Le principe de moindre action et la mécanique Lagrangienne
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- čas přidán 15. 05. 2024
- Dans cette vidéo, je vous introduis le principe de moindre action qui est à la base de la physique moderne. On regardera ensemble des exemples très simples, à commencer par la chute libre. On verra comment on trouve que les trajectoires sont des paraboles en utilisant un bilan des forces (comme au lycée !), puis on retrouvera ce résultat en minimisant une certaine Action. C'est cette action qui passe alors sur le devant de la scène !
On rendra enfin ce principe plus général et abstrait, formant ce qu'on appelle la mécanique analytique Lagrangienne, avec de jolies structures mathématiques. Il nous faudra en particulier utiliser la structure de fibré tangent, sur lequel la fonction lagrangienne est définie. En guise d'application, nous verrons une version du théorème de Noether qui relie symétries et quantités conservées.
Pour le niveau, le début sera environ bac+1, puis bac+3 pour l'introduction du Lagrangien et bac+5 pour le formalisme mathématique final.
Les notes sont accessibles ici : www.antoinebourget.org/attachm...
La vidéo à laquelle je fais allusion à 3:16:42 est • Lagrangian and Hamilto...
On pourra aussi regarder, pour les aspects historiques, ce documentaire de l'Institut Poincaré : • Le principe de moindre...
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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00:00 Début
04:50 Plan
Partie 1 : La Physique
08:30 Exemple 1 : La chute libre, trajectoire parabolique
21:40 Exemple 2 : Le pendule simple
34:10 Les idées essentielles, version intuitive
43:00 Introduction du Lagrangien et application à la chute libre
1:04:00 Principe de moindre action
1:11:00 Pourquoi utiliser le Lagrangien ?
1:15:00 Le pendule avec le Lagrangien, les multiplicateurs de Lagrange
1:25:10 Autres exemples physiques
1:31:53 Référentiel tournant, forces d'inertie, de Coriolis
Partie 2 : Les Mathématiques
1:47:50 Système Physique, espace des configurations
1:56:00 Chemins, variations, dérivées
2:06:25 Action et principe de moindre action
2:12:40 Espace tangent, vecteurs tangents
2:22:50 Fibré tangent et dérivée
2:30:45 Coordonnées standard
2:38:20 Equations d'Euler-Lagrange
2:50:30 Lois de conservation
2:52:10 Conservation de l'énergie
3:00:20 Symétries et théorème de Noether
3:16:10 Résumé et conclusion
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Références :
Le contenu de cette vidéo est assez classique, mais il n'y a pas vraiment de source où on peut trouver tout cela d'un coup. Pour un introduction à la physique, très intuitive, on pourra regarder les notes de David Tong :
www.damtp.cam.ac.uk/user/tong...
Pour un traitement plus mathématique, il y a
- Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics
- Takhtajan, Quantum Mechanics for Mathematicians (chapitre 1).
Pour des détails sur les fibrés tangents, on peut regarder ces notes de cours par Marco Gualtieri :
www.math.toronto.edu/mgualt/co... - Věda a technologie
![[Conférence] Notions de base sur la relativité générale et la relativité restreinte](http://i.ytimg.com/vi/4XQuNnVWHgU/mqdefault.jpg)
Quand ça dure des heures sans être lassé, que c'est passionnant du début à la fin et que c'est expliqué avec autant de pédagogie, c'est forcément la marque de l'excellence.
Merci pour ce partage, vraiment !
Merci beaucoup !
Je n'entends pas souvent parler des lagrangiens chez les anglo-saxon, c'est une bonne chose d'avoir une explication ici en français. Je trouve que les références omniprésentes à Newton, y compris dans l'enseignement de la physique en France sont envahissantes.
L'interprétation de Newton est plus imagée, mais Lagrange est plus puissant. J'ai vu récemment un conférence de feu le mathématicien Jean Marie SOURIAU, qui justement a développé une partie de son travail en géométrie, en extrayant un groupe des analyses de Lagrange. Pour lui, Lagrange c'est de la géométrie, même s'il n'y a pas de dessins et que c'est décrit de façon analytique. Nos préjugés nous égarent. Par exemple les anciens grecs utilisaient beaucoup moins les nombres et beaucoup plus les mots pour faire des math.
Et hop dans ma playlist. Je préfère 100 fois tes vidéos à celles des vulgarisateurs.
Le principe de moindre action c'est tellement profond, ça a tellement d'implications que ça mérite bien 3h de vidéo.
Merci :) En effet, c'est un principe central, et après tu peux enchaîner avec la vidéo sur le Hamiltonien !
La mécanique analytique, un saut conceptuel extraordinaire.
Merci pour cette excellente présentation et toutes les autres (il m'en reste beaucoup à rattraper). Scientia Egregia est une mine d'or ! Merci
Merci !
Merci beaucoup pour toutes ces excellentes vidéos ! 👍
J’adorais les maths et la physique et grâce à ton travail je peux aller plus loin que la vulgarisation « en surface » (qui est très bien aussi) et comprendre plus en profondeur (en plus de refaire un peu de calcul ^^). J’ai conscience que c’est quand on croit avoir compris (surtout avec la vulgarisation) qu’il faut se méfier, et voir les « vraies » équations et le formalisme permet de visiter les coulisses de la prose explicative.
C’est très agréable de t’écouter car tu maîtrises à la fois le formalisme/ la technique et aussi ce que ça représente, les concepts sous-jacents, et tu parviens à communiquer l’intuition associée. Pédagogie au top 👌
Tu es un excellent professeur !
Merci encore !
