[DET#32] Lois géométriques & Absence de mémoire (Démonstration)

Dans cette émission, je démontre que les seules variables aléatoires qui suivent une loi sans mémoire, à valeurs dans l'ensemble des entiers naturels non nuls, sont celles qui suivent une loi géométrique. On retrouve ici l'une des stratégies bien connues des mathématiciens: le raisonnement par analyse-synthèse.
📝 La démonstration réalisée ici fait partie des 12 démonstrations proposées dans les nouveaux programme de terminale, mathématiques complémentaires, enseignement optionnel, voie générale.
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✒️ Notions abordées: raisonnement par analyse-synthèse, loi sans mémoire, schéma de Bernoulli, loi géométrique, absence de mémoire.
🌞 Bonne écoute !
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[@nahtan7925]

C'est beau, c'est clair, c'est propre. Rien à redire, j'aime 👌

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏 !

[@Mathuniverse-international]

est ce qu'on peut parler en privé ? pouvez vous me contacter sur ma page : m.me/soutien.en.mathematiques.physiques.au.Mourouje

[@oljenmaths]

Bonjour, je suis disponible par mail à cette adresse: [e-mail] 📧.

[@christophem6373]

Est-ce la seule loi sans mémoire ou est-ce seulement le cas pour le cas discret ?
Quid du cas avec variable à densité ?

[@oljenmaths]

Précisément, seulement lorsqu'on considère une variable aléatoire à valeurs dans N*. Après, ça se généralise: si X suit une loi géométrique de paramètre p, alors X/2 ne suit pas une loi géométrique, mais assurément, X/2 suit tout de même une loi sans mémoire (dans un sens qui n'est pas précisé dans cette émission).
Par ailleurs, comme le précise Toto dans un commentaire, les lois à densité sans mémoire sont les lois exponentielles. C'est assez joli à démontrer, mais cela ne relève pas du niveau terminale, je garde cela pour plus tard 😋.
Une petite référence au cas où:
📰 fr.wikipedia.org/wiki/Perte_de_m%C3%A9moire_(probabilit%C3%A9s)

[@claraphilippe505]

Bonjour, dans le cas de la loi exponentielle, on sait que c'est une loi sans mémoire. Mais-est-ce que si (dans le cas des lois à densité), X suit une loi sans mémoire, alors X suit une loi exponentielle ?

[@oljenmaths]

Oui ! Voici une démonstration réalisée par Alain Guichet:
📝 cutt.ly/4yDWyMB

[@claraphilippe505]

@@oljenmaths Merci beaucoup !

[@toronto5618]

On fait pas sa en Terminale non😅

[@oljenmaths]

Ce sont les démonstrations présentes dans les nouveaux programmes (rentrée 2020), regarde la description 👀 !

[@_Greenflag_]

Faut s'accrocher c'est pas facile prof

[@oljenmaths]

Je le reconnais, c'est loin d'être la démonstration la plus facile de cette série, pour donner dans l'euphémisme... 🙃 !