Cantor, l’uomo che svelò il mistero dell’infinito
Vložit
- čas přidán 13. 03. 2023
- Il protagonista di questo nuovo episodio della serie "Misteri matematici" è Georg Cantor, uno dei più grandi matematici della storia: il primo che riuscì a catturare e addomesticare il concetto sfuggente e vertiginoso dell'infinito.
Il prezzo che Cantor dovette pagare per riuscire nella sua straordinaria impresa fu, tuttavia, molto alto.
Scoprite nel videocome andarono le cose!
Questo video partecipa alla sfida #peopleformath lanciata da Ilaria Fanelli nel suo canale CZcams ( / @ilariafmath )
Errata corrige: Cantor nacque nel 1845, non nel 1854!
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La musica della sigla è "Adventures of Flying Jack" di Alexander Nakarada (www.serpentsoundstudios.com), promossa da www.free-stock-music.com, e rilasciata come Creative Commons "Attribuzione - Non commerciale - Condividi allo stesso modo 4.0 Internazionale" (creativecommons.org/licenses/....
Il frammento del primo movimento (Allegro non troppo e molto maestoso - Allegro con spirito) del Concerto per pianoforte e orchestra n° 1 in si bemolle minore, Op. 23 di Pëtr Il’ič Čajkovskij (musica di pubblico dominio) è tratto dal sito www.liberliber.it/online/auto... e rilasciato come Creative Commons "Attribuzione - Non commerciale - Condividi allo stesso modo 4.0 Internazionale".
La mia immagine nella miniatura e nella sigla è tratta da una foto di Walter Criscuoli. - Věda a technologie
Tutti i video divulgativi scientifici, meritano elogi e ringraziamenti! "Spiegato con molta razionalità. Grazie.
Grazie a lei! 🙏
La qualità del video non è eccelsa. Aiuterebbe eliminare il sottofondo musicale che in alcuni momenti copre il parlato.
Grazie , molto interessante . Purtroppo a volte il volume delle dannose interruz. audio rischia di coprire la narrazione .
Persona meravigliosa. Video meraviglioso Grazie.
Grazie di cuore!
Piacevole lezione su un tema affascinante. Grazie Paolo.
Grazie di cuore a te, Fausto!
Video estremamente interessante e chiaro. Complimenti!
Grazie di cuore!
Un video molto interessante, una ottima spiegazione. Segnalo solamente che ogni tanto la musica sovrasta la voce rendento poco comprensibili le parole.
bel Video Paolo , complimenti.
Grazie di cuore!
👍🏼👑💪🏾
Eliminate ruggiti e woooh, sono davvero disturbanti !!
Interessante Paolo 💪🏼💪🏼💪🏼
Grazie mille, Alessandro! 😃
Bella lezione. L'audio non era però buono, aveva molto riverbero, un rimbombo che insieme ai ruggiti disturbava. Ma il contenuto indica la vera essenza della matematica. Grazie
Grazie, mi fa piacere che il contenuto sia stato apprezzato. A livello di suono, non noto riverberi, ma forse altri tipi di difetti (fruscii?), mentre prendo atto che gli effetti sonori non siano stati graditi da qualcuno: sarò più prudente in futuro!
Abbiamo detto che l'∞ dei numeri irrazionali non è numerabile. Però anche questo insieme è diviso in due categorie: algebrici e trascendenti. I numeri irrazionali algebrici come {√2;√2/2;³√11;-³√4;³√3/13} sono numerabili come i razionali e gli interi. Invece i trascendenti come {π;e≈2,71828;7^(√2);-16^(³√12)} non lo sono. Questo implica che la maggior parte dei numeri irrazionali è trascendente. Quindi è merito dei numeri irrazionali trascendenti che la cardinalità dei reali è maggiore rispetto ai naturali, interi relativi e razionali.
Esatto, è proprio così! Lo racconto in dettaglio nel nuovo video sui numeri trascendenti.
Woah
Salve, volevo dirle che è molto bello il video e volevo chiederle cosa usa per montare e modificare il video?
La ringrazio molto. Per il montaggio e la produzione uso Cyberlink Powerdirector 21 (ho ancora moltissimo da imparare, tuttavia!)