Merci beaucoup !
Je suis en première année de prépa et j'aimerais aussi devenir chercheur en physique théorique. Ta chaîne est une perle rare car elle assimile des notions technique extrêmement bien expliquées. Il me reste plus qu'à m'entraîner sur les dérivées partielles
Merci ! Bon courage pour les dérivées !
Ce n'est pas difficile
Pour ajouter à mon commentaire precedent: j'ai appris Euler Lagrange en cours de mécanique Lagrangienne. Le problème c'est que je refusais d'admettre ce principe, parce que le choix "T-V" me paraissait arbitraire.
Des années de réflexion après, je finis par accepter ce principe, mais on ne peut pas toujours bourriner en physique sans prendre le temps de la réflexion
Milles merci monsieur Antoine tes videos sont plus qu'appréciées
Excellent cours ! Vos notes sont très claires et votre écriture très lisible et agréable. Merci.
Merci beaucoup !
Très intéressant ! Dommage j'ai raté la notification du live :/
Ah oui dommage ! J'ai mis sur Twitter pourtant :D la prochaine fois je t'envoie un message perso :)
@@antoinebrgt Ahah ça marche avec plaisir !
Merci ! J'ai été bluffé par l'apparition du pendule en ajoutant une contrainte au lagrangien de la chute libre, j'ai apprécié la construction rigoureuse des fibrés, du Lagrangien et du principe de "moindre" action et la dérivation du théorème de Noether.
Avant le futur épisode évoqué en fin de live sur l'approche Lagrangienne du modèle standard (intégrale de chemin etc.), ça serait vraiment super d'avoir un épisode sur le formalisme Lagrangien de la théorie classique des champs.
Merci pour ces commentaires, en effet l'apparition du pendule de cette façon est vraiment jolie !
Et en effet il faudra que je parle de théorie des champs en détail un jour (même si j'en ai déjà parlé un peu dans plusieurs vidéos passées)
Très puissant, Merci pour la grande clarté. Très belle application de ce type de principe pour le calcul de trajectoire de la lumière en relativité générale 🎉
Vers 2:00, quand vous définissez le concept de variation avec la fonction gamma epsilon, ne faut il pas une condition du type dist (gamma epsilon ; gamma ) < epsilon ? (Selon une certaine norme à définir, par exemple la norme infinie)
Merci pour la vidéo, c'est un très bon début pour s'habituer à la mécanique Lagrangiènne.
Très pédagogue et clair : bravo et merci
Les formulations lagrangiennes et hamiltoniennes sont de pures merveilles mathématiques totalement pertinentes à leur époque, ainsi qu'à la nôtre. Néanmoins, je ne peux m'empécher de penser qu'elles ont une faille : elles supposent toute deux l'existence d'un espace-temps (euclidien, minkovskien, riemanien, ...). Le magnifique théorème de Noether découle de cette conception. Aussi, et c'est parfaiement naturel, en utilisant ces formulations géniales, nous ne nous posons jamais la question la plus fondamentale : quelle est l'origine de l'espace-temps. Pour ma part je pense que c'est une propriété émergente de la seule grandeur physique capable de tout décrire : l'énergie. Il serait très intéressant de chercher comment l'espace-temps puisse émerger de l'énergie du vide et de ses fluctuations. Je sais que c'est un problème complexe, mais je suis persuadé que la réponse à celui-ci sera aussi la réponse aux questions les plus fondamentales et ardues de la physique moderne.
Oui en effet on suppose toujours l'espace-temps, il y a des tentatives d'émergence de l'espace-temps à partir de concepts plus élémentaires ou abstrait, mais c'est pas facile à bien formaliser (et il faut voir exactement pourquoi on fait ça)
Bonjour Antoine,
Merci pour cette vidéo, excellente comme d'habitude.
Peux-tu mettre à dispo tes notes au format pdf comme pour les vidéos précédentes ?
Merci ! Oui ça y est, les notes, le plan et les références devraient être maintenant accessibles depuis la description !
@@antoinebrgt Super !
....et Maupertuis, Fermat, Descartes, Legendre,... vous en conviendrez :)
Merci pour cette video!!
Question pour les symmetries qui sont modélisée comme des fonctions M->M, donc dependant seulement de la position. Comment prendre en compte les boosts (Galiléens par exemple) qui sont des symmetries faisant intervenir les vitesses ?
Merci pour ce genre de vidéo !!
Merci !
c'est tellement bien expliqué que même moi j'ai compris.
merci pour le partage
salut et joie
Super intéressant. Vers 2:30:00 quand on parle du fibré tangent j'aurai bien aimé une illustration en dimension 1, 2 ou 3 pour les dérivées et ces définitions. En particulier je ne conçoit pas bien que d/dq1 soit un vecteur. J'ai un peu du mal à voir ça et je suis sûr que avec une illustration en dimension accessible on pourrait clarifier grandement
En effet j'aurais pu passer un peu plus de temps là-dessus, j'en ferai peut-être une vidéo entière un jour en fait (expliquer comment un voit un vecteur en géométrie différentielle). Ou alors plus modestement je ferai un petit bonus à cette vidéo, à voir.
