✓ i^i. Комплексная степень | В интернете опять кто-то неправ
Vložit
- čas přidán 19. 12. 2019
- i^i. Комплексная степень
В интернете опять кто-то неправ #007
Исходники:
- • What does i^i = ?
- • tetration of i^i^i = ?
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.ru/to/4100110176...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trushinbv
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Регулярная помощь (CZcams): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/ege11c
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/ege11b
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/ege1315
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_trushin
Группа "TrushinBV.ru": trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
CZcams-канал: / trushinbv
Предлагаю, на комплексных числах не останавливаться, а перейти к кватернионам, там то точно все проще будет:)(:
На комплексные последние работают все правила числа.
А чего такого сложного в кватернионах? Ну вектора на сфере, ну вращать удобно.
Ну в таком случаи предлогаю не останавливаться на кватернионах и сразу перейти к октонионам и сединионам там точно гораздо проще!!!
@Peyton Danny ноубади кэас
@@lavr1294 Тут уже можно сразу начинать линейную алгебру, функции над матрицами - классная штука. Считаем спектр матрицы, вычисляем значение функции для каждого собственного числа и компонуем всё что получилось с собственными векторами =) Комплексные числа, действительные числа, кватернионы и всё прочее это просто частный случай матриц.
Трушин судит конфликты галактического масштаба
Судья Трушин
Хозяева Вселенной
да прибудет с ним Сила
@@user-li9rj6jc4s We will watch his career with great interest
Вау
Б В Трушин держит в страхе всех математиков ютуба и наших, и зарубежных
в следующем видео он достанет сверху огромную доску, камеру с огромным объективом, огромный маркер и ещё много чего огромного...
когда нибудь он доберется до Савватеева
Демагогию развел какую-то
Функция - не функция
Возведение - не возведение
Лол и чё?
@@shs3768 Трушин - школьный учитель 80-го уровня, а Савватеев - вузовский препод для первокуров 80-го уровня. Они всё-таки не ровня.
Господи, пока смотрел видео, пришло ощущение будто дядя Боря меня за что-то жестко отчитывает😂😬
Пока смотрел видео, пришло ощущение что я чего-то не понимаю))
Теперь для сравнения пошла тяжёлая артиллерия
Борис Викторович, спасибо вам за рубрику "В интернете опять кто-то не прав". И особое спасибо за это видео ! Я стал гораздо лучше понимать многие вещи, которые оказываются интересными и неочевидными.
Как же это круто! Кто увидит и почувствует этот восторг, уже всегда будет понимать эту красоту! Как мне хочется внукам дать найти и почувствовать эту красоту. Успехов всем.
Теперь я понял, что за "епикаи" постоянно говорил герой крепкого орешка!
Большое спасибо! Отличное понимание вопроса, того, чего не понимают 99%, это очень важные объяснения проявляющие суть!
Очень понятный урок. Спасибо автору! Он явно постарался!
Как же он хорошо обьясняет такие вещи!
Спасибо, Борис! Только недавно узнала формулу Эйлера с этим мнимым и. Интересно понять, нужно посмотреть Ваши ранние объяснения! Мне химику на старости лет стала интересна математика, а Вы умело объясняете! Спасибо!
Очень хорошая презентация, все очень четко изложено, огромное спасибо!
Большое спасибо! Полезно.
Спасибо за прекрасные видео. Оказывается даже такое простое действие как возведение в степень отнюдь не простое
Огромное спасибо за вашу работу!❤❤❤
Огонь! Интересно, увлекательно, полезно.
Это было интересно! Задумывался над этим, но детально не разбирался. Спасибо что рассказал.
Как оно там сейчас, Стив?
@@geniuodds5226 всё проебали
Спасибо.
Изложено коротко и ясно.
Посмотрел и прям мотивация появилась изучать тфкп, пойду читать.
Можно продолжить тогда и рассказать про выбор ветви, чтобы как-то завершить тему. А то просто щас сказали, как все сложно и неоднозначно, а как с этим жить в реальных задачах не сказали.
Да,бесконечные множества в разных представлениях-это интересно,но не даёт конкретного результата,хотя,может,его и нет.