Il fatto e' che i matematici usano termini imprecisi. In questi casi non si tratta di infinito, ma di INDEFINITO, una serie di numeri indefiniti. Il vero INFINITO e' UNO e non potrebbe essere altrimenti.
Bellissima esposizione come sempre. Non so se ricorda ma le avevo mandato una email in cui le chiedevo se poteva fare un video sul numero incommensurabile TREE(3). Sarebbe anche l'occasione di parlare di teoria dei grafi. Grazie.
Grazie di cuore! Ricordo bene la sua proposta, che prima o poi, spero non tra molto tempo, sì tradurrà in un nuovo video sull'argomento!
@@PaoloAlessandriniMatematica Grazie mille.
Bel video, argomento interessantissimo! Però vorrei far presente una cosa. Per quanto di mia conoscenza l'Ipotesi del continuo non è un problema aperto, ma è stato dimostrato che essa è indecidibile nel sistema assiomatico di Zermelo-Fraenkel (anche con l'aggiunta dell'assioma della scelta), cioè è risultata essere indipendente da tali assiomi.
È assolutamente vero, non avendo tempo per approfondire la questione ho parlato di "problema aperto" ma la questione è un po' diversa, dato che l'ipotesi è indecidibile nel sistema formale comunemente utilizzato, e tuttavia potrebbe in linea di principio essere provata vera oppure falsa in un sistema diverso. La questione meriterebbe un video a parte, chissà. Grazie per il commento!
@@PaoloAlessandriniMatematica Esattamente. Kurt Gödel ha dimostrato che l'Ipotesi del continuo non può essere falsificata usando gli assiomi ZFC mentre Paul Cohen ha dimostrato, a partire dagli stessi assiomi, che non può essere verificata. Quindi la sua verità o falsità può essere presa come assioma, oppure come hai detto tu si possono formulare nuovi sistemi di assiomi dove è possibile dimostrarla vera o falsa.
Sarebbe un bellissimo argomento per un prossimo video 😊
Ma lo fu ai tempi di Cantor e anche poco dopo
Grande Paolo, gli effetti sonori provengono dal bestiario matematico ? 😄
Ah ah, certo, in particolare la belva feroce 😀
Si può togliere la musica? Grazie.
Naturalmente non è possibile modificare il video una volta pubblicato. Le faccio notare comunque che una musica di sottofondo è presente soltanto nella parte iniziale del video, che dura circa un minuto, e successivamente non c'è.
O si parla o si sente la musica...
Il sottofondo musicale è presente soltanto nei primi secondi del video.
Interressante ma audio pessimo purtroppo, consiglierei un microfono migliore e musica di sottofondo piu bassa
Georg Cantor è nato il 3 marzo 1845 e non nel 1854. Questo errore di "capriola dei numeri" non è a caso, ma fa pensare che se facciamo una opportuna capriola nella sua data di nascita si scopre che la voglia di Georg Cantor di fare il musicista è stata soddisfatta.
È vero, è un refuso. Non ho capito il discorso della capriola e del musicista...
@@PaoloAlessandriniMatematica Georg Cantor voleva diventare un musicista ( sua madre suonava il violino ) ma suo padre lo impedì e gli impose di fare ingegneria e dopo un anno di università passò a matematica. L'idea di fare il musicista gli rimase per cui quando morì diventò l'angelo custode di un ragazzo che nacque il 5 marzo 43 mentre lui era nato il 3 marzo 45 in cui si vede che c'è una capriola agli estremi delle date di nascita. L'Apparenza di Georg Cantor come angelo custode a questo ragazzo avvenne il 4 novembre 1957 e questo ragazzo che voleva diventare un matematico accettò la proposta di Cantor e scelse di fare il musicista come professione. Un giorno questo ragazzo confidò all'autore dei testi delle sue canzoni che
doveva la sua fortuna nell'aver creduto ad un pazzo. Questo pazzo era Georg Cantor
Questo ragazzo una volta diventato famoso come musicista e poi anche come cantante decise di continuare gli studi in matematica ma non volendo pubblicare la sua tesi di matematica e la sua opera più importante quando era ancora in vita preferì non laurearsi in modo che la pubblicazione di questa tesi avvenisse in un particolare momento storico legato al giorno 29 maggio 1919 in cui avvenne l'eclisse solare dove si poté verificare che la teoria della relatività generale di Albert Einstein era valida. Ho motivo di pensare che il momento della pubblicazione di questa testi di laurea in matematica e dell'opera grafica-musicale più importante fatta assieme a Georg Cantor stia per arrivare.