@@antoinebrgt je suis aussi intéressé par une présentation plus longue sur le sujet. La présentation dans cette vidéo introduisait bien les choses! ;) czcams.com/video/JtN8dkFglsA/video.html
Celle-ci aussi! plus old school! czcams.com/video/xLeXG2V31vg/video.html
Je peux te proposer une illustration assez simple en dimension 1: tu prends le cercle unité (cos(u), sin(u)); tu sais que le vecteur unitaire tangent en ce point du cercle est (-sin(u),cos(u)), donc la tangente en ce point est décrite sous forme paramétrique par (cos(u) -t*sin(u), sin(u) + t*cos(u)) t décrivant les réels. Le fibré tangent est la variété de dimension 1 + 1 décrite par l'application (u,t)->(X(u,t), Y(u,t)) = (cos(u) -t*sin(u), sin(u) + t*cos(u)). Pour visualiser mieux, si tu vérifie que X²+Y² = t², autrement dit, ce fibré se plonge dans un cône de révolution de R^3
Parfaitement expliqué, gg!
Merci !
Bonjour et merci pour cette super vidéo. Bravo. La difficulté est de trouver le Lagrangien qui décrit le système étudié (est-ce que ce Lagrangien est unique d'ailleurs ?). Je n'ai pas compris ta démo du th de Noether, est-ce que tu as un lien plus détaillé ?
Bonjour, oui en effet le Lagrangien n'est pas facile à trouver a priori (même si pour les systèmes mécaniques c'est juste Energie cinétique - Energie potentielle).
Pour le théorème de Noether, tu peux regarder les références données en description (pour avoir les mêmes notations). Sinon, sur Wikipedia il y aura peut-être des versions plus intuitives avec moins de formalisme. J'essaierai d'illustrer tout ça dans une future vidéo de toute façon !
Excellente vidéo comme toujours ! J’ai une question : Existe-t-il un équivalent du principe de moindre action en thermodynamique qui permet de vérifier que les forces dissipatives vont inévitablement transformer toute sorte d’énergie en chaleur ?
Le PMA est valable pour toute la physique sans exception. En physique, un changement d'état quelconque produit une quantité d'action. La Nature intègre automatiquement et de manière intrinsèque le principe de moindre action en "choisissant" LE chemin qui minimisera cette quantité d'action (exemple: les équations d'Einstein pour la relativité générale sont les solutions d'un problème de PMA, etc...) . La vie est incroyable!
Bonjour, et merci pour cette vidéo passionnante, comme d'habitude. J'ai quelques questions, pourtant sur la première heure. D'une part, le formalisme Lagrangien s'applique-t-il aux systèmes dissipatifs? si non, peut on élargir le système de sorte que dans ce système élargi, en modifiant le Lagrangien, l'énergie soit conservée? une autre question, sur la notion de "moindre": y a t il des cas où tous les points critiques sont des points selles? dans votre formulation, le chemin de moindre action est décrit en quelque sorte comme un point d'équilibre parmi tous les chemins possibles. Le cas du point selle traduit il l’absence de point d'équilibre? Une petite remarque, pour la question de la petite bosse: il suffit, me semble-il, de remplacer delta_x par une fonction nulle partout sauf au voisinage d'un point, où elle vaut l'intégrande
pour être sûr que celle-ci est nulle (le "Fundamental lemma of calculus of variations" est assez trivial vu comme ça). Et enfin, concernant la géodésique, elle est point critique de la distance, plutôt que de l'énergie, son carré. Si elle est parcourue à vitesse constante, les points critiques coïncident par C.S. Merci encore pour ce moment de stimulation intense!
Pour les systèmes dissipatifs, une approche est d'ajouter une "fonction de Rayleigh", mais du coup on n'a plus vraiment les équations d'Euler-Lagrange, donc ce n'est pas vraiment satisfaisant. Au niveau fondamental cependant, on conjecture qu'il n'y a pas de tels effets.
Pour la question sur les points selles, je pense que ça dépend de la topologie des systèmes étudiés. Dans les cas simples on minimise, mais il y a sans doute d'autres comportements.
Très explicite. Merci
Bonjour et merci pour cette super vidéo qui rappelle pas mal de souvenir et m'a permis de faire pas mal de connections entre des connaissances mathématiques et des faits que j'avais vu en physique sans en comprendre une description mathématique précise. J'ai quand même quelques remarques/questions qui me sont venues lors du visionage:
- Tu dis lorsque tu abordes le théorème de Noether que tu ignores le temps pour ne pas compliquer les choses. Est-ce que j'ai raison de présumer qu'une formulation plus générique consisterait à considérer une variété de dimensions n+1 avec le temps comme dimension supplémentaire? Dans ce cas la conservation de l'énergie est-elle bien aussi une instance du théorème de Noether, dans laquelle la condition "système isolé" est en fait une symétrie par "translation dans le temps". Cette intuition reste quand même bizarre car il me semble qu'on a quand même besoin d'un temps "externe" pour paramétrer les chemins. De plus il me semble que dans ce cas, on ne peut pas considérer n'importe quel difféomorphisme de la variété, pour exclure des retournements, ou pire, des oscillations dans la dimension temporelle à moins que ces situations soient effectivement réalisées par des particules élémentaires?
- Toujours à propos du théorème de Noether, tu mentionnes qu'il faut un groupe de symétries continues, ca m'a fait me poser la question de s'il existe des cas physiques avec des symétries mais seulement discrètes, et je pense que j'en ai trouvé au moins un exemple: les cristaux. Ai-je bien raison de penser que pour les cristaux ce théorème ne s'applique pas, et que la structure très symétrique, mais discrète ne correspond pas nécessairement à une quantité conservée lors de l'évolution du système?
