J'ai 50 balais, je ne vais plus à l'école et je n'ai pas de formation en math, mais j'aime beaucoup ça. Tes vidéo sont toujours un chouette moment dans ma journée, merci pour l'ensemble de ton oeuvre ;) ps : Je suis belge et je regrette de pas avoir fait les olympiades de math quand j'étais adolescent !
A force de regarder la chaîne, je prend des réflexes, j'ai tout de suite pensé à la seconde méthode, comme c'était le produit qui était demandé ! Toujours aussi instructif, merci !
Pour ce genre de question, il est facile de trouver très rapidement la réponse même si je vais sans doute avoir du mal à expliquer la méthode... La différence entre aXb et (a+1)X(b+1) étant de 57 (825-768), alors la différence entre (a+1)X(b+1) et (a+2)X(b+2) sera de 59 (884-825), puis celle entre (a+2)X(b+2) et (a+3)X(b+3) sera de 61 (945-884) et ainsi de suite (l'écart augmente de 2 à chaque fois : 57, 59, 61, 63, 65...). En conséquence, la différence entre aXb et (a+1)X(b+1) étant de 57, la différence entre aXb et (a-1)X(b-1) est forcément de 55 (768-713).
Attention au raisonnement mathématique. Tu affirmes quelque chose comme une évidence que tu ne démontres pas et qui ne découle ni d'une propriété connue ni d'un raisonnement logique simple. Bref elle est loin de "sauter aux yeux". Dans un concours où on ne t'a pas fait démontrer au préalable cette propriété que tu affirmes comme évidente, tu peux te prendre un zéro pour ça. Pour moi tu dois d'abord démontrer la propriété que tu énonces car elle est tout sauf évidente. Or cela nécessite un calcul un peu long et inutile pour la résolution de l'exercice.
Pas vraiment, (a+1)(b+1) = ab + a+b + 1 ce qui démontre que chaque increment de 1 augmente le produit de a+b+1. Dans ce cas particulier on en déduisait à+b = 56. Comme on voyait que les deux âges étaient impairs après un an et donc pair maintenant et que l’un d entre eux se terminait en 4 (5-1) alors l’autre se termine en 2. Donc assez vite on trouve 32x24 et les autres paires ne peuvent fonctionner car le produit de toutes les autres paires sera inférieur à 32x24 car ce sont les deux nombres les plus proches se terminant en 2 et 4. (Plus deux nombres dont la somme est égale sont proches plus le produi est grand ce que l’on peut démontrer séparément pour les curieux).
@@couli1807 De ce que j'ai compris en écoutant la vidéo, le but est de trouver la réponse rapidement sans avoir besoin d'indiquer un développement (peut-être s'agit-il même d'un QCM).
Même si c'est pas nécessairement évident, ça marche, je m'amuse souvent avec les nombres au carré et j'avais démontré que la différence augmentait à chaque fois de 2, or c'est un cas particulier où on choisit a=b
Merci ! C'est vrai que l'énoncé du début m'a perturbé, il n'était pas spécifié combien de personnes étaient concernées. Pour ma part, je me suis spontanément dirigé vers la seconde méthode. Dans ce genre de questions d'Olympiades où on ne demande pas les âges des 2 personnes, il faut en déduire qu'il y a un raccourci à emprunter.
J'ai eu une autre approche, celle d'une suite : 825-768 = 57 un an avant = 768-(57-2) = 713 un an après = 825+(57+2) = 884 et ainsi de suite en retranchant ou ajoutant 2 chaque année, par exemple n+2 = 884+(57+2+2) = 945 et n-2 = 713-(57-2-2) = 660 Cependant comme un commentaire l'a dit, au début on ne sait pas qu'il s'agit d'un facteur de 2 âges
J'ai fait la deuxième méthode mais sans le raccourci : j'ai simplement cherché a et b sachant que a>b (car 768 n'est pas un carré parfait or a et b sont des entiers) avec le système ab=768 et a+b=56. Une fois a et b trouvés , c'est facile de faire (a-1)(b-1)
Merci pour ce gentil problème 🤗 Trois petites remarques : 1 - l’énoncé au début de la vidéo est incomplet, il n’est pas précisé (contrairement à l’original) qu’il ne concerne que deux personnes (deux âges). Sans cette donnée, le problème n’est sans doute pas infaisable, mais beaucoup plus compliqué… 2 - quitte à passer par la méthode par factorisation, il est beaucoup plus simple et rapide de commencer par factoriser 825 (divisible par 25, 800 = 8 x 100 = 32 x 25 donc 825 = 33 x 25 - ou 11 x 75, mais le produit 768 permet tout de suite de confirmer que les âges sont bien 32 et 24) 3 - la méthode la plus élégante, simple et rapide est de poser : a et b les âges, m = ab (produit des âges) p = (a+1)(b+1) (produit des âges dans un an) on cherche n = (a-1)(b-1) (produit des âges il y a un an) alors : p = ab + a+b +1 n = ab - (a+b) + 1 p + n = 2ab + 2 = 2m + 2 et voilà 🤓 n = 2(m+1) - p = 2 x 769 - 825 = 713 Pas de décomposition en facteurs, pas de supputations sur les âges, juste trois lignes de calcul et une petite addition / soustraction à la fin… 🙃
On peut facilement démontrer que cela ne peut être que 2 personnes pour s assurer que notre résolution est bonne. Les âges doivent tous être supérieur à 10
Et donc l’énoncé n’est pas incomplet puisque l’on peut répondre à la question de manière définitive mais @hedacademy la résolution est incomplète puisque l’on n’a pas exclu trois et plus!
J'ai une troisième méthode à vous proposer. En développant (a+1)(b+1), on en déduit la valeur de a+b. Connaissant la somme et le produit de 2 valeurs, on sait qu'ils sont racines de l'équation x^2-s x+ p=0 avec s=a+b et p=a. De là , on déduit a et b, puis (a-1)(b-1).
je pense que la 2e méthode était sans doute la plus attendue étant donné la question. exercice sympathique et quelle que soit la méthode les explications sont au rendez-vous. :)
En voyant 825, j'ai tout de suite cherché un multiple de 25. De tête on trouve rapidement 800 = 25 x 4 x 8 = 32 x 25 et donc 825 = 33 x 25. Ensuite, j ai testé si cela fonctionnait pour le produit précédent 32 x 24 et on trouve le résultat final 31 x 23 = 713
Vraiment tu es as toujours compléter mes connaissances bien que je sois moi même mathematicien vraiment courage et merci beaucoup pour cette initiative
L'avantage de la deuxième méthode est qu'elle fonctionne même si le deuxième produit ne terminait pas par 5, ce qui est une condition forte pour la première méthode...
Si on veut pousser le raisonnement "calculatoire" au bout, on peut aussi partir du principe que l'on a un système de deux équations à 2 inconnues. Du coup on attaque par la méthode 2 et on arrive à b+a=56 d'où b=56-a. On remplace dans la première équation (a*b=768) et on se retrouve avec une équation du second degré : -a^2+56a-768=0. On résoud et on tombe sur 2 solutions : 32 et 24. Donc a=32 ou a=24. Cela étant, comme b=56-a on en déduit qui si a=32, b=24 et si a=24, b=32. On peut ensuite calculer (a-1)(b-1) soit 31*23=713. J'aurais sans doute pu trouver plus long comme méthode mais je n'étais pas en forme 😉
Moi j'étais parti sur la 2eme méthode mais ensuite j'ai fait plus classique ( plus long surement mais je me sentais plus a l’aise comme ça) = a=(56-b), ensuite par substitution b(56-b)=768 et j’ai fini avec delta se qui m’a donné l’âge actuelle, ensuite pour l’âge il y a un ans c’était facile (24-1)(32-1)=713…mais j’ai bien aimer les deux autre méthode, je les note
Aujourd'hui : ab=768 (1) Demain (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=825 (2) de (1) et (2) : a+b=825-1-768 = 56 on cherche Hier : H=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1 H= ab -(a+b) +1 =768-55 =713
J'ai un exercice pour toi si ça t'intéresse : Résoudre dans R l'équation suivante: 9x³+12x²+x-2. Le hic à voir dans l'exercice, c'est la racine évidente, qui va permettre de trouver une manière de factoriser l'équation pour avoir une équation de degré 1 qui est déjà résolu multiplié par un équation de degré deux avec notre ami delta. Dis moi si tu vois ce commentaire ce que tu en pense ? Vive les maths !