Так просто по ряду тейлора
@@oceantale2168 , строго говоря - Маклорена, а не Тейлора!
@@geniuodds5226 одно другому не противоречит
Речь идёт не про "выбор ветки" (ограничении), а про принятие всех веток сразу как нечто единое целое (унификация).
Тут уж точно не начальная школа. :)
Спасибо за интересное видео!
Преркасное видео. Спасибо за просвет
Да уж... Пропустил я это :) Ну хоть сегодня знатно посмеялся :)
Я благодарен вам Борис за данный ликбез.
Так стоп.
Мне кажется, что это видео (при попытке разобраться) вводит в заблуждение.
Т.е. фактически в нём показан трюк:
1. берём тригонометрическую форму записи комплексного числа.
2. Помним, что она многозначна a + i(b + 2pi*k), но есть основное значение: 0
Круто , больше комплексных чисел!
Уважаемый Борис Викторович!
В этой теме всё же дело в договоренности. Если математики пишут выражение "e^z", то они обычно подразумевают именно что однозначную функцию, определяемую, например, как сумму ряда. И если из контекста это понятно, то, мне кажется, нет никаких проблем с тем чтобы сказать, что e^(i*pi) = -1, подразумевая именно эту однозначную функцию. У Вас же на канале не так давно было видео о том, что запись "2a : 3a" математики воспринимают, как 2/3 и с этим никаких проблем нет. Мне кажется, здесь та же ситуация: запись "e^z" понимающие (что важно!) люди воспринимают именно как однозначную функцию.
Но при этом, если возникнет уравнение ln z = -1, то мы поймём, что z надо искать как значение обобщенной показательной функции.
В сухом остатке: если кто-то определяет e^z как однозначную функцию, то с этим проблем нет, в большинстве учебников это именно так и происходит. Главное, чтобы дальнейшая теория была построена верно.
Только на ютобчике видосы смотрю я и такие как я. Да мы тупые, раз не знаем о чем там "математики" (те крутые, о которых вы говорите - которые устанавливают правила вселенной математики) договорились. Но нас тупых на ютубчике большинство. И нам такие подробности нужны. А то все (как оказывается меньшинство) такие умные договорились и подразумевают, но я то ни сном ни духом. Извините, что сую нос в великие дела. Но любопытство - ничего не поделаешь. :)
@@user-hp7iv9jb8r, я совсем не против любопытства и подробностей. По факту, видео очень познавательно и полезно. Я просто не очень согласен с классификацией его в разряд "в интернете опять кто-то не прав".
@@vitekpm в интернете опять кто-то что-то не так понял)))
Да-да, я ровно про это и говорю. Важно, чтобы все понимали, что e^z и 2^z -- это две абсолютно разные вещи.
Ситуёвина ровно та же, что и с обратными тригонометрическими функциями. Они тоже многозначные, но "каноничной" условились считать только одну ветку или (для синуса/косинуса) даже полупериод. В реальных инженерных задачах нужно непременно держать такие вещи в уме, иначе решение будет чревато неожиданными последствиями.
Спасибо большое, Борис!!!!!!
Всегда задавался вопросом а почему столько непоняток с этим. Эти кашу любит например BlackRedPen.
Оказывается все очень просто: просто операция не определена.
Два пи ка ии, мазафака!
Крепкий орешек поздравляет всех с наступающим новым годом.
Прям разнёс их! Браво!
О, прикольно, ютуб иногда подбрасывает хорошие каналы в рекомендуемое :)
Однозначно подписываюсь. Тот блогер тоже неплох, так показывает про то как решать конкретные задачи, как делать преобразования, полюбому троечку на экзамене поставят.
Ну и кто будет вытирать брызги моих мозгов из взорвавшейся головы? Назаписывают тут видео, а нам потом на уборку тратиться!
Чисто не там, где убирают, а там. где мозги не взрываются. 🙂
Операции с комплексными числами лучше всего визуализировать для детей как вращение.
Отсюда им станет очевидна периодичность умножения.