- Je suis un petit peu resté sur ma faim sur ce qui concerne les contraintes. Notamment quand tu as présenté le pendule, tu as introduit le coefficient de Lagrange, et je vois bien pourquoi lorsqu'il s'agit de résoudre l'équation. Mais vis-a-vis du formalisme que tu as présenté après son rôle n'est pas immédiat. Je pense qu'en fait on a changé de variété pour se restreindre au cercle, mais j'ai du mal à cerner le rôle de ce coefficient dans ce cadre sans prendre un papier et un stylo et faire les calculs par moi même. J'aurais aimé que tu reprennes cet exemple et que tu montres en quoi le formalisme consistant à voir un système physique comme une variété et un Lagrangien permet de retrouver le Lagrangien que tu avais initialement annoncé pour le pendule.
Sans vouloir me substituer à Antoine, qui est d'un tout autre niveau, pour ta première question, je crois que par exemple pour démontrer l' équation d'Einstein, la fonctionnelle utilisée ne fait pas appel à une intégrale sur un chemin, mais de la courbure scalaire sur tout l'espace temps (avec l'élément de volume correspondant). Dans ce cas, la quantité conservée est bien l'énergie, ou plutôt le tenseur d'impulsion énergie, qui est une forme physique de l'identité de Bianchi. Mais de façon plus élémentaire, rien d'interdit que le Lagrangien contienne le temps de façon explicite, comme c'est déjà la cas pour le Hamiltonien. Pour les symétries discrètes, il n'y a pas de quantité conservée en tout cas, la démo du théorème fait clairement usage de la structure de groupe de Lie des symétries. Mais il y a peut être d'autres résultats.
Vidéo très intéressante comme d'habtiude! Vers la fin, vous parlez d'énergie définie en fonction du Lagrangien - est-ce que l'expression que vous donnez n'est pas plutôt le Hamiltonien qui n'est égal à l'énergie que dans des systèmes isolés? De même, ne peut-on pas étendre la condition de la conservation du Hamiltonien à tout système sans dépendance temporelle explicite (contrairement à l'énergie qui requiert un système isolé)? Merci en tout cas pour ces explications très claires!
Bonjour, J'expliquerai la relation entre l'énergie et le Hamiltonien dans la vidéo suivante, qui portera justement sur le Hamiltonien ! J'essaierai de répondre à toutes ces questions en détail :)
@@antoinebrgt Bonjour Antoine, finalement, y a t il une vidéo sur le formalisme Hamiltonien de prévue? Merci d'avance
@@ducdeblangis3006 Oui c'est ce soir !
Bonjour Antoine,
J'ai une question (J'espère que tu la verras malgré que je poste ce commentaire bien tardivement) :
Comme tu l'a souvent dit, ce sont les structures de groupes qui permet de traiter du concept de symétrie, quand est-il alors de la supersymétrie ?
D'ailleurs, penses-tu faire un jour une vidéo sur ce sujet ?
Oui je ferai certainement une vidéo sur la supersymétrie un jour (c'est un de mes sujets de recherche). Pour répondre à la question, il y a une notion de supergroupe ! Je parlerai de tout ça :)
Je suis pour le PMA.
Bonjour Antoine,
J'ai essayé de retrouver l'équation d'une conique pour la trajectoire des planètes, en utilisant l'équation d'Euler-Lagrange.
Ça me semble beaucoup plus difficile qu'avec le PDF couplé aux formules de Binet.
Quand j'essaie le changement de variable u(t)=1/r(t), et que j'applique Euler-Lagrange, je me retrouve avec des dérivées premières..., et ça devient une usine à gaz...
Est-ce que tu sais où on peut trouver une démonstration propre et nette ?
J'ai trouvé quelques trucs sur le net, mais ça saute trop d'étapes pour mon cerveau rouillé.
Bah lewis Hamilton a bien changé. Non je rigole. Lagrangien et hamiltonien cela me rappelle mes belles années d’études ˋ
Puisque le PMA est ce qui “force” le système à suivre la trajectoire que les lois de la dynamique imposent, un principe qui force aussi un système à évoluer de façon irréversible et toujours vers plus d’entropie ? Je me suis toujours demandé comment l’univers choisissait une évolution plutôt qu’une autre. Vu que tu viens de me donner l’illumination pour les systèmes physiques, je me demandais pour les chimiques.
Le principe de moindre action: c'est tout moi ;)
Merci beaucoup pour tes vidéos, je me régale à chaque fois et ça ouvre tout un tas de nouvelles questions auxquelles je cherche des réponses par moi même, mais là, j'avoue que je tourne un peu en rond dans les définitions, un coup de main pour démêler tout ça svp ?
Je m'explique : Ec = 1/2mv^2 ça vient d'où ?
Dans la vidéo, on s'en sert comme point de départ, et je comprends tout à fait la méthode :-) , mais en vrai, ca doit bien être la conclusion d'une formule plus générale ...
On comprend à la fin de ta vidéos, que les symétries de l'espace des configuration de la chute libre implique la conservation de la quantité de mouvement (mv) on doit pas être bien loin mais je ne vois pas ce qui relie que Ec à int(vdp) ni d'ou ca vient ?
En tout cas, j'avais aborder les lagrangiens dans mes études sans en voir toute l'élégance et la profondeur, ce que je découvre généralement dans tes videos. Alors Merci et hâte de découvrir ce que j'ai raté sur les Hamiltoniens ;-)
C'est une bonne question, en physique il y a toujours à un moment un point de départ expérimental... Je dirais que le fait que Ec soit proportionnel à la masse et au carré de la vitesse est un fait expérimental, qu'on a ensuite intégré fondamentalement au formalisme, ce qui fait qu'on peut effectivement maintenant le voir comme un cas particulier d'une loi plus générale. Mais en effet ça semble un peu circulaire de dire qu'on a "démontré" l'expression de l'énergie cinétique, dans le sens où de toute façon pour décrire un système par un Lagrangien il faut d'une certaine façon déjà connaître le système suffisamment pour pouvoir écrire le Lagrangien.