Perso je suis dans la team méthode 2. C’est comme ça que j’ai naturellement résolu le pb avant de regarder la vidéo. Merci pour tous ces petits bonbons mathématiques ! ❤
Bonjour, Perso j'ai fait la méthode 2 + option eq 2ème degré pour les âges. La décomposition peut dans certains cas être plus complexe donc je ne lance pas trop dedans... Si on cherche les âges là méthode 1 est, dans ce cas, plus rapide mais ce n'est pas l'objet de la question et des erreurs de multiplication arrivent, sans calculette plus vite, que les additions chez moi... Par contre l'autre point en lisant le sujet est que a et b sont pairs. En effet (a+1)(b+1)=XX5 ==> 2 termes impair et au moins un finissant par 5... Donc a et b sont pairs et au moins fini par 4.
Décomposition en nombre 1er de 825 Ça donne 25×33 = 5×5×3×11 Du coup seulement 3 couples (a,b) cohérent pour des âges : 25 × 33 55 × 15 75 × 11 En calculant à peine (a-1)(b-1) on trouve rapidement la réponse
Autre possibilité: a x b = 768 (a + 1) x (b + 1) = ab + a + b +1 = 825 768 + 1 + a + b = 825 a + b = 825 - 769 = 56 Comme a x b =768, et a + b = 56, l'un finit par 4, l'autre finit par 2 (2 x 4 = 8 du 768; et 2 + 4 = 6 du 56). L'âge du plus vieux est inférieur à 56 ans (car a + b= 56), on a donc: 2 et 54 12 et 44 22 et 34 32 et 24 42 et 14 52 et 4 On trouve: 32 x 24 = 768 33 x 25 = 825 Et: 31 x 23 = 713
J'ai fais un autre raisonnement basé sur de l'analogie. 768. Pour se donner une idée, très rapidement : 20*20=400 20*30=600 30*30=900 20*40=800 et 30*40=1200. Je sais que j'aurais un terme au dessus de 20 et en dessous de 30 et que le deuxième terme sera au dessus de 30 et en dessous de 40. (a+1)(b+1)=825, ça veut dire que l'un des terme se termine par 5 et l'autre est impair. Du coup, je tente tout de suis 825/25 car je vois que, se terminant par 25, 825 c'est quelque chose comme 25*4*x+25. Çà se fait de tête très simplement : 25*10=250, 250*3=750 750+75=825. 10*3+3=33. 25*33=825. Du coup (a+1)=25 et (b+1)=33. Du coup (a-1)=23 et (b-1)=31 23*31 c'est 23*3*10+23=69*10+23=690+23=713 C'est pas très beau mais j'avais la flemme de prendre un support pour noter. (C'est pas pour me jeter des fleurs, au contraire, c'est un exercice que je me donne parfois pour travailler mon raisonnement et ma représentation mentale, chose que j'avais laissé de côté pendant très longtemps).
Mais en lisant l'énoncé pour la première fois, je me suis demandé il y avait qui dans "nous" ou "nos" âges, 2, 3, 4, 5 personnes ? Je trouve que c'est pas clair .. ça peut tromper plusieurs personnes surtout dans un état de stress. Ils auraient pu écrire "nous 2", la question devient très simple en plus ..
À partir du moment où on capte qu'un des deux âges doit finir par 4, il est assez rapide de trouver en divisant 768 par 14, 24, 34, etc puis regarder avec ce qui donne un résultat rond. C'est comme ça que j'ai procédé pour ce coup mais bon le nombre de candidats restreint donc on peut se permettre de tester 😂
J’ai utilisé la deuxième méthode mais en posant x = ab = le produit de leurs âges il y a un an. J’ai donc (a+2)(b+2) = 825 et (a+1)(b+1)=768. J’obtiens deux équations : (L1) x = 821 - 2a - 2b (L2) x = 762 - a - b (L1 - 2L2) x = 713
Avant d'aller choisir les multiples faisant 768, j'ai d'abord développé la deuxième équation xy+x+y+1=825 Comme on sait que xy=768 : 768+x+y+1=825 x+y=56 Et alors on cherche deux nombres dont un finissant par 4 dont la somme est 56 et le produit 768. Du premier coup j'ai pensé à 24, par dichotomie en quelque sorte vis à vis de la somme. J'ai donc essayé 24×32 et le compte est bon. Ça me paraît plus simple que de partir uniquement des grands chiffres.
A partir de la ligne avec le résultat de x+y il est également faisable de déterminer une équation du second degré à partir du produit et de la somme des termes ce qui nous redonne bien 24 et 32
Méthode encore plus bourrin(e) qui ne rentre pas vraiment dans le cadre des Olympiades (trop de calculs "lourds" pour être fait de tête ou rapidement sur un bout de papier), surtout que les deux méthodes, surtout la 2 sont quand même plus "malines" : a x b = 768 donc a = 768 / b En détaillant à fond étape par étape : (a+1)(b+1) = 825 (768/b + 1)(b+1) = 825 ((768 + b)/b)(b+1) = 825 (768+b)(b+1)=825b 768b+768+b²+b=825b b² + 769b-825b + 768 = 0 b² - 56b + 768 = 0 D = 56² - 4x1x768 D = 3136 - 3072 D = 64 = 8² b = (56 - 8)/2 = 24 ou b = (56+8)/2 = 32 donc a = 768/24 = 32 ou a = 768/32 = 24 Comme ce qui nous intéresse est seulement le produit, le choix n'en est pas un Et ensuite, on peut faire (32-1)(24-1) = 713 Mais ma préférence va quand même pour la méthode 2 :)
Et si nous recherchions directement x et y, ages d'il y a un an ? Nous cherchons alors xy et nous savons que : (1) : (x+1)(y+1)=768 (x+y)+xy=768 (2) : (x+2)(y+2)=825 2(x+y)+xy= 825 2x(1) - (2) donne directement xy = 713. Merci pour la vidéo 🙂
ab=768 (a+1)(b+1)=825 ab+a+b+1=825 a+b=825-1-768=56 a et b sont racines de X^2-SX+P=0 avec S=56 et P=768 On résoud Delta=56^2-4*768=64=8^2 Donc ils valent (56+/-8)/2 soit 24 et 32. Si c'est une question des olympiades de math belges, çà me donne envie de raconter une histoire belge (Je suis français).
Je sais que la différence entre les 2 produits est a+b+1=825-768=57 et l'écart entre le premier produit et le produit recherché est a+b-1=55 donc le produit recherché est 768-55=713
La vidéo était faite de telle manière qu'au début, on ne savait pas combien de personnes étaient présentes, ce qui pimentait un peu plus l'énigme. Malgré tout, on retombait sur le même résultat, parce que le nombre 825 est multiple de 11, or 768 est 2^8x3. 11 n'est pas proche d'une puissance de 2, mais 33 l'est, on voyait bien que 825 contenait 33 et 738 contenait 32. Les deux multiples restant ne pouvaient être que 25 et 24. Bien entendu, une fois ce résultat obtenu, il fallait calculer l'âge 1 an plus tôt soit 31 x 23 soit 713.
