台的＜內分比性質＞。因為我不能畫圖，所以借用這個視頻供大家參考。當然，內容的講解是非常到位的，利用中国古代几何善用面积和的智慧，奇巧证题。
我也要像李永乐老师一样做一个激励我自己和影响他人的频道，希望大家给我点力量！欧耶，从现在起我要更新1000个视频，支持我把
支持你，加油！
频道做的不错，加油吧
亮生活頻道？？？
@@ravensky945 姊妹频道
亮生活一直在关注
高斯的一晚大於我的一輩子!!!!不知道李老師您有沒有說過高斯八皇后的問題?
馬雲：我不在乎錢
吳彥祖：我不覺得自己帥
李永樂老師：這個也不難
其实故事我都知道，不过，听完就更清楚了。
听完讲给家里小孩听......不愁没故事讲了。
20分35秒开始正式进入“捡个橡皮就听不懂”时段🤷♂️
高斯确实是天才！我妻子和高斯同一个城市出生
德国老婆？( •̥́ ˍ •̀ू )
@@user-bj5jd6xm3l ja
看似学数学夸高斯，实际上是过来显摆老婆的 ^v^
今天为了能来看老师视频，花了我好大功夫。
光讲简化版的答案就讲了7分钟 高斯这一晚上 真有点厉害
我尝试与机器人进行交易，但对我却没有成功，但我向蒂姆·威廉姆斯投资了5000美元，并获得了35000美元的收入。
蒂姆·威廉姆斯（Tim Williams）是一位交易专家，他以他的策略代表我进行交易，并在本周末向我支付了很多钱，我肯定会从他那里获得可观的利润。
老实说，我需要投资才能赚钱。 那么，这家伙是谁？ 有人可以给我发送他的电话号码或其他可以联系到他的电话吗？似乎您最近认识您。
@@elmoreschroeder2990 到目前为止，我对他没有造成任何损失。我必须说你有一点，我曾经是糟糕策略的受害者。 制定切实可行的策略并不容易。您可以通过Tim Williams的邮件与他联系
老实说，我需要投资才能赚钱。 那么，这家伙是谁？ 有人可以给我发送他的电话号码或其他可以联系到他的电话吗？似乎您最近认识您。
过去三个月以来，他一直担任我的经理。 他完全改变了我的财务状况，在他来之前，我真的全输了，今天我是8BTC Richer。
以前國中的時候一直看不懂尺規作圖在做什麼
看完老師的影片終於解開我6年來的困惑
收下膝蓋Orz
谢谢李老师。尺规作图一直听说过，从来没仔细看过。老师一讲，才懂得内在的逻辑。几何和代数能这样连起来！
用Galois当年做出来的群和环的那套理论，也解决了这个问题，