Estruturas Algébricas - Aula 7: Núcleo de um Homomorfismo (Definição, exercícios e uma propriedade)
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- čas přidán 4. 09. 2024
- Estruturas Algébricas - Aula 7: Núcleo de um Homomorfismo (Definição, exercícios e uma propriedade)
Dúvidas e sugestões podem ser colocadas nos comentários do vídeo. Tentarei responder a todos na medida do possível.
Na Aula 7 de Estruturas Algébricas o Núcleo (ou Kernel) de um Homomorfismo de um grupo G no grupo J é definido, uma representação gráfica é feita para facilitar o entendimento e, ainda, são resolvidos alguns exercícios de determinação do núcleo de vários homomorfismos. A aula é encerrada com a demonstração de que o núcleo é sempre um subgrupo de G.
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Matsolve
Matsolve com Prof. José Sérgio
Aula muito show!
Obrigado, meu caro Daniel! Continue acompanhando o canal! 👏👏🧑🎓🚀📚
Shooow! Cara nasceu para ser professor! Obrigado professor!
Shooow foi o seu comentário, meu caro @alf5644 . Obrigado por compartilha-lo aqui no canal! 🎓👏📚👨🏫📖
Professor, o senhor salvou muitos matemáticos (estudantes) com essas aulas. Um trabalho fantástico. Muito obrigado.
Meu caro Lucas, fico muito satisfeito em receber o seu incrível comentário. Depoimentos assim me motivam mais e mais... Continue acompanhando o canal, e obrigado por compartilhar por aqui as suas palavras. 👨🎓👨🏫📖👏
Prof. Sergio, suas aulas são ótimas !!!!!!!
Muito obrigado, @professormauricio0244 É um prazer receber seu comentário! 👨🏫📚👏
Bom dia professor!
Você poderia ensina como fazer uma demonstração de teorema de grupo sobre o nucleo de um homomofismo.
Oi Ediana, é um prazer receber seu comentário. Ficarei feliz em poder te ajudar por aqui ok!
Mas como são vários teoremas que envolvem o núcleo de um homomorfismo, peço que me retorne com o enunciado do teorema que você tem interesse na demonstração. Aí, assim que possível, preparo um vídeo com a demonstração bem detalhada e disponibilizo aqui no canal. Pode ser?
Abraço
Essa série é show de bola. Muito obrigado pelas aulas, professor!
Só fiquei com uma dúvida... em 10:41, como f^{-1}(b) se tornou (e_J)^{-1}? Tem algum passo implícito?
Olá, caro @ivansnp , obrigado pelo comentário!
Um pouco antes dessa parte, perceba que os elementos a e b foram tomados no núcleo do homomorfismo, N(f). Então, obrigatoriamente vale que as imagens deles é o neutro de J, ou seja, que f(a)=f(b)=e_J.
No caso f^{-1}(b), basta lembrar que nos homomorfismos vale que f^{-1}(b)=[f(b)]^{-1}. Então, trocando f(b) por e_J na última igualdade, o resultado segue diretamente.
Espero ter ajudado! 😉📖👨🏫👍
Tooppp
Que bom que gostou Julia Dias! Continue acompanhando. 📒👏
Boa noite professor, 6:17 qual a operação do conjunto dos números complexos?
Olá Thayson, como é o grupo dos complexos sem o zero, ou seja, C*, a operação é a de multiplicação usual dos complexos. Se o zero fizesse parte do grupo, a operação seria de adição.
Espero ter ajudado!
Obrigado pelo comentário! 📚🧑🏫👏
@@josesergiomatsolve Oi professor, ajudou bastante estou terminando a disciplina de estrutura algébrica. Muito obrigado.
As operações em cada grupo não deveriam estar explícitas?
Olá, meu caro @leomotta8534 , realmente seria muito bom se as operações fossem sempre indicadas, não é mesmo?! rsrsrs... Mas infelizmente não são! Sempre que os grupos tratados forem os mais conhecidos, geralmente as operações não são indicadas, pois é considerado que elas já são conhecidas, considerando-as como as usuais para aquele conjunto.
Por exemplo, se for mencionado apenas grupo |R, significa grupo dos números reais com a operação usual de adição, pois deve ser previamente conhecido pelo leitor que esse conjunto só é grupo com uma operação usual se ela for a de adição. Se aparecer grupo |R*, como sabemos que o 0 (zero) foi retirado, já deve ficar claro para o leitor que a operação usual é a de multiplicação, pois 0 não possui inverso para ela.
Espero ter ajudado meu caro! E obrigado por compartilhar seu comentário por aqui! 😉👏🎓👨🏫📚🚀
Por que em 4:19 a operação do contradomínio é a de adição usual? Como se dá essa conclusão?
