Логарифмическая спираль
Vložit
- čas přidán 14. 02. 2022
- В задаче о догонном движении четырёх черепах, сидящих в вершинах квадрата, траекторией каждой черепахи будет логарифмическая спираль. А почему форму логарифмической спирали имеет раковина наутилуса? И как были построены спирали в мозаике из дворца халифа Хишама?
Ключевые слова: самоподобие, поворотная гомотетия, изогональная спираль, logarithmic spiral, equiangular spiral, self-similarity
Диск Эйлера • Диск Эйлера
Наш канал с дополнительными материалами
t.me/getaclass_channel
Новосибирский Государственный Университет
Физический факультет НГУ
www.nsu.ru/
С черепахами куда интереснее и ПОЛЕЗНЕЕ решить другим способом.
Надо рассмотреть скорость сближения двух соседних черепах.
Скорость сближения двух точек равна разности проекций скоростей на соединяющий отрезок, - это очень полезная штука в кинематике. Тогда быстро получаем, что время равно стороне квадрата, деленной на скорость черепахи.
В принципе, это то же самое, что и в ролике: скорость сближения с центром квадрата равна проекции скорости на направление на центр.
Спасибо, Андрей! 88-й год, ФМШ, помню эту задачу про черепах)))
Получил эстетическое наслаждение! Класс
Если черепашки имеют массу, то они не встретятся, так как в определённое время начнут разлетаться от центробежной силы. Ведь с уменьшением радиуса угловая скорость будет нарастать.
будут водить хоровод
пусть черепашки будут размером и массой равными молекуле водорода
Мозаику выкладывали от внешней окружности внутрь простым уменьшением каждого элемента на новом уровне-радиусе. Никаких поворотов там нет. Если провести радиус, то видно, что он проходит всегда через вершины ромбов-квадратов. Спираль это эффект, которого строители не ожидали скорее всего. Вот удивились то!?
С добрым утром! Приятного аппетита и хорошего дня!
Интересные задачки!
Очень интересно, спасибо за видео
Ахиллес никогда не догонит черепаху -- это всё, что нужно знать про это быстрое и коварное животное! Черепахи повсюду -- они следят за вами, двигаясь по спирали! Удачи! СПАСИБО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :-)
Я эту задачу решил на 1 курсе на семинаре по физике за 5-ку.
Препод был сильно удивлён простотой ответа...)))
Фокус в том, что траекторию высчитывать не надо.
У черепах постоянная проекция скорости на радиус.
Доброго Времени суток. Сердечно благодарю за преподанный урок, чтобы вникнуть хотя бы чуток, надо прослушать ещё не раз, но на слух - очень интернсно, когда-то я очень любила математику и особено алгебру. Обещаю переслушать повнимательнее, тем более, что гоарите Вы медленно и внятно, что называется, с чувством, толклм и расстановкой. Так учитель и должен учить, иначе не успеет усвоиться. Ещё раз САПСИБО!
Очень красивая задача!
Есть способ выкладки треугольниками на плоскости. Однако, часто можно встретить аналогичный рисунок на куполах. Он делается разметкой по верёвке, намотаной на глиняный горшок или деревянное колесо нужного диаметра. Верёвка разматывается с ( горшка ) колеса, закреплённого в центре. получается спираль.
Собака в момент встречи с охотником находится в состоянии суперпозиции.
Я думал это только коты так умеют.
Прикольно. Любопытным советую глянуть еще ролик Vsause про сверхзадачи.
При столкновении конечности и бесконечности получилась ничья: длинна дуги конечна, но вычислить её можно с бесконечным приближением.
Парадоксы Зенона, философия Нагарджуны, проблема длины береговой линии.
Круто 🤟
Мы усвоили теперь этот материал!!!
Уж больно мозаика похожа на расположение семечек в подсолнухе..Сдается мне, что зодчий при постройке этой мозаики держал подсолнух перед глазами.. )))
Треугольники "немножко" неравнобедренные, но подобные друг другу. Боковая сторона одного служит основанием следущего. Получается, они закручиваются под постоянным углом при основании, уменьшаясь в размерах в одно и то же число раз, что и нужно для лог.спирали
по мозайке - в каждой окружности одинаковое количество элементов, и еще каждый круг повернут отн другого на половину элемента, размеры элементов получены двумя радиусами из центра, соотв в к центру размер элемента стремится к минимуму (точке)
Вспомнил Зенона с его Ахиллесом и черепахой)
Если масса черепахи отлична от нуля, то цетростремительное учкорение будет стремится к бескончечеости по мере приближения черепах к центру. Поэтому, если двигатель черепахи имеет конечную мощность, то черепахи никогда не встретятся. В отличие от Ахилеса.
Думаю, что древние математики знали каким образом можно было нарисовать правильный круг. Возможно, умели также рисовать фигуру называемую "зерно жизни". А, применив элементарное приспособление, называемое спирограф, можно изобразить и логарифмическую спираль. Это тоже самое, если бы мы рисовали круг радиусом r, центр которого, в момент рисования, смещается с определенной угловой скоростью, вдоль линии окружности с тем же радиусом r.
Черт возьми... 8й век!
Круто.
Вкратце. Подвесили груз на ниточке, придали движения, спираль готова))
Будет видео по механике кнута?