Трушин чувствует, что у меня скоро экзамен по тфкп😂
ТФКП - это единственный предмет, по которому у меня была пятёрка в универе на математическом факультете. 👍
Это было круто👍🏻
Отлично получилось!
Да, в институте про многозначность вообще старались не упоминать
Это смотря где. Если это ТФКП, без этого получится не математика, а халтурное враньё.
Спасибо.
Хорошее видео, чтобы тыкать в него носом тех, кто "слышал звон" о комплексных числах и мнит себя экспертом.
Моë уважение и почтение автору!
Каждое его слово на вес золота!
Спасибо, вспомнил ТФКП😁
Я сейчас нахожусь в трансе , чтобы понять Борю : но танцы с бубнами помогли !!! И я понял это )))
да, танцы с бубнами помогают
Не знаю, как Мэтт в своём видео, но блэкпэнрэдпэн если не всегда, то почти всегда добавляет, что в общем виде ответ должен содержать часть с 2*pi*n, где n - целые числа. Так что с кем спорит автор данного видео я не совсем понимаю.
Со зрителями в комментариях, как он и говорил.
А о каком Мэтте идёт речь?
Вредная привычка прежде читать комментарии, чем смотреть, извини)
@@Luiming- numberphile matt parker
Так bprp европеец, а Мэтт из азиатов этих, вроде!
Отличное видео.
По моему мнению, это лучше определить именно как возведение в степень, если в частном случае, когда степень действительная, решение в действительных числах совдает с решением в случае степени, определенной для действительных чисел. В любом случае спасибо за видео, рассуждения интересные.
Ничего не понял, но очень интересно)))
Я 15 лет назад понимал, теперь опять не понимаю
ТФКП как раз широко применяется практически в телекоммуникациях. Так как мы работаем с волновыми функциями и модуляциями сигналов на базе волновых функций и используем преобразование Фурье, то использование ТФКП позволяет и упрощать запись, и сохранять периодичность в рамках разных преобразований и операций.
Колебания и волны, прежде всего электромагнитные, а значит и оптика, радиотехника, квантовая механика, вообще почти всё на свете. Разве это нуждается в том, чтобы кого-то в этом убеждать?
огромное спасибо за видео. я занялся решением такового интересного вопроса с октября 2022 г., т.к. известная формула у меня вынесена в иконку в одной из приложух в смартфоне. на работе я совсем не имею дела с этим (20 лет уже не студент). к концу октября я пришёл к неоднозначному выводу, что (первое) либо известная формула является решением уравнения икс в степени игрек равно минус икс в степени минус игрек, но тогда где само решение_его нет. либо второе это переход из одной системы координат в другую систему координат. я знаю только три системы координат: Декартова, полярная и логарифмическая, а четвёртое это с этим "i".
Комментариев не много(((, надеюсь мой не потеряется.
Спасибо большое за серию -- очень интересно!
Как теперь решать термех? я все по Фурье решаю!!!!
Хотелось бы увидеть про функциональный анализ, бесконечно малые (дифференциалы и интегралы).
Спасибо!
Посмотрел и чувствую себя Билли Спарксом из «детство шелдона» 😁😁😁, и хочу добавить, что комплексные числа удобно использовать для вычислений в электротехнике, там, где переменный ток. 😁
Насчет неоднозначности решения - абсолютно согласен, с этим не спорю. Но так то и арксинус, вообще говоря, неоднозначная операция, потому мы из каких-либо важных для задачи соображений выбираем, какую ветку решения мы берем, например чтобы арксинус лежал от -пи/2 до пи/2. А если таких соображений нет, то да, будет бесконечно много веток решения. А приведенная в верху формула для e^z = e^a * (cos(b) + i sin(b)) называют возведением е в комплексную степерь, потому что это та ветка, которая является аналитическим продолжением e^x в комплексную плоскость. Хотя это конечно не отменяет того, что вы сказали.
А по поводу задач где есть f(z)^g(z), я вот не берусь говорить точно, но предполагаю, что чаще всего интересует та ветка f(z)^g(z), которая является аналитическим продолжением f(x)^g(x)
Аналогично и с задачей возведения отрицательного числа в вещественную степень, да, существует бесконечно много решений, но, я думаю, большинству нужно то решение, которое находится на ветке аналитического продолжения возведения положительного числа в вещественную степень.
