La natura di radice di 2 - dimostrazioni eleganti
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- čas přidán 1. 07. 2024
- Vi pesentiamo il primo episodio di una nuova "serie" in cui parleremo di dimostrazioni matematiche che ci sembrano particolarmente eleganti. Inizieremo da un classico: la radice quadrata di due - cioè un numero che elevato al quadrato fa 2 - non è razionale, cioè non si può scrivere come una frazione a/b con a e b numeri interi.
Ci sono diverse dimostrazioni di questo fatto, e qui ve ne proponiamo tre:
00:48 - Numeri razionali e irrazionali
02:46 - Prima dimostrazione (per via algebrica)
06:33 - Seconda dimostrazione (per via geometrica)
11:56 - Il teorema delle radici razionali, presentazione
14:46 - Il teorema delle radici razionali, dimostrazione
18:38 - Terza dimostrazione (usando il teorema delle radici razionali)
20:14 - Conclusioni
Ecco un'altra dimostrazione geometrica molto elegante dell'irrazionalità di radice di 2, dal canale di Valerio Pattaro: • Irrazionalità radq(2) ...
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Complimenti per la chiarezza!!!
Grazie per il commento positivo ❤️
bellissimo!
Grazie del commento positivo!
Complimenti e buon lavoro.
Grazie del commento! Speriamo ti possano piacere i nostri contenuti
@@MATHsegnale senz'altro
Sei bravissimo. Ciao ciao
Grazie! Siamo contentissimi dei complimenti!
Grazie per il video, lo userò per sostituire le informazioni non capite del mio prof di mate
Di nulla! Siamo felici che il video ti sia piaciuto!
✍prof.Lei è eccellente nelle sue argomentazioni tecnicamente esatte fondate sulla disciplina scientifica matematica !
Mi permetta di sottoporle un quarto caso che implica la √2, risolta dai pitagorici in modo interessante.
Non so se codesta soluzione le sia già nota ma la propongo considerando che non l'ho trovata in alcun libro di testo.
La presente ipotesi che dovrebbe sfociare in una Tesi si fonda sul postulato che "La diagonale di un quadrato ,di lato unitario, è irrazionale perché è somma dell'Unita(1) + una quantità X irrazionale , che non dipende da un rapporto di Numeri naturali .
Tale quantità irrazionale ha due valori che sono soluzioni della f(x)→ n^2+(2n)X-n^2 dove n=1 che è il valore del lato unitario del quadrato che stiamo esaminando.
Si consideri l'Identità di Pitagora applicato alla metà del quadrato; si ha,- [n^2+n^2=(n+x)^2] da cui → [x^2+2x-1=0];
prima di procedere considerando sia l'alternanza dei segni sia il teorema di Viète si comprende subito che le soluzioni non hanno radici razionali; infatti x‛ = 0,414213562.... (si trova sul ramo destro ascendente della parabola nel I^ quadrante mentre la
x‟=(-2,414213562..) si trova nel II^ quadrante.
il loro prodotto P=(-1) ,valore del coefficiente c(noto) dell'equazione ; la loro Somma vale (-2) cambiato di segno nel coefficiente
b= - [ x‛+(-x‟)]= - [ 0,414...- 2,414..]= (+2).
l'asse y' della parabola si trova nel valore ; x= -(b/2a)= -(2/2*1)= -1
Il rapporto fra le due diagonali che valgono ; d‛=√2 e d‟= -√2 →= (-1) = cos 𝝿 che è irrazionale perché 𝝿 è irrazionale.
Ma in che altro modo 𝝿 è coinvolto?
Ecco; la seconda ragione; il rapporto; ( x‛/x‟ ),fra le diagonali ,[√2/-√2] = (-1) = cos 180° = cos 𝝿.
Ed ecco che abbiamo scoperto che √2 si embrica con 𝝿 nel cerchio goniometro.
Confido ,prof, che lei possa apprezzare l'antico lavoro d'indagine dei pitagorici che non hanno lasciato per iscritto nulla di quanto qui è stato tramandato , per via orale ,di generazione in generazione.
Cordialità😌
Joseph (pitagorico)⏳
li, 26/1/2023😇
Ben ritrovati! Sai, io ricordo che in un vecchio corso a cui avevo partecipato più di 10 anni fa mi insegnarono un certo risultato che, se non sbaglio, si chiamava "criterio di Eisenstein". Si riusciva a dimostrare che certi polinomi erano irriducibili... e per quanto riguarda radice di due, se non sbaglio applicando Eisenstein al polinomio x^2+2 rispetto al primo 2 si scopre che è irriducibile sui razionali... e questo vuol dire che radice di 2 non può essere razionale! Però si scopre che anche x^5+2 è irriducibile per lo stesso motivo e quindi anche la radice quinta di 2 è irrazionale... non è interessante?