Un peu trop phallique de mon point de vue... Ça me fait penser à un ado qui se mesure la kikette au dessus du lavabo!! 😮 Suis je le seul a avoir les idées mal tournées ? 😅 Je pense que j'ai cette impression parce que tout est centré et symétrique. Une équerre ou un compas à la place de la règle, peut être ?
(a+1)(b+1) = ab + a + b + 1 = 825, donc a + b = 825 - 768 - 1 = 56 (a-1)(b-1) = ab - a - b + 1 = ab - (a + b ) + 1 = 768 - 56 + 1 = 713 ça prends même pas 2 minutes et sans se prendre la tête avec 3 millions de possibilités
Alors avant de regarder : Si on pose x*y = 768 pour cette année, dans 1 an on aura (x+1)(y+1)=825. En développant on a x*y+x+y+1=825. Mais on connait x*y, on a donc 768+x+y+1=825 => x+y=56 La somme de leurs âges cette année est donc 56, on sait que dans 1 an l'un des 2 aura un âge finissant par 5 et l'autre un âge impair pour obtenir le 5 de 825. Donc cette année, l'un a un âge qui fini en 4 et l'autre est pair, ouf ça marche avec 56^^ Les possibilités de produits sont donc 4*52 ; 14*42 ; 24*32 ; 34*22 ; 44*12 et 54*2 768 c'est pas si loin de 800 et 56 pas si loin de 60, je pense donc qu'on aura un produit proche de 20*40. On voit vite que 14*42 et 44*12 ça ne sera pas assez (entre 500 et 600), ne parlons même pas des 2 extrêmes. reste donc 24*32 qui fait bien 768 et 34*22 qui fait 748 (pas loin mais pas bon^^). Ils ont donc 24 et 32 ans cette année, soit 23 et 31 l'année dernière. Le produit de l'année dernière était donc 23*31=713. Et maintenant la vidéo^^ Edit : Bon bah finalement, j'ai commencé comme la méthode 2, mais ensuite j'ai raisonné et conclut comme la méthode 1^^
Dommage vu votre niveau de ne pas avoir vu la solution la plus basique. Si on additionne (a+1)*(b+1) et (a-1)*(b-1) on trouve vite que 2ab+2 = X + 825 et c'est réglé (X = 2*768+2-825 = 713)
Coup de pot, le binaire c'est ma partie. 768 c'est 512 + 256 : y'a plusieurs candidats mais partons sur 48 et 16 ( = 768 ), un an plus tard: 49*17. ça finit surement pas par 5 .. perdu. Essayons 24/32 : un an plus tard: 25*33 = 825.
Il était aussi possible de déterminer l'âge de chacun puisque l'on connait la somme et le produit des deux âges. Après il était simple de répondre à la question posée !!!
Suis-je le seul à ne pas avoir saisi de suite qu'il n'y avait que 2 personnes ? Parce que du coup je suis parti sur un nombre d'inconnues... inconnu... 😅 C'était trip chaud pour moi ^^
C’est dommage que l on ne clarifie pas si c est 2 personnes seulement ou plus. Avec 3 personnes, on doit s assurer que chaque personne n augmente pas son âge de plus de 10% en prenant un an (car l augmentation du produit serait alors de plus de 10% alors qu ici cela est moins). Donc tout le monde doit avoir plus de 10 ans, le cuve de 10 est 1000 et donc il n y a que 2 personnes.
Perso je trouve la deuxième méthode beaucoup plus belle. On utilise juste les infos qu'on a a notre disposition pour en sortir le résultat directement.
Mais comme c'est évident une fois qu'on sait. Je n'y suis pas arrivé tout seul 😢 Et comme tu es rapide à 9:44 pour faire 825-769 !!!! Moi sans poser l'opération, impossible de trouver. 5-9 ça fait une retenue, et donc après je me perds. Trop compliqué. Pareil pour 769-56 ...
Bonjour, Pour les additions ou soustractions de tête, la méthode simple que j'utilise est dans un premier temps d'arrondir un terme à la dizaine proche puis de prendre en compte l'écart avec l'arrondi. Par ex. 825-769=825-770+1 Au besoin 825-769=25+800-770+1 Avec 770 on voit rapidement que l'écart avec 800 n'est que de 30 et donc de 55 avec 825. Après on n'oublie pas l'écart avec l'arrondi et on a 56. Ça marche aussi pour les multiplications en se rapprochant de nombres simples mais plus tendus... Bonne soirée
@@cxfx4199 Merci, mais bien compliqué pour moi les calculs de tête. Très compliqué. Impossible de se souvenir de la suite d'infos obtenus telle que tu expliques. A partir de ta solution : "Avec 770 on voit rapidement que l'écart avec 800 n'est que de 30 et donc de 55 avec 825" ouch, faut le calculer ça aussi ce 55. Et mon problème est qu'une fois arrivé à déterminer certains éléments comme tu décris, je ne sais plus ce que je cherche.😫 Terrible, terrible, j'ai tout essayé, rien à faire.
OLYMPIADE MATHÉMATIQUE BELGE??? suis impatient de voir ça... traduction de l'énoncé: xy = 768 (x+1)(y+1)=825 => xy +x+y + 1= 825 soit x+y = 825-769 = 56 (x-1)(y-1)=z ( z le produit il y a un an)... xy - x - y + 1 = z => 768 - (x+y) + 1 = z => z = 768 - 56 + 1 = 713... suis parti directement sur la 2ème méthode, cause, j'avais bien lu l'énoncé...
Si quelqu'un pense que sa methode etait trop longue et complique pour rien qu'il ne s'inquite pas il n'est pas le seul 👇 x * y = 768 x = 768/y On remplace donc x dans la seconde equation pour avoir une seule variable (768/y + 1)(y + 1) = 825 768 + 768/y + y + 1 = 825 (developement) 768/y + y = 56 768 + y^2 = 56y (je me debarasse de la fraction et ca devient donc une equation du second degre : y^2 - 56y + 768 = 0 qui quand resolu donne comme deux resultats 24 et 32, vu que 768 / 32 = 24 alors les deux ages sont 32 et 24, plus qu'a soustraire un de chaque cote et multiplier : 31 * 23 = 713)
je l'ai fait sans calculer a et b. a.b=768 et (a+1).(b+1)=825 donc ab+a+b+1=825 d'où a+b=56. on nous demande de calculer (a-1).(b-1)=? c à d on cherche ab-a-b+1=? on a a+b=56 et a.b=768 et donc ab-(a+b)+1=768-56+1=713. Voila 😊
L'énoncé ne précisait pas le nombre de personnes. J'ai démontré d'abord qu'il y avait 4 personnes maximum car (année n+1) 825 = 5 x 5 x 3 x11 et (Année n) comme 4x4x2x10 768 donc 3 personnes maximum. Ensuite ce sont des ages dont 2 personnes minimum . Ensuite j'ai posé chaque cas sachant que qu'aucune personne ne peut avoir 11ans en n+1 car en année n elle aura 10ans, et le produit avec 10 donne un nombre obligatoirement se terminant par 0.. De même qu'une personne a un age en n+1 se terminant par 5 et donc en année n, son age se terminera par 4. Après très simple de trouver la solution
On peut démontrer bcp plus simplement que c est deux personnes. L augmentation du produit des âges est de moins de 10% donc chaque personne ne peux vieillir de 10% , donc tout le monde a au moins 10 ans et le cube de 10 est 1000 donc 768 ne peut être le produit que de deux âges.