@@antoinebrgt Merci de ta réponse, en tout cas, je t'encourage tellement à continuer, tu me donnes une fenêtre sur les théories que j'aurai aimé avoir eu le temps d'aborder plus jeune et vivement le tome 2.
Merci encore
@@skyppiland Merci ! J'essaierai de faire le tome 2 en janvier (probablement le 22).
Une petite question complémentaire, concernant la modélisation du pendule (à 1h17): en fait, la trajectoire du cercle x²+y²-l² = 0 peut avoir une infinité de formes possibles, par exemple ( x²+y²-l²)^25 = 0; ce phénomène est très général. Y a t il un théorème affirmant que quelle que soit la forme paramétrique de la contrainte, on aboutit aux mêmes équations? Merci encore, et vivement la prochaine vidéo
En effet c'est une très bonne question, pour que le formalisme (en particulier hamiltonien) fonctionne il faut supposer en plus que les équations de contraintes sont "régulières". Cela se traduit ici par le fait que la dérivée de la contrainte ne doit pas être nulle sur la surface contrainte, ce qui est le cas de x²+y²-l² mais ce n'est plus le cas si on prend une puissance. Dans le cas général il y a une contrainte de rang sur la matrice Jacobienne obtenue à partir des équations de contraintes. Tu peux lire les détails dans le chapitre 1 du livre de Henneaux et Teitelboim, "Quantization of Gauge Systems".
@@antoinebrgt Merci pour cette précision, je comprends que, formulée mathématiquement, on voudrait donc que la sous-variété de l'espace de configuration définie par, mettons ici f(x,y) = 0, soit une "vraie" sous-variété i.e. que f n'y ait pas de point critique. Je me demande si il y a un lien avec la théorie de Morse...
@@antoinebrgt Le livre est à la bibli des "sciences expérimentales" de l'"École, je vais l'emprunter ASAP! Merci pour le renseignement.
Oui pour la théorie de Morse je ne sais pas trop. En effet dire que c'est une "vraie sous-variété" semble être pertinent (on veut par exemple pouvoir inverser localement, pour faire des transformées de Legendre, etc).
Et c'est une bonne idée de regarder ce livre, il est très précis sur le sujet !
@@antoinebrgt On doit pouvoir se faire une idée en jouant sur les signes devant x et y; les fonctions de Morse auront des signatures différentes, et la forme des équations du mouvement différeront. C'est bien le diable si un Witten n'a pas exploré ce genre de question à des niveaux stratosphériques!
Encore une excellente vidéo ! J'adore les choix pédagogiques : c'est à la fois pas vraiment de la vulgarisation, ni un cours universitaire 👏
Grand merci (et à quand la prochaine ? #pression)
Merci beaucoup :)
La prochaine sera pour le samedi 22 janvier 2022 normalement !
Il y a quand même une ambiguïté dans le théorème de Noether tel qu'énoncé ici: il ne fait pas référence aux trajectoires physiques sauf erreur, alors que la démonstration utilise bien les équations de Lagrange, donc l'invariance n'est vraie que le long de ces trajectoires. Connaissant très peu le sujet, je voudrais aussi savoir si les charges qui interviennent par exemple en QFT sont liées à ce théorème (et même, est-ce que les Lagrangiens invariants par transformations de jauge donnent lieu à des invariants, et ce même hors de la QFT). J'avais vu ce type de situation pour des invariants topologiques à la Donaldson-Freedman, mais pour la physique??? Merci Antoine!
Dans la définition de "loi de conservation" que je donne, il est bien précisé qu'on regarde un gamma "physique" (autrement dit, une trajectoire donnée par les équations d'Euler Lagrange).
Oui les charges (globales) en QFT viennent bien en général de ce théorème. Le cas des symétries de jauge est un peu subtil car il faut distinguer symétrie du Lagrangien (comme énoncé ici) et redondance de jauge (en gros, la subtilité vient de ce qu'on appelle l'espace des configurations).
@@antoinebrgt Merci beaucoup pour cette précision, je n'avais pas vu que dès l'énoncé, on se restreint aux trajectoires physiques. Donc pour résumer, il faut que le lagrangien soit invariant pour toutes les trajectoires, mais les quantités conservées ne le sont que le long des trajectoires effectives! je me permet deux autres questions: si on a un groupe, mettons, de Lie qui rentre dans ce cadre, le Lagrangien sera invariant par tous ses sous-groupes; y a t il un lien entre les quantités conservées par chacun de ces sous-groupes? pour les translations, c'est assez trivial ( les translations sont engendrées par celles/chaque axe par ex), mais si on prend GLn(C), il va donner un invariant; est-ce que chaque sous groupe va en donner d'un autre type? une autre question un peu naïve dans le même genre, dans la démo, on regarde en fait ce qui se passe au niveau de l'algèbre de Lie du groupe, mais qu'est ce qui empêche alors de remonter à un groupe ayant la même algèbre de Lie, et de se retrouver avec une quantité conservée par un groupe plus "gros"? Bien cordialement
J'aime bien la définition d'un système physique avec une variété et un Lagrangien. C'est dommage qu'il n'y ait pas plus de temps pour regarder d'autres exemples. Une autre fois peut être?
Oui je donnerai d'autres exemples quand je parlerai de Hamiltonien !
Bonjour,
Est-il simplement possible de savoir quel logiciel est utilisé en tant que "tableau" pour écrire ? Merci par avance.