Ma a scuola non si fa il criterio di Eisenstein. Invece le tre dimostrazioni proposte sono una aritmetica, una geometrica ed una algebrica e quindi fattibili a scuola anche per far capire la differenza fra i tre rami della matematica....
Il fatto riportato è molto interessante! D'altra parte sia la prima, sia la terza dimostrazione si generalizzano in modo abbastanza semplice alle radici n-esime di qualsiasi numero primo. Una cosa altrettanto interessante è cercare di far capire ai ragazzi dove crolla la prima dimostrazione quando provi a "dimostrare" che radice di 4 è irrazionale (cosa ovviamente falsa :-) )
Grazie Giorgio del commento. Hai centrato in pieno il motivo del video. Speriamo ti sia piaciuto!
Supponiamo di avere forme geometriche invece delle cifre. Un numero razionale ha forme e colori *nitidi* (perché si possono vedere esattamente, in una base opportuna). Questa è una mia idea: siccome lo sviluppo decimale di radice di 2 è aperiodico lo posso vedere come una linea irregolare, come forme irregolari (esempio certi frattali). Però lo sviluppo decimale di numeri irrazionali può servire per generare numeri pseudocasuali. Mi fermo qui, però ci sarebbe tanto da dire...
Come usuale, grazie mille del commento ricco di spunti
La prima dimostrazione è il solito pasticcio...il mio prof di alg sup 40 anni fa si fermava ad b^2= 2 a^2 assurdo. Personalmente l'ho insegnato a mia volta così per 40 anni!...proseguo nella visione del filmato🙂
Ciao. Come mai la definisci "pasticcio"? Sul fatto che l'assurdo possa essere scritto anche prima, si può concordare o meno, nel senso che quale sia il punto in cui sia 'palese' l'assurdo è anche una sensibilità personale. Abbiamo scelto di dettagliarlo maggiormente nella speranza di raggiungere più pubblico posisbile.
@@MATHsegnale "Abbiamo scelto di dettagliarlo maggiormente nella speranza di raggiungere più pubblico posisbile."...questo l'ho capito e capisco pure quando dici che il momento in cui si arriva all'assurdo può essere questione personale. Ma vuoi mettere l'eleganza e la semplicità nel dire che b^2=2 a^2 è assurdo perchè in ogni caso a sx c'è un numero pari di fattori 2 mentre a destra un numero dispari.
Sì sì è condivisibile. Spesso in classe anche io faccio tale considerazione.
Ciao scusa ma se dovessi affermare procedendo per assurdo che radice quadrata di tre è irrazionale
Ciao! Puoi procedere allo stesso modo, ragionando sulla divisibilità per 3 invece di quella per 2.
Perché la più semplice, la più rapida, la più generale dimostrazione sull'argomento non la spiega nessuno?
Indico con radn(N) la radice n-esima di N (radice quadrata di 2 è solo un caso particolare).
Sia per assurdo:
a/b = radn(N)
con a e b interi coprimi.
Se a e b sono coprimi anche a^n e b^n saranno coprimi per qualsiasi n.
Elevando all'n-esima potenza si ha:
a^n/b^n = N
che per quanto detto sopra è assurdo.
Fine della dimostrazione!
Grazie per il commento. Dando per assodato che b non debba essere 1, altrimenti anche rad(4) non sarebbe razionale eheh. La dimostrazione è la naturale generalizzazione, ma il video era pensato con una finalità diversa, concentrandosi anche sulla natura geometrica di rad(2).
Grazie mille per esserti speso.
@@MATHsegnale Prima di tutto mi scuso per non averti fatto anch'io i complimenti per la chiarezza e brillantezza espositiva con cui hai trattato il problema in 3 modi diversi.
Davo un po' per scontato il non considerare le frazioni apparenti, ma a rigore hai ragione tu.
Si deve sempre specificare che b deve essere maggiore di 1.
In ogni caso mi è parso strano che i molti docenti matematici su youtube non citino il metodo che ti ho esposto e spesso riportino solo il primo metodo.
Riguardo invece al metodo geometrico l'avevo trovato in forma differente dal tuo (anche se in pratica coincidente), sul sito di Valerio Pattaro.
Ti riporto l'osservazione che gli avevo fatto in proposito valida anche per la tua trattazione.
Non è necessario procedere dopo il primo passo.
Infatti se a ed b sono coprimi, essi sono "necessariamente" i più piccoli numeri il cui rapporto è sqrt(2).
Per tale motivo se con la tua costruzione trovi due altri interi a1 ed b1 con:
a1 = b-(a-b) < a
b1 = a-b < b
il cui rapporto è ugualmente sqrt(2), hai trovato la contraddizione che ti serve per concludere che l'ipotesi iniziale che a ed b siano interi è certamente errata.
Grazie per avermi risposto.