c'est une Olympiades donc un concours, la méthode à choisir ne dépend pas de qui on est. On doit choisir la PLUS RAPIDE . (Si on veut réussir le concours) . C'est celle qui consiste à RÉPONDRE DIRECTEMENT à la QUESTION POSÉE. 1°) Par PURE INTUITION: (ça signifie que l'on va tâtonner un peu) 825 est un multiple de 25, on trouve tout de suite que 825 = 25 x 33, (pas besoin de decomposition ! on divise 825 par 25) et que 768 est bien egal à 24 x 32 donc le produit cherché est 23 x 31 = 713. Bingo 2°) soit on utilise une belle astuce comme celle proposée dans un commentaire qui utilise que chaque année la somme augmente de deux points. 3°) Soit on fait des maths: (c'est douvent très court: le plus est de l'écrire ) la question posée peut se lire ainsi: sachant que ab = 768 et que (a +1)(b+1) = 825, combien vaut (a-1)(b-1)? Or (a +1)(b+1) = ab + a + b + 1 donc 825 = 768 + (a+b) +1 donc a + b = 825-768-1=56 et comme (a-1)(b-1) = ab - a - b+1 = ab- (a+b) + 1 alors le produit cherché = 768- 56 +1= 713. Remarque: cette solution suppose qu'on a eu la chance d'avoir un prof qui vous a fait travailler sur ces deux produits (a +1)(b+1) et (a-1)(b-1) 😉 4°) On pouvait le raisonner directement: un produit est égal au précédent additionné de la somme plus un (c'est ce que dit le développement de (a +1)(b+1). Donc le produit précédent est égal au produit MOINS la somme - 1. Reste a trouver la somme...etc. A quoi ça sert de savoir que 96 = 6 x 16 ? 😘😘Pardon mon ami. Ta démarche, qui était juste, mais pas optimale, est la conséquence de ta mauvaise conception de la division (pizza). Dans tes tutos, tu utilises très peu la notion de multiples ou de diviseurs. Tu passes beaucoup trop de temps à donner des astuces de calcul mental. Je vais t'offrir une jolie calculette. 😘😘🥰 le calcul mental est très utile (par exemple pour les pilotes) mais pas ici. CONCLUSION : ton tuto pousse à réfléchir et ça c'est VRAIMENT BIEN.
Bonjour, Pourquoi avoir tenté de forcer le (x-a) ² alors que vous pouviez utiliser le descriminant ? Surtout que la racine de 3 est à fuir lorsque vous cherchez des entiers... De plus, en faisant ce choix, vous avez tacitement choisi que les 2 personnes avaient le même âge car une seule racine de votre équation... Vous aviez : x²-56x+768=0 ==> delta = (-56)² - 4*768 L'ayant fait sans calculette 56²=8²*7²=64*49=64*50-64=3200-64 = 3136 4*768=4*750+4*18= 3000+72=3072 ==>delta = 64 = 8² > 0 donc 2 racines distinctes... Xi = (-(-56) + ou 8)/(2*1) Ce qui donne les 2 racines 24 et 32. Votre erreur a été de vouloir forcer 1 seule racine. Le plus simple est de faire le discriminant ou a + b = 56 et a*b=768 et retour à la méthode 1...
P. S. : Je n'avais pas lu les caractères bizarres. Sur un clavier pc azerty classique (Linux et Windows, je ne sais pas pour Mac) le signe ² est la première touche en haut à gauche de la zone des caractères alphabétiques. Elle est entre ESC et Tab.
J'ai 50 balais, je ne vais plus à l'école et je n'ai pas de formation en math, mais j'aime beaucoup ça. Tes vidéo sont toujours un chouette moment dans ma journée, merci pour l'ensemble de ton oeuvre ;)
ps : Je suis belge et je regrette de pas avoir fait les olympiades de math quand j'étais adolescent !
Pratique pour faire le ménage sur sa terrasse
A force de regarder la chaîne, je prend des réflexes, j'ai tout de suite pensé à la seconde méthode, comme c'était le produit qui était demandé !
Toujours aussi instructif, merci !
Pour ce genre de question, il est facile de trouver très rapidement la réponse même si je vais sans doute avoir du mal à expliquer la méthode... La différence entre aXb et (a+1)X(b+1) étant de 57 (825-768), alors la différence entre (a+1)X(b+1) et (a+2)X(b+2) sera de 59 (884-825), puis celle entre (a+2)X(b+2) et (a+3)X(b+3) sera de 61 (945-884) et ainsi de suite (l'écart augmente de 2 à chaque fois : 57, 59, 61, 63, 65...). En conséquence, la différence entre aXb et (a+1)X(b+1) étant de 57, la différence entre aXb et (a-1)X(b-1) est forcément de 55 (768-713).
Attention au raisonnement mathématique. Tu affirmes quelque chose comme une évidence que tu ne démontres pas et qui ne découle ni d'une propriété connue ni d'un raisonnement logique simple. Bref elle est loin de "sauter aux yeux". Dans un concours où on ne t'a pas fait démontrer au préalable cette propriété que tu affirmes comme évidente, tu peux te prendre un zéro pour ça. Pour moi tu dois d'abord démontrer la propriété que tu énonces car elle est tout sauf évidente. Or cela nécessite un calcul un peu long et inutile pour la résolution de l'exercice.
Pas vraiment, (a+1)(b+1) = ab + a+b + 1 ce qui démontre que chaque increment de 1 augmente le produit de a+b+1. Dans ce cas particulier on en déduisait à+b = 56. Comme on voyait que les deux âges étaient impairs après un an et donc pair maintenant et que l’un d entre eux se terminait en 4 (5-1) alors l’autre se termine en 2. Donc assez vite on trouve 32x24 et les autres paires ne peuvent fonctionner car le produit de toutes les autres paires sera inférieur à 32x24 car ce sont les deux nombres les plus proches se terminant en 2 et 4. (Plus deux nombres dont la somme est égale sont proches plus le produi est grand ce que l’on peut démontrer séparément pour les curieux).
@@couli1807 De ce que j'ai compris en écoutant la vidéo, le but est de trouver la réponse rapidement sans avoir besoin d'indiquer un développement (peut-être s'agit-il même d'un QCM).
@@legios07
Bonne idée. tu dois juste le prouver en écrivant : a.b-(a-1).(b-1)=a+b-1=55
Même si c'est pas nécessairement évident, ça marche, je m'amuse souvent avec les nombres au carré et j'avais démontré que la différence augmentait à chaque fois de 2, or c'est un cas particulier où on choisit a=b
Merci ! C'est vrai que l'énoncé du début m'a perturbé, il n'était pas spécifié combien de personnes étaient concernées.
Pour ma part, je me suis spontanément dirigé vers la seconde méthode. Dans ce genre de questions d'Olympiades où on ne demande pas les âges des 2 personnes, il faut en déduire qu'il y a un raccourci à emprunter.
Pareille je suis partie au départ du principe que le nombre de personnes n'était pas connue.
idem. j'allais écrire la même remarque mais à la fin de la vidéo, on voit l'énoncé d'origine donc 2 personnes. j'étais intrigué aussi😅
J'ai eu une autre approche, celle d'une suite :
825-768 = 57
un an avant = 768-(57-2) = 713
un an après = 825+(57+2) = 884
et ainsi de suite en retranchant ou ajoutant 2 chaque année, par exemple n+2 = 884+(57+2+2) = 945 et n-2 = 713-(57-2-2) = 660
Cependant comme un commentaire l'a dit, au début on ne sait pas qu'il s'agit d'un facteur de 2 âges
J’allais le mentionner! J’espère qu’il va voir ce raisonnement car cest le plus rapide!