Togli sta musica
Ho seguito il video durando un po' di fatica a seguire il ragionamento con cui Cantor dimostra che la cardinalità dei numeri reali è superiore a quella dei numeri naturali. Penso si possa raggiungere una analoga conclusione con questo ragionamento: se considero i reali fra 0 e 1 con una sola cifra decimale, posso ottenere 10 numeri distinti. con 2 cifre avrò 100 numeri e così via, ottenendo sempre 10^x numeri dove x è il numero di cifre decimali scelte. con infinite cifre otterrò 10^∞ numeri reali. Resta da dimostrare che la cardinalità di 10^∞ sia superiore a quella di ∞.
Quindi calcolo lim x->∞ ( 10^x / x) e trovo che tende a ∞
Poiché questo limite tende a infinito, la cardinalità del numeratore è superiore a quella del denominatore. Quindi la cardinalità di dei reali compresi fra 0 e 1 è superiore a quella dei naturali, razionali ecc.
Io però ho preso in esame i numeri fra 0 e 1. Immagino di averli scritti su un piano-pagina dove la virgola appare prima della prima cifra, poi su un altro piano scrivo gli stessi numeri moltiplicati per 10 ovvero mettendo la virgola dopo la prima cifra, poi un altro piano con gli stessi numeri mettendo la virgola dopo la seconda cifra e così via. A questo punto otterrò ∞ piani che comprendono tutti i reali positivi.
Ragionando dall'inizio, e con la struttura tridimensionale delle pagine, se prendo una sola cifra decimale soltanto avrò 2 piani con 10 numeri ciascuno, con 3 cifre, 3 piani di 100 numeri ciascuno e così fino fino a infiniti piani di 10^∞ numeri ciascuno.
Confronto la cardinalità di tutti i reali con la cardinalità di un unico piano:
lim ->∞ (x*10^x)/10^x . Il risultato è infinito. Quindi la cardinalità dei reali positivi appare superiore alla cardinalità dei reali compresi fra 0 e 1.
E' corretto questo ragionamento?
Temo di no. Mi spiego: secondo la teoria di Cantor, la cardinalità di un insieme (eventualmente infinito) viene determinata a partire dalla possibilità di stabilire una relazione biunivoca con un altro insieme di cardinalità nota. Lei ha costruito ingegnosi ragionamenti ma facendo ricorso al calcolo di limiti, che, diciamo così, è tutto un altro mondo. Mi pare di poter dire che i suoi procedimenti introducano un concetto di "cardinalità" che è diverso da quello di Cantor. In effetti la conclusione secondo cui l'insieme dei numeri reali ha cardinalità maggiore dell'insieme dei reali compresi tra 0 e 1 è in contraddizione con il risultato ottenuto da Cantor.
@@PaoloAlessandriniMatematica grazie. Quindi la cardinalità è una cosa diversa dal grado dell'infinito.
@@GiovanniBrogi nel caso dei limiti non abbiamo a che fare con insiemi, direi che sono due questioni diverse.
@@PaoloAlessandriniMatematica Grazie, credo di aver capito la differenza dei concetti: seguendo Cantor, l'insieme dei quadrati dei naturali ha la stessa cardinalità dei naturali essendovi corrispondenza biunivoca fra i due insiemi. Mentre, nei limiti, un infinito al quadrato, appare di ordine superiore all'infinito semplice. Sperando di non importunarla spiego perché il mio interessamento alla questione (peraltro non avevo precedentemente studiato Cantor né il concetto di cardinalità).