Другое дело, конечно, если мы рассматриваем просто i^i. Тут это может быть f(z) = z^z при z=i, или же f(z) = z^i при z=i, или f(z)=i^z при z=i. Или что угодно еще, а потому неясно, какую ветку брать
Годно
Всё правильно. Количество решений зависит от того соизмерим ли аргумент с 2*pi. Если нет, то будет бесконечно много решений.
Их и так бесконечно много.
@@geniuodds5226 бесконечно много в плоскости a+bi. В плоскости r,phi любое число имеет бесконечно много вариантов записи.
@@Archik4 , именно так. Если они компле́ксные.
Это сложнее, но это куда более красиво, нежели в школе. Вузовская математика красива.
блин а ведь мои два любимых ютубера))))
Странно, что вы упомянули bprp. Ведь в своих видео он всегда говорит про периодичность e^z, просто не пишет ее для упрощенности
То же самое с Маттом Паркером, кстати, который упомянул про периодичность в конце видео и буквально сказал "let's ignore them"
Он не смотрел эти видео. Автор просто не может спокойно работать с комплексными степенями, там уже не до рассуждений о периодичности.
Он их упомянул, а не обвинял
Он их ни в чём не обвинял. Главная претензия такая (не к ним, а к зрителям): "обколются этими карандашами и думают, что в комплексных числах всё просто решается, а эти ваши вещественные нам и нахрен не нужны".
Лайк
на сколько помню мы в школи ответы так записывали. только уточняли, что к любое целое число
Чего я не понял так это самого первого перехода, когда линейные коэффициенты резко стали полярными, а тригонометрический компонент был выдворен из показателя степени. Да и момент с периодичностью неоднозначный. В случае просто полярного представления комплексного числа финальная точка в декарте никуда не убегает, как ни крути угол на 2 пи.
Мне кажется, это революция
Прям тригонометрическая экспонента и тригонометрический логарифм))
Это просто фазовый множитель калибровочной группы квантовых полей… на фазовый угол pi…
В инете с математической точностью катастрофа. Впрочем, это часть общей картины с массовым образованием в мире...
Борис, хорошее видео и из него уже становится намного понятнее, что такое всё таки возведение в степень. Я только попрошу опять таки не бояться неоднозначности. Вот вспомним, как у нас вводятся действительные числа. Вообще говоря - действительное число нельзя записать однозначным образом. Мы можем ввести его либо по Коши (как ненулевой предел фундаментальной последовательности) либо как сечение Дедекинда. Обрати внимание, что далеко не одна фундаментальная последовательность сходится к тому, что мы называем действительным числом и Кантор предложил для этого брать класс эквивалентности фундаментальных последовательностей. Так что не надо думать, что на R всё хорошо, гладко и однозначно) Просто там уже очень давно обо всём договорились. А если тебя пугает неоднозначность - то не вопрос. Вот у тебя есть экспонента с множителем (бегунком по Z ) K, ты отобрази a^z в гильбертово пространство, где компонентами бесконечномерного вектора будут все твои счетные возможные варианты того, чему равно a^z. Это пространство по построению сепарабельно, поэтому можешь там делать и сходимость и производные и всё, что хочешь и будет тебе твоя любимая однозначность)
Уже вроде и здесь договорились, римановой поверхностью пользуются...
@@genghiskhan8835 не, конкретно с этой "комплексной степенью" римановой поверхностью воспользоваться не получится, тут надо и правда во что-то бесконечномерное отображать. Да и то вряд ли что-то хорошее получится.
Ну да, теперь то точно все упростилось до последней возможности:)
Ни хера термины, я поражен!
Комплексная степень - бесконечно-многзначная функция. Имеет смысл рассматривать только e^z как всюду сходящийся ряд. z^w = e^(z Ln(w)) здесь возникает вопрос, Ln(w) это многозначная функция. У него есть главное значение с мнимой частью в пределах (-пи; пи]. И прибавляется 2пи n i . То есть комплексное число можно возводить только в целую степень. В любую другую степень, если использовать главное значение логарифма, функция не будет непрерывной.