J'ai fait la deuxième méthode mais sans le raccourci : j'ai simplement cherché a et b sachant que a>b (car 768 n'est pas un carré parfait or a et b sont des entiers) avec le système ab=768 et a+b=56. Une fois a et b trouvés , c'est facile de faire (a-1)(b-1)
Merci pour ce gentil problème 🤗 Trois petites remarques :
1 - l’énoncé au début de la vidéo est incomplet, il n’est pas précisé (contrairement à l’original) qu’il ne concerne que deux personnes (deux âges). Sans cette donnée, le problème n’est sans doute pas infaisable, mais beaucoup plus compliqué…
2 - quitte à passer par la méthode par factorisation, il est beaucoup plus simple et rapide de commencer par factoriser 825 (divisible par 25, 800 = 8 x 100 = 32 x 25 donc 825 = 33 x 25 - ou 11 x 75, mais le produit 768 permet tout de suite de confirmer que les âges sont bien 32 et 24)
3 - la méthode la plus élégante, simple et rapide est de poser : a et b les âges,
m = ab (produit des âges)
p = (a+1)(b+1) (produit des âges dans un an)
on cherche n = (a-1)(b-1) (produit des âges il y a un an)
alors :
p = ab + a+b +1
n = ab - (a+b) + 1
p + n = 2ab + 2 = 2m + 2 et voilà 🤓
n = 2(m+1) - p = 2 x 769 - 825 = 713
Pas de décomposition en facteurs, pas de supputations sur les âges, juste trois lignes de calcul et une petite addition / soustraction à la fin… 🙃
On peut facilement démontrer que cela ne peut être que 2 personnes pour s assurer que notre résolution est bonne. Les âges doivent tous être supérieur à 10
Et donc l’énoncé n’est pas incomplet puisque l’on peut répondre à la question de manière définitive mais @hedacademy la résolution est incomplète puisque l’on n’a pas exclu trois et plus!
J'ai une troisième méthode à vous proposer. En développant (a+1)(b+1), on en déduit la valeur de a+b. Connaissant la somme et le produit de 2 valeurs, on sait qu'ils sont racines de l'équation x^2-s x+ p=0 avec s=a+b et p=a. De là , on déduit a et b, puis (a-1)(b-1).
p=ab bien sûr
Merci, j’allais écrire la même chose. C’est toujours sympa de placer le polynôme x^2-Sx+P 😉
je pense que la 2e méthode était sans doute la plus attendue étant donné la question. exercice sympathique et quelle que soit la méthode les explications sont au rendez-vous. :)
En voyant 825, j'ai tout de suite cherché un multiple de 25. De tête on trouve rapidement 800 = 25 x 4 x 8 = 32 x 25 et donc 825 = 33 x 25. Ensuite, j ai testé si cela fonctionnait pour le produit précédent 32 x 24 et on trouve le résultat final 31 x 23 = 713
Vraiment tu es as toujours compléter mes connaissances bien que je sois moi même mathematicien vraiment courage et merci beaucoup pour cette initiative
L'avantage de la deuxième méthode est qu'elle fonctionne même si le deuxième produit ne terminait pas par 5, ce qui est une condition forte pour la première méthode...
Merci !! C'était intéressant💯 Pour moi c'était la deuxième méthode
Si on veut pousser le raisonnement "calculatoire" au bout, on peut aussi partir du principe que l'on a un système de deux équations à 2 inconnues. Du coup on attaque par la méthode 2 et on arrive à b+a=56 d'où b=56-a. On remplace dans la première équation (a*b=768) et on se retrouve avec une équation du second degré : -a^2+56a-768=0. On résoud et on tombe sur 2 solutions : 32 et 24. Donc a=32 ou a=24. Cela étant, comme b=56-a on en déduit qui si a=32, b=24 et si a=24, b=32. On peut ensuite calculer (a-1)(b-1) soit 31*23=713.
J'aurais sans doute pu trouver plus long comme méthode mais je n'étais pas en forme 😉
Exactement. 2 équations à 2 inconnues -> substitution. C'est le plus rapide.
@@Darwiin88 Je ne suis pas sûr que ce soit le plus rapide, en revanche ça évite de jouer aux "devinettes" :)
Moi j'étais parti sur la 2eme méthode mais ensuite j'ai fait plus classique ( plus long surement mais je me sentais plus a l’aise comme ça) = a=(56-b), ensuite par substitution b(56-b)=768 et j’ai fini avec delta se qui m’a donné l’âge actuelle, ensuite pour l’âge il y a un ans c’était facile (24-1)(32-1)=713…mais j’ai bien aimer les deux autre méthode, je les note
Extrêmement intéressant ce petit problème en apparence, et surtout extrêmement et agréablement expliqué ! Super super bravo!
Merci 😊
Fidèle à ma méthode bourrin, j'ai pris la seconde. Et pour une fois, c'était efficace 😀
Merci encore pour cette vidéo.
C’est vrai 😉
Merci beaucoup d'avoir répondu à la question! Super correction
Bonne question j'avais eu le même problème
Et merci à toi pour le message. J’ai pris du plaisir à tourner la vidéo 😊
Aujourd'hui : ab=768 (1)
Demain (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=825 (2)
de (1) et (2) :
a+b=825-1-768 = 56
on cherche Hier : H=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1
H= ab -(a+b) +1 =768-55 =713
J'ai un exercice pour toi si ça t'intéresse :
Résoudre dans R l'équation suivante:
9x³+12x²+x-2.
Le hic à voir dans l'exercice, c'est la racine évidente, qui va permettre de trouver une manière de factoriser l'équation pour avoir une équation de degré 1 qui est déjà résolu multiplié par un équation de degré deux avec notre ami delta.
Dis moi si tu vois ce commentaire ce que tu en pense ?
Vive les maths !
Perso je suis dans la team méthode 2. C’est comme ça que j’ai naturellement résolu le pb avant de regarder la vidéo.
Merci pour tous ces petits bonbons mathématiques ! ❤
bravo tu me remet à niveau avec fun à l’âge de 62 ans
j’ose pas appliquer la méthode appliquée à moi !
Bonjour,
Perso j'ai fait la méthode 2 + option eq 2ème degré pour les âges. La décomposition peut dans certains cas être plus complexe donc je ne lance pas trop dedans... Si on cherche les âges là méthode 1 est, dans ce cas, plus rapide mais ce n'est pas l'objet de la question et des erreurs de multiplication arrivent, sans calculette plus vite, que les additions chez moi... Par contre l'autre point en lisant le sujet est que a et b sont pairs. En effet (a+1)(b+1)=XX5 ==> 2 termes impair et au moins un finissant par 5... Donc a et b sont pairs et au moins fini par 4.
Décomposition en nombre 1er de 825
Ça donne 25×33 = 5×5×3×11
Du coup seulement 3 couples (a,b) cohérent pour des âges :
25 × 33
55 × 15
75 × 11
En calculant à peine (a-1)(b-1) on trouve rapidement la réponse
Autre possibilité:
a x b = 768
(a + 1) x (b + 1) = ab + a + b +1 = 825
768 + 1 + a + b = 825
a + b = 825 - 769 = 56
Comme a x b =768, et a + b = 56, l'un finit par 4, l'autre finit par 2 (2 x 4 = 8 du 768; et 2 + 4 = 6 du 56).
L'âge du plus vieux est inférieur à 56 ans (car a + b= 56), on a donc:
2 et 54
12 et 44
22 et 34
32 et 24
42 et 14
52 et 4
On trouve:
32 x 24 = 768
33 x 25 = 825
Et:
31 x 23 = 713
J'ai fais un autre raisonnement basé sur de l'analogie.