Mi interesso da anni alle dimensioni più sottili di quelle fisica, e ricerco di utilizzare concetti matematici, almeno in forma di analogia, per rappresentare il rapporto esistente fra le dimensioni descritte, per esempio, nella letteratura dell'invisibile (filosofica o occultistica) e quella quotidiana. Lo zero e l'infinito mi affascinano perché appaiono come una soglia fra differenti unità dimensionali: un capello in una stanza vuota vale zero come popolazione, conseguentemente un qualsiasi valore di popolazione possiede infiniti capelli. Una particolarità della matematica è di poter dividere infinitamente un segmento, cosa che nelle dimensioni fisiche o quelle più sottili non è invece possibile a causa della granularità. E' la granularità che risolve con grande semplicità la questione di Achille e la tartaruga perché quando Achille percorre una lunghezza di Planck, ovvero la più piccola lunghezza, contemporaneamente la tartaruga può solo rimanere ferma. Ed è lì che avviene il sorpasso. Già qualche anno fa provai a trovare delle analogie fra il calcolo differenzale ed il rapporto fra le dimensioni in questo breve saggio: www.giovannibrogi.it/varie/i%20differenziali%20dei%20piani.pdf. La ringrazio molto per il tempo che mi ha dedicato!
@@GiovanniBrogi esatto, l'esempio che ha citato, relativo ai quadrati dei naturali,rende bene l'idea della differenza tra i due concetti!
Ma, allora se i numeri sono infiniti anche i numeri primi sono infiniti o sono di meno?
Sì, anche i numeri primi sono infiniti, come riuscì a dimostrare già Euclide più di due millenni fa. Ovviamente non tutti i numeri naturali sono primi: questo ci porterebbe a concludere che l'infinità dei numeri primi è, per così dire, "minore" di quella di tutti i numeri naturali. Seguendo la teoria introdotta da Cantor, tuttavia, si tratta sorprendentemente della stessa cardinalità dei numeri naturali, cioè di un infinito numerabile ("aleph-zero").
Come cardinalità Aleph 1 ci sono anche i numeri complessi come 1+i oppure 1-i. Praticamente un numero complesso è composto da un reale e l'altro immaginario dove l'unità immaginaria i=√-1. Io pensavo che i complessi avessero Aleph 2 dato che sono un sovrainsieme dei reali. Invece la cardinalità rimane la stessa perché passare da reali a complessi significa fare il prodotto cartesiano.
Spett prof si prenda un numero naturale si immagini il.piu' grande pensabile ebbene di fronte a qualcosa che non ha fine come l'infinito questo numero si annulla .ora si moltiplichi pe n volte questo numero ancora di fronte al concetto di infinito esso si annulla cioe' e' 0. Se si porta avanti questo ragionamento per raggiungere l'infinito si dovra' aggiungere il nulla infinite volte.cioe' ogni quantita' si annulla rispetto l'infinito .
Ora o l'infinito definito cosi' non puo' logicamente esistere oppure paradossalmente l infinito e' il nulla sono equivalenti.
Non riesco a capire come Cantor avesse potuto affermare che esiste un numero infinito di infiniti a meno che esso sia uguale a 0 cioe' il nulla.
Filosoficamente il tutto sarebbe od e' uguale al nulla.
E' sbagliata la mia visione dell' infinito? E poi sono incompatibili i 2 concetti di infinito potenziale e attuale?
Ringrazio se mi risponde gentilmente.
Il suo ragionamento, in linea di principio, ricalca quello dei matematici antichi, che si fermavano al concetto di infinito potenziale. Ovvero, prendiamo un numero e aumentiamolo sempre di più: in tal modo "tendiamo" verso l'infinito, ma ovviamente non lo possiamo raggiungere mai.
Certo, lei ha ragione quando afferma che qualsiasi numero finito, anche se usato per "alludere" potenzialmente all'infinito, è nulla rispetto ad esso. Quindi sì, infinito potenziale e infinito attuale sono, per così dire, ben diversi l'uno dall'altro.
L'approccio di Cantor è completamente diverso: si basa infatti sull'idea di cardinalità degli insiemi (ovvero sul numero di elementi in essi contenuti) e sui confronti tra le cardinalità di insiemi diversi.
Con questo approccio "moderno" è possibile abbracciare l'idea di infinito in modo non più soltanto potenziale e, tramite i non banali ragionamenti effettuati da Cantor, dimostrare l'esistenza di diversi (addirittura infiniti) livelli di infinito.
Spero che la mia risposta sia soddisfacente rispetto al suo quesito.
Gli effetti sonori sono veramente disturbanti 🤮🤮🤮🤮🤮🤮🤮🤮