Из всего этого следует, что должен быть значок частичного равенства. Как он выглядит - не суть важно, но означает, что "среди возможных значений левой и правой части есть хотя бы одна пара, удовлетворяющая условию равенства". Обычное равенство оказывается частным случаем частичного - когда значение каждого выражения только одно.
Зачем ещё новое обозначение? Разве это не выражается в обычных обозначениях? Ваше «частичное равенство» - это просто декларация того, что выражение со знаком «=» рассматривается как уравнение (а не тождество, не определение или ещё что-то) с двумя переменными (в вашем случае), возможное решение которого как раз и состоит в том, чтобы найти все удовлетворяющие равенству пары. Точно также можно определить множество упорядоченных пар {x, y} как такое, которое удовлетворяет данному уравнению, а там уж как получится, оно может оказаться пустым или нет. Говоря совсем просто, Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem . 🙂
Может, я вас не совсем понял, тогда поправьте меня.
Опять мозг сломал😀
True-шин
Красиво звучит!
Что бы не врать детям в школе нужно срочно вернуть комплексные числа в обязательную программу))))
«Мы расскажем нашим чадам
Правду, нам не всё равно!
Удивительное рядом,
Но оно запрещено!
С уваженьем, дата, подпись
Отвечайте нам, а то,
Если вы не отзовётесь,
Мы напишем в Спортлото!» © Высоцкий
А они что, исключены? Да-а... И вот почему я не очень удивлён? 😢
круто, получи еще тригонометрические формулы из формулы Эйлера.
Ну я все понял каеф
комплексный мир очень хорошо уживается в электродинамике
как и квантовый мир. квантовая суперпозиция определяется только комплексными числами. На этом основано работа квантового компьютера.
оооо, любопытно было увидеть Мэтта Паркера, он веселый тип :)
Очень интересно и поучительно! Однако есть вопрос о целесообразности таких рассуждений. Существует красивая наука-раздел математики, называемая "Теория функций комплексных переменных (ТФКП)". И в этой науке такие проблемы решаю устойчиво и четко - строится "аналитическое продолжение функции" с одного множества (где она определена изначально) на области комплексной плоскости. При этом автоматически решаются проблемы особых точек (там, где функция не определена) и неоднозначности (многолистные функции). Если для вас вопросы, обсуждаемые в ролике, стали актуальными, то вряд ли имеет смысл упражняться в сложных и изощренных рассуждения. Лучше осознать то, что уровень ваших задач возрос настолько, что появилась необходимость изучения ТФКП. Впрочем, шахматы как "гимнастика ума" тоже имеют право на существование.
Вот в том-то и дело, даже нечего особо добавить. Математики уровня "уверенного школьного" выдают за некий парадокс то, что абсолютно прозрачно рассмотрено в ТФКП. Я уверен, что тот же Трушин за всё время, что ведёт канал вместо траты времени на различный хайп мог бы ознакомиться с теорией. Хотел написать, что хотя бы в общих чертах, но сообразил сразу, что "общие черты" к настоящей математике не применимы.
Также, как неприменимы рассуждения типа "из школьной математики известно...", "в школьном курсе мы проходили..." и т.п., потому как в отличие от школьной математики, в настоящей математике теория строится, исходя в первую очередь из аксиом. Это совсем другой подход, нежели тот, что преподносится в школе.
@@deutschuntergrad "... тот же Трушин ..."Интересно то, что Борис Трушин весьма грамотный человек с хорошим математическим образование, что видно по многим признакам. Полагаю проблема имеет очень глубокие корни в современном преподавании математики в школе. По моему мнению школьные методисты-математики полностью оторвались от реальности - и от реальных потребностей в умении считать, и от реальной науки "математика". Создана и развивается специфическая наука "школьная математика" , бессмысленная и беспощадная)). У нее свои задач (ЕГЭ), свои правила и методы, свои проблемы усердно решаемые методистами. При этом Борис один из наиболее вменяемых авторов - образование (МФТИ) не позволяет ему скатится в полный кошмар, которым заполнен интернет.