768. Pour se donner une idée, très rapidement : 20*20=400 20*30=600 30*30=900 20*40=800 et 30*40=1200.
Je sais que j'aurais un terme au dessus de 20 et en dessous de 30 et que le deuxième terme sera au dessus de 30 et en dessous de 40. (a+1)(b+1)=825, ça veut dire que l'un des terme se termine par 5 et l'autre est impair. Du coup, je tente tout de suis 825/25 car je vois que, se terminant par 25, 825 c'est quelque chose comme 25*4*x+25. Çà se fait de tête très simplement : 25*10=250, 250*3=750 750+75=825. 10*3+3=33. 25*33=825.
Du coup (a+1)=25 et (b+1)=33.
Du coup (a-1)=23 et (b-1)=31
23*31 c'est 23*3*10+23=69*10+23=690+23=713
C'est pas très beau mais j'avais la flemme de prendre un support pour noter. (C'est pas pour me jeter des fleurs, au contraire, c'est un exercice que je me donne parfois pour travailler mon raisonnement et ma représentation mentale, chose que j'avais laissé de côté pendant très longtemps).
Mais en lisant l'énoncé pour la première fois, je me suis demandé il y avait qui dans "nous" ou "nos" âges, 2, 3, 4, 5 personnes ? Je trouve que c'est pas clair .. ça peut tromper plusieurs personnes surtout dans un état de stress. Ils auraient pu écrire "nous 2", la question devient très simple en plus ..
À partir du moment où on capte qu'un des deux âges doit finir par 4, il est assez rapide de trouver en divisant 768 par 14, 24, 34, etc puis regarder avec ce qui donne un résultat rond. C'est comme ça que j'ai procédé pour ce coup mais bon le nombre de candidats restreint donc on peut se permettre de tester 😂
J’ai utilisé la deuxième méthode mais en posant x = ab = le produit de leurs âges il y a un an.
J’ai donc (a+2)(b+2) = 825 et (a+1)(b+1)=768. J’obtiens deux équations :
(L1) x = 821 - 2a - 2b
(L2) x = 762 - a - b
(L1 - 2L2) x = 713
Avant d'aller choisir les multiples faisant 768, j'ai d'abord développé la deuxième équation
xy+x+y+1=825
Comme on sait que xy=768 :
768+x+y+1=825
x+y=56
Et alors on cherche deux nombres dont un finissant par 4 dont la somme est 56 et le produit 768. Du premier coup j'ai pensé à 24, par dichotomie en quelque sorte vis à vis de la somme.
J'ai donc essayé 24×32 et le compte est bon.
Ça me paraît plus simple que de partir uniquement des grands chiffres.
A partir de la ligne avec le résultat de x+y il est également faisable de déterminer une équation du second degré à partir du produit et de la somme des termes ce qui nous redonne bien 24 et 32
Méthode encore plus bourrin(e) qui ne rentre pas vraiment dans le cadre des Olympiades (trop de calculs "lourds" pour être fait de tête ou rapidement sur un bout de papier), surtout que les deux méthodes, surtout la 2 sont quand même plus "malines" :
a x b = 768
donc a = 768 / b
En détaillant à fond étape par étape :
(a+1)(b+1) = 825
(768/b + 1)(b+1) = 825
((768 + b)/b)(b+1) = 825
(768+b)(b+1)=825b
768b+768+b²+b=825b
b² + 769b-825b + 768 = 0
b² - 56b + 768 = 0
D = 56² - 4x1x768
D = 3136 - 3072
D = 64 = 8²
b = (56 - 8)/2 = 24 ou b = (56+8)/2 = 32
donc a = 768/24 = 32 ou a = 768/32 = 24
Comme ce qui nous intéresse est seulement le produit, le choix n'en est pas un
Et ensuite, on peut faire (32-1)(24-1) = 713
Mais ma préférence va quand même pour la méthode 2 :)
Et si nous recherchions directement x et y, ages d'il y a un an ?
Nous cherchons alors xy et nous savons que :
(1) : (x+1)(y+1)=768 (x+y)+xy=768
(2) : (x+2)(y+2)=825 2(x+y)+xy= 825
2x(1) - (2) donne directement xy = 713.
Merci pour la vidéo 🙂
Je suis parti sur le développement des équations pour trouver 713 direct. Toujours sympa !
ab=768
(a+1)(b+1)=825
ab+a+b+1=825
a+b=825-1-768=56
a et b sont racines de X^2-SX+P=0 avec S=56 et P=768
On résoud Delta=56^2-4*768=64=8^2
Donc ils valent (56+/-8)/2 soit 24 et 32.
Si c'est une question des olympiades de math belges, çà me donne envie de
raconter une histoire belge (Je suis français).
Je sais que la différence entre les 2 produits est a+b+1=825-768=57
et l'écart entre le premier produit et le produit recherché est a+b-1=55 donc le produit recherché est 768-55=713
La vidéo était faite de telle manière qu'au début, on ne savait pas combien de personnes étaient présentes, ce qui pimentait un peu plus l'énigme. Malgré tout, on retombait sur le même résultat, parce que le nombre 825 est multiple de 11, or 768 est 2^8x3. 11 n'est pas proche d'une puissance de 2, mais 33 l'est, on voyait bien que 825 contenait 33 et 738 contenait 32. Les deux multiples restant ne pouvaient être que 25 et 24. Bien entendu, une fois ce résultat obtenu, il fallait calculer l'âge 1 an plus tôt soit 31 x 23 soit 713.
La deuxième est la meilleure
Pour la première a+1 ou b+1 est divisible par 25 ou bien chaque facteur est divisible par 5
Enfin le nouveau logo, c'est celui que j'ai voté 🤗
Oui il était temps 😅
xy = 768
(x+1)(y+1) = 825
(x-1)(y-1) = ?
xy+x+y+1 = 825
768+x+y+1 = 825
769+x+y = 825
x+y = 56
(x-1)(y-1) = xy - x - y + 1
= xy - (x+y) + 1
= 768 - 56 + 1
= 713
Ce produit était 713 il y a un an.
Sympa ta nouvelle icône
Je suis d'accord
Merci 😊
C’est les maths avec le sourire 😁
Un peu trop phallique de mon point de vue... Ça me fait penser à un ado qui se mesure la kikette au dessus du lavabo!! 😮
Suis je le seul a avoir les idées mal tournées ? 😅
Je pense que j'ai cette impression parce que tout est centré et symétrique.
Une équerre ou un compas à la place de la règle, peut être ?
qui a fait l'olympiade cette année?
C’était compliqué mais sa passe merci beaucoup 👍
(a+1)(b+1) = ab + a + b + 1 = 825, donc a + b = 825 - 768 - 1 = 56
(a-1)(b-1) = ab - a - b + 1 = ab - (a + b ) + 1 = 768 - 56 + 1 = 713
ça prends même pas 2 minutes et sans se prendre la tête avec 3 millions de possibilités
ah bah c'est la 2ème méthode lol
Alors avant de regarder :
Si on pose x*y = 768 pour cette année, dans 1 an on aura (x+1)(y+1)=825.
En développant on a x*y+x+y+1=825.
Mais on connait x*y, on a donc 768+x+y+1=825 => x+y=56
La somme de leurs âges cette année est donc 56, on sait que dans 1 an l'un des 2 aura un âge finissant par 5 et l'autre un âge impair pour obtenir le 5 de 825.
Donc cette année, l'un a un âge qui fini en 4 et l'autre est pair, ouf ça marche avec 56^^
Les possibilités de produits sont donc 4*52 ; 14*42 ; 24*32 ; 34*22 ; 44*12 et 54*2
768 c'est pas si loin de 800 et 56 pas si loin de 60, je pense donc qu'on aura un produit proche de 20*40.