Merci pour ce contenu de grande qualité. Etant en M2 Physique, c'est très utile !
J'ai tout expliqué dans la vidéo FAQ, je crois que le moment précis est indiqué dans la description :)
@@antoinebrgt merci pour ta réponse, je découvre ta chaîne depuis peu je n’avais pas regardé la FAQ.
@@guiguillollome pas de problème!
Je n'y comprends rien. SI j'imagine un projectile envoyé du sol où je définit l'énergie potentielle zéro, j'aurai, très esthétiquement, une fonction d'énergie potentielle qui sera la même parabole inversée, à la constante près, que la trajectoire du projectile, mgh(t) et h(t) seront des fonctions de type -x². L'énergie cinétique sera à l'inverse une fonction de type x², la parabole de l'énergie potentielle inversée, ce qui permet à l'énergie mécanique totale de rester constante. La différence entre énergie cinétique et énergie potentielle sera donc à son maximum au départ du projectile, sera de zéro à mi-hauteur, et atteindra son minimum au sommet de la trajectoire, avec min=-max. Comment pourrait-elle rester constante?
Bonjour Antoine
Maintenant que j'ai compris grâce à vous. Je voudrai savoir comment on a construit la densité lagrangienne de électrodynamique quantique ?
Je l'explique dans les vidéos sur les théories de jauge : on écrit le terme cinétique qui correspond à l'équation de Dirac, et on exige l'invariance de jauge. Cela produit automatiquement le Lagrangien pour QED.
Hello, je ne comprends pas comment tu obtiens les équations d’Euler du solide rigide à partir du lagrangien que tu poses.... Si je fais cela j’obtiens bien le terme de droite mais pas le terme de gauche. J’imagine que le terme de gauche correspond au symbole de Christoffel sur SO(3), tu as une référence où ceci est détaillé ? Car dans le livre d’Arnold ou autre ce n’est pas à partir du Lagrangien que ces équations sont obtenues. En te remerciant pour tout ce que tu fais :)
Désolé, je vois ça un peu tard. Est-ce que tu as toujours un problème sur cette question ? Je pense que c'est un sujet classique, donc une recherche google devrait mener facilement au résultat, je pense.
merci man tu gère
Bonjour
En utilisant les itérations de Gram-Schmidt ou de Householder mon PC retrouve les valeurs propres de la matrice initiale sur la diagonale de la matrice triangulée
par contre avec Givens il trouve n'importe quoi sur la diagonale de la matrice triangulée
De quelle matrice parles-tu exactement ?
@@antoinebrgt matrices carrées à coefficients réels, mais quelconques.
A quoi sert Givens? (qui est assez facile à programmer en Basic)
merci
Je suis content: en utilisant la notation matricielle des nombres complexes le même programme (et gram-schmidt) trouve les valeurs et vecteurs propres (il vaut mieux des petites matrices à coefficients réels avec une seule paire de valeurs propres complexes
avec les coefficients complexes ça donne un peu n'importe quoi au delà de 3*3 mdr)
Une autre question:
en mettant sous forme de matrice symétrique la forme canonique la plus générale (à coefficients réels )
ax2+by2+2cxy+dx+ey+f=0
on retrouve pas mal de choses et le PC peut tracer les courbes et les asymptotes (hyperbole).
Par contre quid des foyers? ont ils un rapport avec les valeurs et vecteurs propres de la matrice issue de la forme canonique?
merci
L'approche par le Lagrangien a quand même un aspect Deus Ex Machina: le sentiment qu'on a est que d'une part, la notion de force semble s'effacer de la physique, d'autre part, qu'il y a quelque chose d'un peu mystique dans le terme "principe"; est-ce un postulat? un théorème? une simple trousse à outils?
Oui certes, mais en quoi est-ce différent de la seconde loi de Newton, ou de la conservation de l'énergie ? Il s'agit simplement d'un principe qu'on déduit d'observations de la nature, et dont on constate qu'il décrit précisément tout un tas d'autres systèmes. C'est le problème avec les lois physiques, ce ne sont pas des théorèmes en général, et in fine il faut toujours en revenir à l'observation et l'expérience.
Une des choses qui rendent l'approche Lagrangienne vraiment populaire en physique théorique est son utilisation en physique des particules, en cosmologie, etc.
@@antoinebrgt D'accord, le statut du Lagrangien n'est ni plus ni moins légitime que la RFD, finalement, je pensais surtout à son utilisation dans des situations où l'approche par les forces est plus pédagogique. D'ailleurs, il me semble que l'on ne s'en sert pas en prépa, ni même pour l'agrég de physiqe
Pour information...le début est niveau première/ terminale spécialité physique
Oui, j'essaye de commencer basique, après la pente est peut-être un peu raide :)
À 1h55, TM pour "M = cercle" est un cylindre
merci
Bonjour, Vous utilisez le "Whiteboard" de microsoft pour écrire avec la tablette ou un autre logiciel ?
Bonjour, non j'utilise Gimp, et une tablette graphique.
Merci.
Bonjour; merci pour ces super vidéos. Le lien pour télécharger les notes ne marche pas (plus)
Bonjour, j'ai vérifié, et chez moi le lien fonctionne, est-ce qu'il y a toujours un problème pour vous ?
Pour le théorème de Noether ça serait pas g(s)*L=L , L étant une 0-forme et donc d/ds(g(s)*L) est la derive de Lie dans ce cas d'un champ scalaire dans la direction de (dg/ds)(0), en tout cas merci pour le travail très intéressant que tu fait.
bonjour, si on ne supprimer l’approximation paraxialle ( sin θ = θ …), comment fait-on pour résoudre l équation différentielle du pendule ? en cours je résolvais en enlevant le sinus mais si on ne peut pas?