возник похожий вопрос про уравнение вида корень из х равен х в четвертой степени, возможно ли его решение в комплексной плоскости, ведь корень дает два значения, если подставлять результаты после возведения в степень в начальное уравнение, то примерно в половине случаев подходит первый корень, а в половине второй (не считая действительных корней 0 и 1)
Когда сказал что a^1/3 имеет три корня, сразу про 2пk подумал
*Здравствуйте*
*Борис Трушин*
*Классно*
*Мы из Таджикистана*
в каком округе Москвы чё строите?
@@waldemarmoskalecki7891
Мы в Таджикистане
@@waldemarmoskalecki7891
Учитель математика
@@waldemarmoskalecki7891
Ин Шаа Аллах
Аллоху Акбар
@@Pandunasihat математика царица наук. Поднимайте экономику Таджикистана.
хотел бы рассказ от вас услышать, а именно - если у нас есть функция f(x) в декартовой системе координат, ну и мы строим ряд точек, принадлежащих этой функции, с условием, что каждая последующая точка, отличается от предыдущей точки по своим координатам так, чтобы сумма разностей координат по x, и по y равнялась какому-то произвольно взятому значению, то что произойдёт с этой последовательностью, м.б. она сойдётся к какой-то точке?
2:52 тут похоже на ту тонкость, что и с квадратным корнем:
√2 - одно число ("арифметический квадратный корень"), а решений уравнения x²=2 два. Потому что так договорились.
комплекс мессии =)
Разобравшись в этой теме, я познал катарсис, достиг просветления и заглянул в нирвану
Математика: Что то много в мире цифр! Оставим 0, 1 и 2, остальное заменим буквами.
Результат: вся доска исписана, много букв и лишь две цифры.
Ну, цифр-то не так много. Всего 10 )
@@trushinbv а в двоичной системе счисления вообще только две🙄
@@z4777 в системе счисления с основанием 1, вообще цифр нет.
@@user-ze8vv8oh1y там в принципе ничего нет
@@trushinbv «Ну, цифр-то не так много. Всего 10» Ну уж нет, тоже мне, мировая константа 10. Если не плодить сущностей сверх необходимого, цифр всего 2.
Никто из математиков, кто пройдет мимо Трушина, не будет отчитан по полной программе.
у нас тоже в вузе это как-то не освещалось на лекциях по ТФКП
Странно. Должно было освещаться, хотя бы мимоходом. Хотя лично мне непонятен такой бомбеж -- ну является у нас возвредение в степень периодической функцией и потомком экспоненты. На практике как правило это никаких затруднений не вызовет, хотя бы потому что в уравнениях нас интересует одно конкретное совпадение и чаще всего оно в нулевом периоде (который определяется формулой Коши).
@@Inf1e Логично. Бомбёж вообще дело неконструктивное.
Хорошо, что теперь, посмотрев видео, я окончательно сформировал у себя картину
Думаю, что e^z -- функция как раз вполне однозначная (т. е. е в степени z). А вот е в Степени z (или e^(z*Ln e)) -- уже многозначная. Но ведь же z не равно z*Ln e
А вот с остальными числами a^b -- уже функция многозначная, так как она уже определяется через комплексный логарифм: a^b=e^(b*Ln a). Правда, у этого логарифма также выделяют главное значение (поэтому что-то и получалось при попытке посчитать i^i).
Надеюсь, что то, что у меня сформировалось -- более-менее близко к правде
Вот это было интересно
Introduction to complex analysis. Simple, but not rigorous. You may introduce exp or ln in many different way. Key requirement is an isotropic (the same in all directions) derivative.
о вы из англии
o, vy iz anglii
Очень важно понимать откуда куда действует функция. Например x^(1/3) является монотонно возрастающей биекцией из R>=0 -> R>= 0. Там всё однозначно. При этом если вы разрешите значениям быть комплексными, то x^(1/3) не будет являться функцией по определению. Мне кажется, что тут идёт игра слов, порождённая всеобщей путаницей, о которой вы рассказывали в предыдущем видео.