On voit vite que 14*42 et 44*12 ça ne sera pas assez (entre 500 et 600), ne parlons même pas des 2 extrêmes.
reste donc 24*32 qui fait bien 768 et 34*22 qui fait 748 (pas loin mais pas bon^^).
Ils ont donc 24 et 32 ans cette année, soit 23 et 31 l'année dernière.
Le produit de l'année dernière était donc 23*31=713.
Et maintenant la vidéo^^
Edit : Bon bah finalement, j'ai commencé comme la méthode 2, mais ensuite j'ai raisonné et conclut comme la méthode 1^^
Coucou, moi j'ai pensé directement à la deuxième méthode
Dommage vu votre niveau de ne pas avoir vu la solution la plus basique.
Si on additionne (a+1)*(b+1) et (a-1)*(b-1) on trouve vite que 2ab+2 = X + 825 et c'est réglé (X = 2*768+2-825 = 713)
Pourquoi que 2 personnes ? Le problème n'est il pas plutôt de trouver pour combien de personnes l'énoncé est il valable ?
Bonjour
On peut aussi multiplier par 4 et diviser par 100, c'est ce que j'ai fait.
salutations
Coup de pot, le binaire c'est ma partie. 768 c'est 512 + 256 : y'a plusieurs candidats mais partons sur 48 et 16 ( = 768 ), un an plus tard: 49*17. ça finit surement pas par 5 .. perdu. Essayons 24/32 : un an plus tard: 25*33 = 825.
merci
J'ai préféré la deuxième méthode.
Il était aussi possible de déterminer l'âge de chacun puisque l'on connait la somme et le produit des deux âges. Après il était simple de répondre à la question posée !!!
j'ai pris la méthode 2, pas besoin de décomposer et calculer les âges de chacun pour répondre. Sinon il y a une méthode 3 (équation du deuxième degré)
Suis-je le seul à ne pas avoir saisi de suite qu'il n'y avait que 2 personnes ?
Parce que du coup je suis parti sur un nombre d'inconnues... inconnu... 😅
C'était trip chaud pour moi ^^
Super merciii !
La 2e méthode me parait beaucoup plus propre, c'est carré, la première c'est du bruteforce 😅
Comment peut-on vous envoyer des énoncés pour les faire en vidéo svp ? :)
La 2 wouhaaaaaa elle est terrible !!!
J'ai fait naturellement la méthode 2, je n'avais même pas pensé à faire la méthode 1
Un petit faible pour la deuxième
C’est dommage que l on ne clarifie pas si c est 2 personnes seulement ou plus. Avec 3 personnes, on doit s assurer que chaque personne n augmente pas son âge de plus de 10% en prenant un an (car l augmentation du produit serait alors de plus de 10% alors qu ici cela est moins). Donc tout le monde doit avoir plus de 10 ans, le cuve de 10 est 1000 et donc il n y a que 2 personnes.
Perso je trouve la deuxième méthode beaucoup plus belle. On utilise juste les infos qu'on a a notre disposition pour en sortir le résultat directement.
Mais comme c'est évident une fois qu'on sait.
Je n'y suis pas arrivé tout seul 😢
Et comme tu es rapide à 9:44 pour faire 825-769 !!!!
Moi sans poser l'opération, impossible de trouver.
5-9 ça fait une retenue, et donc après je me perds.
Trop compliqué.
Pareil pour 769-56 ...
Bonjour,
Pour les additions ou soustractions de tête, la méthode simple que j'utilise est dans un premier temps d'arrondir un terme à la dizaine proche puis de prendre en compte l'écart avec l'arrondi.
Par ex. 825-769=825-770+1
Au besoin 825-769=25+800-770+1
Avec 770 on voit rapidement que l'écart avec 800 n'est que de 30 et donc de 55 avec 825. Après on n'oublie pas l'écart avec l'arrondi et on a 56. Ça marche aussi pour les multiplications en se rapprochant de nombres simples mais plus tendus...
Bonne soirée
@@cxfx4199 Merci, mais bien compliqué pour moi les calculs de tête. Très compliqué.
Impossible de se souvenir de la suite d'infos obtenus telle que tu expliques.
A partir de ta solution : "Avec 770 on voit rapidement que l'écart avec 800 n'est que de 30 et donc de 55 avec 825" ouch, faut le calculer ça aussi ce 55.
Et mon problème est qu'une fois arrivé à déterminer certains éléments comme tu décris, je ne sais plus ce que je cherche.😫
Terrible, terrible, j'ai tout essayé, rien à faire.
Je comprends mieux les maths belges que les maths françaises, une fois seulement.
Il y a aussi une méthode en passant par une équation de degré 2 pour trouver les deux âges
Comment tu as fait pour transformer cela en équation du second degré ?
oui mais elle est plus compliquée et c'est un exercice à résoudre sans calculatrice car dans le cadre des Olympiades :)
oui j'ai fait ça aussi, mais trop long par rapport à sa méthode
Je préfère le mode calcul de la 2ème méthode.
OLYMPIADE MATHÉMATIQUE BELGE??? suis impatient de voir ça...
traduction de l'énoncé:
xy = 768
(x+1)(y+1)=825 => xy +x+y + 1= 825 soit x+y = 825-769 = 56
(x-1)(y-1)=z ( z le produit il y a un an)...
xy - x - y + 1 = z => 768 - (x+y) + 1 = z => z = 768 - 56 + 1 = 713...
suis parti directement sur la 2ème méthode, cause, j'avais bien lu l'énoncé...
Vidéo sur la Trigo seconde S 😢 s'il vs plaît
Si quelqu'un pense que sa methode etait trop longue et complique pour rien qu'il ne s'inquite pas il n'est pas le seul 👇
x * y = 768 x = 768/y
On remplace donc x dans la seconde equation pour avoir une seule variable
(768/y + 1)(y + 1) = 825
768 + 768/y + y + 1 = 825 (developement)
768/y + y = 56
768 + y^2 = 56y (je me debarasse de la fraction et ca devient donc une equation du second degre : y^2 - 56y + 768 = 0 qui quand resolu donne comme deux resultats 24 et 32, vu que 768 / 32 = 24 alors les deux ages sont 32 et 24, plus qu'a soustraire un de chaque cote et multiplier : 31 * 23 = 713)
C'est exactement ce que j'ai fait.
Nos âges ? Pourquoi 2 personnes ? Pourquoi pas plus ?
La méthode 1 est plus bourrine. Je l'utilise quand je "triche", avec un tableur.
Mais sinon, méthode 2 à main.
je l'ai fait sans calculer a et b.
a.b=768 et (a+1).(b+1)=825 donc
ab+a+b+1=825 d'où a+b=56.
on nous demande de calculer (a-1).(b-1)=? c à d on cherche ab-a-b+1=?
on a a+b=56 et a.b=768 et donc
ab-(a+b)+1=768-56+1=713.
Voila 😊
En théorie, trouver une solution à la main ne suffit pas, il faudrait prouver qu'elle est unique
team méthode 2
L'énoncé ne précisait pas le nombre de personnes. J'ai démontré d'abord qu'il y avait 4 personnes maximum car (année n+1) 825 = 5 x 5 x 3 x11
et (Année n) comme 4x4x2x10 768 donc 3 personnes maximum.
Ensuite ce sont des ages dont 2 personnes minimum .
Ensuite j'ai posé chaque cas sachant que qu'aucune personne ne peut avoir 11ans en n+1 car en année n elle aura 10ans, et le produit avec 10 donne un nombre obligatoirement se terminant par 0..
De même qu'une personne a un age en n+1 se terminant par 5 et donc en année n, son age se terminera par 4.