Dans ce cas, l'équation différentielle n'admet pas de solutions fermées, et il y a deux réponses à ta question (selon mes souvenirs de prépa): d'une part, on peut calculer je crois la période au moyen d'une intégrale, simplement en écrivant la conservation de l'énergie et en intégrant sur une période. Et il y a bien sûr des méthodes purement numériques.
@@ducdeblangis3006 super merci pour ta réponse ☺
Oui comme l'a dit Duc DeBlangis tu n'auras pas de solution "simple". Il y a des façons d'exprimer la solution en termes de fonctions de Jacobi mais ça ne t'apprend rien car ce sont des fonctions définies par cette équation différentielle. Je parlerai de problèmes analogues dans une vidéo l'année prochaine... à suivre !
@@antoinebrgt merci aussi pour ta réponse 🤔
Bonjour peux tu, un jour, nous faire un exposé sur les tenseurs en mathématiques et en physique
Hm oui pourquoi pas, mais les tenseur c'est plutôt un outil technique qu'un sujet en soi, donc il faut voir comment amener le sujet. Je garde ça en tête !
@@antoinebrgt merci
Bonjour possible d'avoir le script ecrit en lien ?
Normalement c'est accessible via le lien en description
Prenom de Lagrange svp
Sujet passionnant et superbe présentation mais par pitié bois de l’eau 😮💨
Le Lagrangien vaut toujours Ec-Ep en physique ?
En mécanique classique je dirais que oui, si ces notions sont bien définies.
😊
Merci pour votre longue et intéressante vidéo. J'ai globalement apprécié la qualité de l'exposé. J'ai cependant une remarque sur la seconde partie. Ce n'est ni un jugement de valeur ni une critique. Puisque dans la démonstration des théorèmes vous utilisez explicitement les coordonnées standard, vous pouviez éviter les longues et difficiles digressions mathématiques sur les variétés et les fibrés tangents... Cela n''éclaire guère mieux l'aspect physique. Mais peut-être vouliez vous vous faire plaisir? 😀 Sinon chapeau pour votre talentueux travail et votre implication désintéressée 👍
Oui en effet je pense qu'il n'était pas entièrement nécessaire de parler des fibrés pour cet exposé, mais je pense qu'il est utile d'introduire ces notions dans des cas simples, comme ici, précisément parce que cela permet de démystifier la notion, et on est alors plus à l'aise pour l'utiliser dans des cas plus compliqués !
En dis souvent que la vitesse et la positon sont les info d'un système et gamma prime l'ai prends tout les deux alors est ce que gamma prime est l'application linéaire qui défini info du systéme
Qui prends R => i
R = temps , i = le vecteur unifiant la position et la vitesse
Je n'arrive pas à comprendre la question, est-ce que tu peux dire de quel endroit dans la vidéo tu parles ?
@@antoinebrgt la oû tu faisait la définition de gamma prime
Petite remarque anecdotique : vous confondez moralement en mentalement. C'est d'ailleurs très fréquent chez les mathématiciens, et je serais curieux de savoir d'où vient ce phénomène singulier !
Rien d'étonnant avec les équations 🧐
Salut, Tu expliques Très Bien (on voit très bien que Tu Comprends Conceptuellement ce dont Tu parles) ; "Trop" Bien à mon avis en fait.
Tu n'es malheureusement pas le seul à faire cette Erreur mais
. "Expliquer Tout" sans
. LAISSER À L'APPRENANT LE TEMPS D'AVOIR UNE CHANCE DE TROUVER PAR LUI-MÊME LES RÉPONSES, LES RÉSULTATS,
c'est Contre-Productif au niveau du Développement de la Capacité Créative de ce dernier ; ça rend son Intellect Fainéant et l'Handicap pour le futur, s'il veut réaliser une Carrière dans la Recherche . :/
Pour public averti !
Oui d'une certaine façon ce n'est pas la présentation la plus standard :)
L'histoire du dS = 0 , ce n'est pas vraiment intuitif.
On m'avait vendu en prépa l'écart de trajectoire comme un déplacement virtuel .
...un trop de " hmmm... du coup", non ?
Oui ce n'est pas forcément très intuitif, j'ai essayé de le justifier avec les mains mais c'est peut-être pas très convainquant.
Pour les hmmm, ce sont les désavantages du direct et de l'improvisation (je préfère avoir une certaine spontanéité dans les explications, et par conséquent je ne prépare pas les phrases à l'avance).
Moi je vois plutôt le mouvement comme un équilibre non perturbé. Le dS nul correspond au fait qu'on n'y touche pas (pas de viscosité, pas de mains sur l'objet et on le laisse évoluer sur sa trajectoire "naturelle", donc pas d'écart artificiel)
@@antoinebrgt Question "expression orale" c'était surtout le "du coup" que pouvez remplacer par ensuite, donc, alors, on en conclut, par ailleurs, car ....les canadiens sont très surpris par la profusion des "du coup" à toutes les sauces
@@pierre-marcshinkaretzky8851 D'accord, j'essaierai d'y faire attention !
Ernest?😊
Comme c'est pénible cette répétition de "Du coup" ? Pourquoi, de quels coups parlez-vous ? Est-ce comme au billard avec un coup de queue quand certains coups ne se font qu'à vitesse nulle car V n'est rien et non que : "du coup, V, eh ben, ça vaut zéro, on va dire" !
