Le départ me semble un peu alambiqué... On peut reconnaître que f'/f est la dérivée de ln o f, ce qui tombe bien puisque f est à valeurs strictement positives, ainsi f = exp o ln o f = exp o [intégrale de f'/f].
Dans mon métier de physicien, j'ai rencontré des séries qui s'annulait à un certain rang, et ce pendant un certain temps et qui se remettait à avoir des valeurs positives. Des trucs à partir de fonction hypergéométriques confluantes. Chose remarquable : Mathematica réussissait à les sommer. Pas le genre de série de l'exercice…
Très intéressant, merci ! Connaissez vous un exemple de fonction / classe de fonctions f pour laquelle ce résultat permet de montrer un équivalent qu'il est difficile d'obtenir autrement (disons par un raisonnnement de difficulté comparable) ?
Il y a beaucoup plus simple pour la question 1 : On écrit la définition de la limite qu'on a comme hypothèse On a donc en intégrant que APCR ln(f) < Ax avec A négatif Plus donc que APCR f(x) < exp(Ax) Or A est négatif donc exp(An) est le terme général d'une série convergente ce qui permet de conclure Voilà voilou
Solution pour l'exo : écrire A=B*transposée(B) (au quel cas le déterminant est positif) en écrivant Card(Ai inter Aj) comme une somme de produits d'indicateurs d'appartenance aux Ai (style symbole de Kronecker) et identifier un produit matriciel
Jai galéré en voulant faire des encadrements a partir de la definition de la limite vers -infni en +infini, mais suffisait se passer a l'exponentielle pour revenir a une limite finie (critère de d'alembert n'esr pas au programme de toutes les filieres je crois en tout cas on peut pas l'utiliser tel quel)
[idée qui marche peut être pour l'exo du jour]: -On peut dire que la matrice est symétrique et penser au th.spectrale (même si ca sert peut être pas ici vu qu'on connait pas les coefficient de la matrice) -essayer une récurrence sur la taille de la matrice vu que sa marche bien pour n=1 et se ramener à n-1 en développant par rapport à une colonne. Le problème est qu'il faut gérer les signes moins
on peut aussi dire que pour tout i,j a(i,j)>=1 car toutes les parties contiennent l ensemble vide, a moins que je me trompe et que le cardinal de l ensemble vide est 0 dans ce cas on à a(i,j)>=0
si on exploite l idée de matrice symetrique on peut dire que pour tout i,j est positif ou u est l endomorphisme autoadjoint associée à la matrice ,les ei la base canoniques de R^n
[Idée pour l'exo] Essayer d'interpréter le déterminant comme un déterminant de gram en notant les vecteurs a_i appartenant à R^m où (a_i)_j = 1 si j appartient à A_i et 0 sinon, puis en notant le produit scalaire Tr(a_i*(a_j^transposée)) (on a linéarité de la transposée et de la trace et si Tr(xx^transposée) est nulle c'est que x=0 (ici x est un vecteur)) ainsi on obtient la même matrice car Tr(a_i*(a_j^transposée))=card(A_i inter A_j) et on conclut avec la positivité du déterminant de gram
Problème de la fin T indique la transposition, S la somme. aT = [ A1 A2 ... Am] où Ai est la fonction indicatrice Ai : [1,... m] ---> {0,1} de l'ensemble Ai dans [1,... m]. La matrice A := a aT est la matrice des fonctions indicatrices (à la place i,j ) de Ai intersection Aj. Enfin, M := S_{y dans [1,.. m]} A(y) est la matrice dont le signe du déterminante nous intéresse. A(y)(i,j) = AiAj(y) = Ai(y) Aj(y). Remarquons qu'il s'agit d'une matrice symétrique. Si x:T = [x1 x2 ... xm] est un vecteur de nombre réels, xT M x = S_{y dans [1,.. m]} xT (a(y) a(y)T) x = S_{y dans [1,.. m]} (xT a(y)) (a(y)T x) = S_{y dans [1,.. m]} (a(y)T x) (a(y)T x) = S_{y dans [1,.. m]} (a(y)T x)^2 >= 0, où a(y)T x = A(1) x1 ÷ A(2) x2 + ... + A(m) xm est un nombre réel. M est donc la matrice symétrique d'une forme quadratique définie positive, donc tous ses valeur propres sont positives ou nuls. Comme M est symétrique réelle, elle est diagonalisable sur R, ses valeurs propres sont tous réels et son déterminant est le produit de ces valeurs propres. Si M x = t x, en multipliant à gauche par xT on a xT M x = t (xT x) où xT M x est positif ou nul et xT x >0 car un vecteur propre est non nul par définition. Donc t >= 0, et donc det(M) >= 0 car il est le produit des valeurs propres.
Le départ me semble un peu alambiqué... On peut reconnaître que f'/f est la dérivée de ln o f, ce qui tombe bien puisque f est à valeurs strictement positives, ainsi f = exp o ln o f = exp o [intégrale de f'/f].
Banger cette série
Exercice très intéressant, merci beaucoup !!!