Après très simple de trouver la solution
On peut démontrer bcp plus simplement que c est deux personnes. L augmentation du produit des âges est de moins de 10% donc chaque personne ne peux vieillir de 10% , donc tout le monde a au moins 10 ans et le cube de 10 est 1000 donc 768 ne peut être le produit que de deux âges.
Réflexe "Des Chiffres et des Lettres", en passant 825 = 25*33 = 75*11 c'était plus rapide...😆
c'est une Olympiades donc un concours, la méthode à choisir ne dépend pas de qui on est. On doit choisir la PLUS RAPIDE . (Si on veut réussir le concours) . C'est celle qui consiste à RÉPONDRE DIRECTEMENT à la QUESTION POSÉE.
1°) Par PURE INTUITION: (ça signifie que l'on va tâtonner un peu) 825 est un multiple de 25, on trouve tout de suite que 825 = 25 x 33, (pas besoin de decomposition ! on divise 825 par 25) et que 768 est bien egal à 24 x 32 donc le produit cherché est 23 x 31 = 713. Bingo
2°) soit on utilise une belle astuce comme celle proposée dans un commentaire qui utilise que chaque année la somme augmente de deux points.
3°) Soit on fait des maths: (c'est douvent très court: le plus est de l'écrire ) la question posée peut se lire ainsi: sachant que ab = 768 et que (a +1)(b+1) = 825, combien vaut
(a-1)(b-1)?
Or (a +1)(b+1) = ab + a + b + 1 donc 825 = 768 + (a+b) +1 donc a + b = 825-768-1=56
et comme (a-1)(b-1) = ab - a - b+1 = ab- (a+b) + 1 alors le produit cherché = 768- 56 +1= 713.
Remarque: cette solution suppose qu'on a eu la chance d'avoir un prof qui vous a fait travailler sur ces deux produits (a +1)(b+1) et (a-1)(b-1) 😉
4°) On pouvait le raisonner directement: un produit est égal au précédent additionné de la somme plus un (c'est ce que dit le développement de (a +1)(b+1). Donc le produit précédent est égal au produit MOINS la somme - 1. Reste a trouver la somme...etc.
A quoi ça sert de savoir que 96 = 6 x 16 ? 😘😘Pardon mon ami. Ta démarche, qui était juste, mais pas optimale, est la conséquence de ta mauvaise conception de la division (pizza). Dans tes tutos, tu utilises très peu la notion de multiples ou de diviseurs. Tu passes beaucoup trop de temps à donner des astuces de calcul mental. Je vais t'offrir une jolie calculette. 😘😘🥰
le calcul mental est très utile (par exemple pour les pilotes) mais pas ici.
CONCLUSION : ton tuto pousse à réfléchir et ça c'est VRAIMENT BIEN.
Vive la Belgique !
Je préfère la deuxième méthode, la première n'est pas vraiment rigoureuse 😅 dans la démarche
Dans quel pays cet exercice a-t-il eu lieu ?

C'est une olympiade belge, donc en Belgique
@@cxfx4199 de quel pays êtes vous
tu es de quel pays
Perso, j'ai fait directement la 2
👍👍👍👍
jai fais la seconde methode :)
La 2e parait plus arithmétique. Je la prefere a la premiere.
La deuxième, bien plus scolaire (mon prof n'aurait jamais accepté la première)
Méthode 2 et 713 = 23x31.
La seconde méthode est plus rapide!
Perso, j'étais parti sur la 2nde méthode
Désolé, je n'avais pas toute l'énoncé. Il y a bien deux personnes ❤
lorsque je dis le produit de "nos" ages on pourrait etre 2 ou plus
Instinctivement je me dis ok soit X l'âge de l'un et Y l'âge de l'autre, donc on a XY = 768. Dans un an chaque âge aura augmenté de 1 et donc l'énoncé implique que (X+1)(Y+1) = 825 hmmmmmm bien envie de développer un peu cette expression juste pour voir ce que ça peut donner => XY + X + Y + 1 = 825... Aller hop hop hop on isole les inconnues d'un côté les nombres connus de l'autre, on obtient X + Y = 56. D'où (par exemple) Y = 56 - X. On remplace Y par sa nouvelle expression dans XY = 768 et cela donne X(56 - X) = 768 ... Hmmmmmmm j'ai encore envie de développer parce que pour l'instant même si je n'ai pas grand chose à part supposer que je vais devoir résoudre une équation du second degré avec un Delta que je n'ai pas encore revu, je peux toujours rêver de tomber sur une identité remarquable camouflée ah ahhhhh ... Aller c'est parti je développe => 56X - X‹≈©◊ß~∞…÷¡´Ò∂ƒfiÌÏȬµÙ@¡÷…@Ù¤ô}]@^\`|[{#~»»´Â€®†Úºîœπôµ¬È ... Ok j'ai pas trouvé le symbole "au carré" sur mon clavier donc j'écrirai X2 LOL aller trêve de plaisanterie 56X - X2 = 768 🤔 hm hmmmmm le rêve miroite de plus en plus de devenir réalité ! Aller j'aime pas "MOINS"X2 donc je fais tout passer à droite et ensuite je remettrai tout à gauche, ça nous donne X2 - 56X + 768 = 0 OK ! 768 c'est 3 x 256, soit 3x16x16 si je veux l'identité remarquable (a - b)2 alors ici a = X et b = 16√3 mais (X - 16√3)2 = X2 - 32√3X + 768 ... Alors je me pose la question, quand est-ce que X2 - 56X + 768 = X2 -32√3X + 768 ? Lorsque -56X = -32√3X ... MDR Presque => -32√3 = 55,4256258 😭 Bon aller j'ai fait n'importe quoi aussi je m'accorde une petite récompense : regarder la réponse 😍🤣😅😂🧏♂🙆🤦🤦
Bonjour,
Pourquoi avoir tenté de forcer le (x-a) ² alors que vous pouviez utiliser le descriminant ? Surtout que la racine de 3 est à fuir lorsque vous cherchez des entiers... De plus, en faisant ce choix, vous avez tacitement choisi que les 2 personnes avaient le même âge car une seule racine de votre équation...
Vous aviez : x²-56x+768=0
==> delta = (-56)² - 4*768
L'ayant fait sans calculette
56²=8²*7²=64*49=64*50-64=3200-64 = 3136
4*768=4*750+4*18= 3000+72=3072
==>delta = 64 = 8² > 0 donc 2 racines distinctes...
Xi = (-(-56) + ou 8)/(2*1)
Ce qui donne les 2 racines 24 et 32. Votre erreur a été de vouloir forcer 1 seule racine. Le plus simple est de faire le discriminant ou a + b = 56 et a*b=768 et retour à la méthode 1...
@@cxfx4199 wooooow génial !!! Merci beaucoup 🙏
Eh oui 😬 mon souci est que je n'ai pas encore "récupéré" le niveau 1ere S 🤷
P. S. : Je n'avais pas lu les caractères bizarres. Sur un clavier pc azerty classique (Linux et Windows, je ne sais pas pour Mac) le signe ² est la première touche en haut à gauche de la zone des caractères alphabétiques. Elle est entre ESC et Tab.
@@cxfx4199 merci ✨👌
La 2 ème méthode me convient mieux
Avec le discriminant on obtient directement 24 et 32. Le reste va tout seul
32 et 24
on n'a pas dit combien nous sommes !
la 2 methode est rapide
la 2 est la plus sexy 😁
C’est drôle d’expliquer une simple multiplication…
Ce n est pas un bonbon vu que c est belge, mais une frite ou une gaufre :)
Oui Une bonne gaufre de liège un peu caramélisée 😋
@@hedacademy oui de liege c 'est meilleur :)
Dérivé de f' c'est pas( uv)'= u'v+uv'
Oui mais pas sûr que ce soit la bonne vidéo...