Olá Marcos, isso foi feito pelo fato de o contradomínio ser |R, e esse conjunto ser grupo para adição usual. 👍👍📔
Olá Prof, excelente aula.
Seja G=(ℚ*, *), J=(ℝ*, *), f: G→J, f(x) = x2. O núcleo do homomorfismo de f N(f)={x∊G:f(x)=ej}, onde ej representa o elemento neutro de J, é dado por :
N(f)={1}, N(f)=ℝ*;
N(f)={0};
N(f)={-1,1}
N(f)={-2,-1,1,2,}
E essa questão?
Olá meu caro Marconi, obrigado pelo envio da mensagem e pelo elogio.
Bom, considerando que a operação * que você colocou para os grupos é a de multiplicação usual, e que x2 é o quadrado de x, a resposta correta é N(f)={-1,1}.
Para chegar a essa conclusão, perceba que o elemento neutro de J é o número 1, já que J é o grupo dos números reais não nulos com a operação de multiplicação usual. Então, o núcleo é dado por N(f)={x∊ℚ* ; f(x)=1}. Porém, f(x)=x^2, então, deve-se ter f(x)=1 => x^2=1 => x=+/- 1. Sendo assim, os únicos elementos de G=(ℚ*, *) que são levados no neutro de J=(ℝ*, *) são os elementos 1 e -1.
Espero ter ajudado!
@@josesergiomatsolve desde já fico muito agradecido pela atenção e resposta. Deus abençoe.
Professor, antes de tudo obrigado pelo conteúdo muito bem explicativo, no primeiro exercício, pq são os múltiplos de 4 e não os múltiplos de 2? Pois i=-1, logo para os pares ou seja da forma 2n pertencem ao ker(f)
Olá @gilfilho5226, obrigado pelo comentário! Em resposta ao seu questionamento, basta observar que i^m será igual a 1 apenas para os múltiplos de 4. De fato, os múltiplos de 4 são também múltiplos de 2, porém, ao se considerar os múltiplos de 2 aparecerão expoentes que não são múltiplos de 4. Por exemplo, 2, 6, 10, ... E observe que i^2 NÃO é igual a 1, assim como i^6 e i^{10} também não são. Lembre que um valor m estará no ker(f) se i^m=1. Portanto, somente os múltiplos de 4 satisfazem essa condição.
Espero ter conseguido explicar de uma forma que seja possível entender rsrsrs... 👨🏫🎓📚👏
@@josesergiomatsolve entendi professor, obrigado pelo esclarecimento 🙏🏽
@@gilfilho5226 Foi um prazer ajudar! 🧑🏫👍📚
Tudo bem professor, como você sabia que a operação era multiplicativa no minuto 7:02?
Olá meu caro Pedro, obrigado pelo comentário! Para saber qual a operação, basta analisar o conjunto a que se refere, nesse caso, os reais não negativos. Certo? Então, deve-se pensar, esse conjunto é grupo com qual operação usual? Aí vem a resposta, que é a multiplicação. Uma possibilidade, é perceber que o fato de se ter colocado o * no conjunto |R significa que o 0 não pode estar no conjunto, e isso, por sua vez, é pelo fato de o 0 não possuir inverso. E para qual operação o 0 não possui inverso em |R? Novamente, a multiplicação!
Então, é importante relembrar que nem sempre a operação do conjunto precisa ser dada. As vezes, é necessário analisar o conjunto e, a partir daí, perceber qual a operação usual que faz com que aquele conjunto seja um grupo.
Espero ter ajudado meu caro!🎓👨🏫
@@josesergiomatsolve Entendi! Obrigado pelo retorno no msm dia!!👍🤝
@@josesergiomatsolve ah. Obg
@@layslabrenda 👏👏📐📔
@@layslabrenda 👨🏫🎓👏👏
o nucleo pode ser vazio?
Caro Jhon, obrigado pelo contato!
A primeira das propriedades elementares que eu demonstro no vídeo
czcams.com/video/GoJFHuVtQmY/video.html
em 5:51, garante que em todo homomorfismo f: G -> J vale que f(e_G)=e_J, ou seja, a imagem do elemento neutro do grupo G sempre será o elemento neutro do grupo J. Então, o núcleo de qualquer homomorfismo possui, no mínimo, o elemento neutro de G. Logo, N(f) é sempre NÃO VAZIO.
Espero ter ajudado!
@@josesergiomatsolve te amo cara, resolveu uma questão da minha prova kkkk
@@jhonoliver2850 kkkkk... Show!