Важно понимать, что в комплексной алгебре очень сложно с функциями как таковыми, зато полно различных операторов. Комплексный корень -- является оператором. Комплексная экспонента и логарифм -- операторы.
Локально (в некоторой окрестности всякой точки) каждая ветвь аналитической функции комплексного переменного действует однозначно. Эти окрестности склеиваются в риманову поверхность, которая выглядит не так, как просто поле комплексных чисел, но на которой функция определена корректно и целиком, а не в виде одной ветви.
@@bogdanlevi круто, что вы об этом говорите, но, к сожалению, немногим это интересно, включая автора видео.
да у нас и без комплексных чисел есть проблемы, достаточно вспомнить какой нибудь арктангенс
Можно ли услышать Ваше объяснение решений систем уравнений методом Крамера?
нужно больши именно таких видео - "прежде чем идтити дальше, нужно определиться в теримнах", раньше думал что понимаю что такое комплексные числа и функции над ними, теперь я знаю, что ничего не знаю :)
Кажется, это Сократ говорил? А потом добавлял: «А другие и этого не знают!»
Думаю, стоило отметить, что существует чётко определённая операция (a,b) -> a^b, где a это положительное дейстыительное число, а b - произвольное комплексное. определена она так же: a^b≡exp(b ln(a)), но логарифм здесь не комплексный, а действительный. на практике такая функция встречатеся очень часто. например, решая дифференциальное уравнение
x^2 y''+ x y' + y = 0, мы можем искать частное решение в виде y=x^a и подстановкой получить a^2+1=0, так что два линейно независимых решения - x^i и x^-i, из которых можно составить линейные комбинации вида cos(ln x), sin(ln x). заметьте, что несмотря на переход к компьексным числам, ответ получился вполне вещественным и правильным.
очень интересно , разобраться бы еще. интересно где можно получить мат образование с полным объяснением подобных нюансов
В ютубе
Вот, отличное видео. Многозначность.
А то давно не мог понять как так получается:
e^πi = -1
значит e^2πi = 1
значит ln(e^2πi) = ln(1)
значит 2πi = 0 :))
Да, вот в этом один из главных минусов многозначных функций. В комплексном анализе очень осторожно приходится работать с преобразованием тождеств, которые вполне допустимы в действительном анализе.
можно проще: sin(2pi)=sin(0) "значит" 2pi=0 :)
@@Hmath ну, логарифм же в умах людей не периодическая функция))
значит i=0
По истине великан математики
@Борис Трушин, вопрос, по понятиям (математическим) мыслима ли гипотетическая математика гипотетических людей, где изначальное исчисление - мнимое, числа без вещественной части? А потом они, может быть открыли для себя комплексные числа, то есть еще и вещественные (ai + b). Т.е. симметричны ли действительные и мнимые части?
Спасибо за ответ и вообще за популяризацию и поляризацию сознания.
Пока мы только складываем и вычитаем, мнимые числа от действительных ничем не отличаются, но когда начинаем умножать, разница возникает. Действительное * действительное = действительное, но мнимое * мнимое = действительное. Так что нет, нельзя выдумать мнимые числа, не зная о действительных.
Можно представить, что мы научили дикаря мнимым числам, сложению и вычитанию, но он будет воспринимать их как измерение расстояний вдоль прямой, а i как единицу измерения. То есть в его сознании это по сути действительные числа.
@@pavelgorokhov2976 Мнимые числа - часть комплексных, как и действительные. Хотя, конечно, они первичны. Как в свое время целые были первичны, а потом стали частью действительных.
И что за расизм относительно дикарей :) Дикарь просто не учился в школе. Иные современные люди тупее продвинутых дикарей.
Насчет единицы измерения идея понравилась! Это даже круче мнимых единиц (единиц измерения) теперь гораздо больше одной.
@@pavelgorokhov2976 В продолжение вот какая мысль мне пришла.
Умножение комплексных чисел напоминает (и равно!) скалярное произведение векторов (с началами в (0, 0)).
Но в случае с тремя измерениями это уже не скаляр, а вектор, перпендикулярный ROI.
Может, это движение в сторону кватернионов?