Merci pour l'exercice corrigé
Dans mon métier de physicien, j'ai rencontré des séries qui s'annulait à un certain rang, et ce pendant un certain temps et qui se remettait à avoir des valeurs positives. Des trucs à partir de fonction hypergéométriques confluantes. Chose remarquable : Mathematica réussissait à les sommer. Pas le genre de série de l'exercice…
Très intéressant, merci ! Connaissez vous un exemple de fonction / classe de fonctions f pour laquelle ce résultat permet de montrer un équivalent qu'il est difficile d'obtenir autrement (disons par un raisonnnement de difficulté comparable) ?
Je ne sais pas si c'est très utile, mais la densité de la loi normale satisfait la condition
Je crois qu'il y a eu un exo de X-ENS PC du même type,mais je ne me souviens plus de l'année.
Merci
Il fallait y penser à l'équation différentielle.
Il y a beaucoup plus simple pour la question 1 :
On écrit la définition de la limite qu'on a comme hypothèse
On a donc en intégrant que APCR ln(f) < Ax avec A négatif
Plus donc que APCR f(x) < exp(Ax)
Or A est négatif donc exp(An) est le terme général d'une série convergente ce qui permet de conclure
Voilà voilou
Bon bcp la question 2 est un peu plus longue
Exactement.
Pour l'exercice à venir, on définit un produit scalaire en utilisant les fonctions indicatrices.
Sympa le plume lamy
Solution pour l'exo :
écrire A=B*transposée(B) (au quel cas le déterminant est positif) en écrivant Card(Ai inter Aj) comme une somme de produits d'indicateurs d'appartenance aux Ai (style symbole de Kronecker) et identifier un produit matriciel
Merci pour votre réponse
Merci, je m'y mets tout de suite
Whoa je n’avais pas vu les choses comme ça ! Merci encore !
Jai galéré en voulant faire des encadrements a partir de la definition de la limite vers -infni en +infini, mais suffisait se passer a l'exponentielle pour revenir a une limite finie (critère de d'alembert n'esr pas au programme de toutes les filieres je crois en tout cas on peut pas l'utiliser tel quel)
Il est au programme de la filière MP, c'est un exercice de MP.
mon dieu en 2 ans j'ai perdu tout ce bagage de résolution de problèmes de maths c'est terrifiant
compris
[idée qui marche peut être pour l'exo du jour]:
-On peut dire que la matrice est symétrique et penser au th.spectrale (même si ca sert peut être pas ici vu qu'on connait pas les coefficient de la matrice)
-essayer une récurrence sur la taille de la matrice vu que sa marche bien pour n=1 et se ramener à n-1 en développant par rapport à une colonne. Le problème est qu'il faut gérer les signes moins
on peut aussi dire que pour tout i,j a(i,j)>=1 car toutes les parties contiennent l ensemble vide, a moins que je me trompe et que le cardinal de l ensemble vide est 0 dans ce cas on à a(i,j)>=0
si on exploite l idée de matrice symetrique on peut dire que pour tout i,j est positif ou u est l endomorphisme autoadjoint associée à la matrice ,les ei la base canoniques de R^n
[Idée pour l'exo]
Essayer d'interpréter le déterminant comme un déterminant de gram en notant les vecteurs a_i appartenant à R^m où (a_i)_j = 1 si j appartient à A_i et 0 sinon, puis en notant le produit scalaire Tr(a_i*(a_j^transposée)) (on a linéarité de la transposée et de la trace et si Tr(xx^transposée) est nulle c'est que x=0 (ici x est un vecteur)) ainsi on obtient la même matrice car Tr(a_i*(a_j^transposée))=card(A_i inter A_j) et on conclut avec la positivité du déterminant de gram
aller ratio
Problème de la fin
T indique la transposition, S la somme.
aT = [ A1 A2 ... Am] où Ai est la fonction indicatrice Ai : [1,... m] ---> {0,1} de l'ensemble Ai dans [1,... m]. La matrice A := a aT est la matrice des fonctions indicatrices (à la place i,j ) de Ai intersection Aj. Enfin, M := S_{y dans [1,.. m]} A(y) est la matrice dont le signe du déterminante nous intéresse. A(y)(i,j) = AiAj(y) = Ai(y) Aj(y). Remarquons qu'il s'agit d'une matrice symétrique. Si x:T = [x1 x2 ... xm] est un vecteur de nombre réels, xT M x = S_{y dans [1,.. m]} xT (a(y) a(y)T) x = S_{y dans [1,.. m]} (xT a(y)) (a(y)T x) = S_{y dans [1,.. m]} (a(y)T x) (a(y)T x) = S_{y dans [1,.. m]} (a(y)T x)^2 >= 0,
où a(y)T x = A(1) x1 ÷ A(2) x2 + ... + A(m) xm est un nombre réel.
M est donc la matrice symétrique d'une forme quadratique définie positive, donc tous ses valeur propres sont positives ou nuls.
Comme M est symétrique réelle, elle est diagonalisable sur R, ses valeurs propres sont tous réels et son déterminant est le produit de ces valeurs propres.
Si M x = t x, en multipliant à gauche par xT on a xT M x = t (xT x) où
xT M x est positif ou nul et xT x >0 car un vecteur propre est non nul par définition. Donc t >= 0, et donc det(M) >= 0 car il est le produit des valeurs propres.