Le mec on lui offre 3 heures de cours ultra poussé, ultra travaillé gratuitement et la seul chose qu'il trouve à dire c'est râler pour 3 tic de langage qu'il est le seul à avoir remarqué. Une belle personne...
@@jacquesmrl1180 Chacun sait que le CZcams est considéré par beaucoup comme un fourre-tout et un exutoire. La preuve, votre langage est du charabia de comptoir. En outre votre mentalité est peu reluisante car ce n'est pas parce que c'est gratuit qu'il faut se contenter de supporter l'indigence et l'inculture. Il y a tant d'autres mots ou expressions qu'un professeur digne de ce nom devrait utiliser, ne serait-ce que pour le respect de ses auditeurs et la précision de son enseignement.
autant je trouve que toute critique est bonne à prendre et que vous avez bien fait de faire la remarque dans un premier temps, autant je trouve que la réponse va trop loin. Parler d’inculture est, à mon avis, un peu fort. C’est un véritable exercice de s’exprimer sans s’arrêter comme il l’a fait.
Pour ma part, j’ai fait une remarque sur sa déglutition qui m’est devenue insupportable au fil de la vidéo. Mais je n’irai pas jusqu’à parler d’irrespect pour les auditeurs. Il a axé son exposé sur la simplification et la vulgarisation.
@@sofianehammou6219 merci de votre réponse. Je redis que ce n'est pas l'individu que je critique mais c'est surtout de constater que se répand même dans le milieu universitaire le relâchement et le débraillé, voire la vulgarité et le parler Neuf-Troyes. C'est minable au possible !
Dommage, trop de pubs ont été introduites récemment toutes les 5 minutes ! Et en plus des pubs de caniveau de faiseurs de fric ou pire ! Pas digne de Scientia Egregia ! Mais cela doit être indépendant de la volonté d'Antoine et imposé par CZcams/Google ! On a confiance en la réaction prochaine d'Antoine !
Ah bon il y a des pubs ?! Pourtant je ne monétise aucune vidéo. Comment est-ce que je pourrais réagir?
La meilleure réaction serait probablement d'utiliser un bloqueur de publicité, mais je ne sais pas à quel point c'est efficace...
@@antoinebrgt Merci Antoine pour ta réaction (très rapide) ! Je pensais bien que cela ne provenait pas de ta propre volonté ! De plus en plus de pubs intra-vidéo ( à l'Américaine ! ...) apparaissent sur CZcams mais certaines chaînes comme la chaine du Collège de France avec par exemple la vidéo "chef-d'oeuvre" de l'interview de Claude Cohen-Tannoudji par Etienne Klein datant de 2004 mais mise en ligne en 2020 ne comporte toujours aucune pub et sans que j'aie paramétré un quelconque bloqueur de publicité ! ... ?
@@DamienSchmid c'est curieux, je ne sais pas du tout comment faire pour s'en débarrasser ( autre que s'abonner à CZcams premium burn sûr). C'est insupportable s'il y a des pubs régulières dans une vidéo de 3h...
@@DamienSchmid Dans ce cas tant mieux, je ne sais pas ce qu'ils font, peut-être que les chaînes institutionnelles bénéficient d'un traitement spécial !
Pour un retour au texte d'Euler 1753 sur le principe de moindre action, voir notre analyse sur notre bibliothèque numérique d'histoire des sciences #BibNum www.bibnum.education.fr/physique/physique-mathematique/sur-le-principe-de-la-moindre-action A.M.
Bonjour Antoine,
Pourquoi ne contacteriez-vous pas un éditeur pour mettre en « forme » manuscrite tout votre formidable travail sur cette chaîne CZcams ?
Il y a vraiment un public à toucher qui comme moi possède des bases universitaires en mathématiques (j’étais professeur d’économie mathématique et d’économétrie) et est désireux - ayant désormais beaucoup de temps libre - de découvrir la physique théorique sous un autre aspect que la vulgarisation insipide.
Il y a, dans ce domaine, la collection pour les francophones : « le minimum théorique » de Léonard Susskind ; mais hélas celle-ci s’est arrêtée au bout du troisième tome : « le minimum théorique en relativité restreinte et théorie classique des champs ».
De plus, vos qualités pédagogiques indéniables assureraient le succès d’une telle entreprise et combleraient une attente.
Bien à vous.
Bonjour, c'est une idée intéressante, il y a en effet peut-être un marché pour un tel livre, mais ce marché est sans doute trop petit pour intéresser un éditeur grand public. Peut-être certains éditeurs spécialisés ?
Merci pour la suggestion en tout cas !
@@antoinebrgt si ça peut vous aider et surtout vous décider à franchir le pas de la publication : la collection « le minimum théorique » est éditée par « les presses polytechniques et universitaires romandes ».
Les livres, trois en tout, sont de qualités ; ils se composent :
1) le minimum théorique en « mécanique du point » ;
2) le minimum théorique en mécanique quantique ;
3) le minimum théorique en relativité restreinte et théorie classique des champs.
Léonard Susskind devrait rédiger la suite : « Le minimum théorique en théorie quantique des champs et en relativité générale » pour un public anglophone .
@@fredericmarch2982 Susskind, je suis ses vidéos, assez géniales pour comprendre les idées importantes, et avoir un point de vue original, mais c'est quand même très brouillon, enfin, pour des gens ayant suivi un cursus "à la française", bien formalisé et mathématisé, ça peut être pénible. Dans un de ses cours (relat, je crois), il passe 15 min sur le cosh, sur les cordes, un temps infini sur des trivialités concernant les séries de Fourier, etc.