Тогда получается, что действительные не менее круты чем мнимые?
Спасибо за видео🙏Борис Викторович, а расскажите как нибудь про синусы и косинусы от комплексных чисел?
Нельзя. Борису придётся давать новые определения синуса и косинуса, для него это уже будут какие-то другие синусы и косинусы, он с такими не хочет работать.
@@genghiskhan8835 Ёрничать научился, значит математику можешь высмеять и изучать ни к чему.
@@user-bi9bp7wv3j я не высмеиваю математику (как её можно высмеивать?), я высмеиваю людей, которые плохо изучили комплексную математику, но уже создают видео о её нелогичности и бесполезности.
@@genghiskhan8835 и кто же это тут создаёт видео о нелогичности и бесполезности математики? Назови. Я хочу видеть этого человека!
@@user-bi9bp7wv3j откуда вдруг такой вывод?
Учусь на 1-м курсе компьютерной инженерии, про комплексные числа мы не особо много изучали, ограничесличь определениями сложения, умножения, деления и т.д. Даже тригонометрической формы записи небыло. Большую часть из того что знаю по этой теме - изучил сам с помощью ваших видео) А посмотрев это видео удивился тому, что мне понятно практически всё что было рассказано. Спасибо Борис Викторович, что вы у нас есть!)
Разве вы не должны были знать всё это ещё в школе? Вообще, хотел бы поделиться, возможно, с неприятным для вас фактом. Приходят на работу или на практику студенты и выпускники по всяким «компьютерным» специальностям, и, как правило, знают только названия, вот и возись с ними. Главное - незнание математических концепций, математического языка, а также computer science и базовых концепций программирования. Названия знают. С теми, кто активно интересовался этими науками и практикой самостоятельно, с ними работать вполне можно, но приходится их тянуть. Это относится и к некоторым ведущим ВУЗам. Как так - для меня загадка.
@@Micro-MooЯ сам из Украины, а в школе математика у меня была очень слабая, просто говорили брать формулы, подставлять цифры, и решать. В моем ВУЗе примерно похожая ситуация, да и на изучение математики дали 1 год, я считаю что это невероятно мало. По этому я сейчас сам стараюсь изучать детально всё, что могу
@@mekikos8546 «в школе математика у меня была очень слабая... я сейчас сам стараюсь изучать детально всё...» Очень жаль, и хорошо что вы стараетесь сами. Без этого вообще никуда. Но без помощи школы это совсем непросто, далеко не все могут. Я согласен, год математики это ничто, но хуже другое: я общался с выпускниками технических и других ВУЗов и убеждался, что никакой математики они не изучали. Даже если они научились дифференцировать, интегрировать и решать уравнения, это ещё не математика. Мне возражают, говорят, что для работы только это и нужно. Но это не так. Хотя бы потому, что они усваивают навыки решения базовых задач механически, а это такое дело - через некоторое время это этого ничего не остаётся. Механические навыки оно и есть механические, мало отличаются от «подставлять цифры». С настоящей математикой не так: умение разбираться в понятиях, читать математическую литературу и правильно понимать никуда не девается. И тогда можно и восстанавливать любое навыки и эффективно учиться с нуля чему угодно.
Если следовать логике, что комплексные степень и логарифм - многозначные функции, то тогда получается,что квадратный корень и арксинус - тоже многозначные функции, и вообще становится невозможно что-либо посчитать. Но для квадратного корня есть договорённость, что он имеется в виду неотрицательный, а для арксинуса - что он от -π/2 до π/2, и всё становится хорошо. Странно, что комплексный логарифм определён именно как многозначная функция, повляются все вот эти проблемы... Правда, есть такая вещь, как "главное значение комплексного логарифма", и оно определено однозначно - мнимая часть от -π до π. То есть, если сказать "давайте посчитаем, чему равно главное значение выражения i в степени i", то всё становится корректно и действительно получается 0.208 :-)
уравнение вида w=n√x, где n√ - корень из некоторого числа x, имеет ровно n решений, а не бесконечное количество
Я о том, что n значений - это тоже многозначная функция, с которой неудобно работать