Я ни разу не математик, но есть ощущение, что детали мозаики имеют разные размеры но одинаковые углы.
Форма у них получается неправильная, но количество размеров ограничено количеством ярусов мозаики. Наверное, если иметь возможность точно повторять угол спила и начинать собирать узор изнутри наружу, все должно получиться само собой.
Мозайку, мне кажется, скопировали из природы, посмотрев на подсолнух, скажем иои что-ли похожее
Мозаика построена не из квадратов, а из треугольников, сложенных в четырехугольники. Если бы эти треугольники были равны друг другу и были бы прямоугольными и. равнобедренными, то спираль бы не получилась. Для получения эффекта нужно сложить 2 треугольника - один имеет угол чуть больший 90 градусов, другой чуть меньше 90 градусов. Тогда можно уже складывать из этого спирали. Теперь про способ укладки. Для укладывания мозаики снаружи внутрь потребовалась бы специальная подготовка и заранее нарисованная на полу схема - по которой уже будет легко выкладывать элементы. Но если укладывать изнутри наружу, тогда достаточно просто приставлять к мЕньшим элементам бОльшие и тогда все будет как у раковины моллюска - сама собой получится спираль. После того, как я все это написал - я решил поискать более детальные фото этой мозаики и все понял. Сначала чертим из центра будущей мозаики линии, делящие окружность на сектора. Затем чертим концентрические окружности с постепенно увеличивающимся шагом. Теперь в получившиеся четырехугольники выкладываем треугольники со все более увеличивающимся размером. И спираль получится сама собой.
11:07 скажите, откуда береться r_0 при интегрировании?
Эта задача в старом задачнике: Буховцев В.Д. и др. "Сборник задач по элементарной физике", №70. Решается из соображений симметрии.
Интересный эффект наблюдается при проматывании превью видео по ленте. Кажется что линии пробегают к спирали. Возможно это связано только с конкретной моделью телефона и частотой обновления экрана
а если черепахи будут бежать чуть под углом, как бы "с небольшим опережением", то они встретятся быстрее?
Бесконечно малое иногда легче подсчитать, чем конечное. В субботу мне нужно было посчитать несколько интегралов. Вроде бы все нормально у меня получалось. А в воскресенье пошел покупать полусапожки. Продавец назвала цену, а я немного растерялся, решая сколько купюр нужно достать из кошелька.
Помню, как на какой-то олимпиаде была задача про муху и поезда: 2 поезда едут навстречу друг другу, а между ними летает муха, пока поезда не встретятся. Нужно было найти какое расстояние пролетела муха.
Я всех друзей пытал этой задачей
Думаю, школьников больше интересовал вопрос о том, что будет с мухой и самими поездами во время "встречи". Крипово, конечно, но вспоминая себя в возрасте школьника, полагаю, что их мысли двигались именно в этом направлении.
2:58 Почему шаг уменьшается? Если условиях говорится об одинаковом шаге 1см/секунду
Спасибо за Ваши видео. Всё просто супер. Извините конечно за вопрос не в тему. Сейчас обсуждается на просторах интернета вопрос о форме Земли, что она не шарообразная, а плоская. Чем, по Вашему мнению можно доказать какая действительно форма у Земли?
Вот например, давнее видео с канала Космос Просто, множество аргументов: czcams.com/video/GrepPTE6jT8/video.html
Свет бесконечно бегает по вселенной, но расстояние конечно хоть и увеличивается
по условиям задачи скорость черепахи постоянная - 1 метр в секунду. но квадраты поворачивают с постоянно уменьшающийся шагом. на мой взгляд визуально на это вводит в заблуждение.
👍👍👍👍👍
Подобный узор образуют орбиты планет в Мандале Калачакры. И вообще наша вселенная однозначно ращвивается по принципу логарифмической спирали. Особенно картинка со смешающимися квалратами похожа на 4 рукава вселенной Млечный путь.
Если вершины каждого квадрата строить через секунду, то картинка не верная, так как расстояние между ними уменьшается.
Возможно ошибаюсь в итоге они будут двигаться по окружности с конечным радиусом.
Кстати, мозаика больше похожа на эвольвенту окружности. А её можно построить разматывая нить намотанную на цилиндр.
мозаика в конце похожа на искривлённое пространство (с наложением визуальной сетки) вокруг черной дыры
Самый простой способ получить ответ -- заметить, что сторона квадрата уменьшается со скоростью движения черепах. Правда для этого надо знать, что катет равен гипотенузе в первом порядке по второму катету.
В мозаике без сложной математики я бы разделил длину окружности на количество треугольников и вот основание треугольника, ну и высота по отношению оснований предыдущего и текущего треугольников, в зависимости от начального шага "колец".
пс. А в задаче про черепах хотелось привязать систему координат к квадрату, чтобы квадрат не вращался относительно неё, и в уме получалось, что черепаха всё равно проходит сторону квадрата.
Добрый день, я не совсем понял откуда появилось значение 5? Как мы узнали что квадрат при повороте уменьшился в 5 раз?
@@schetnikov прчему именно в exp(pi/2)?
Нет ли формулы, по которой можно было бы узнать, сколько оборот сделают черепахи к концу пути?
Интересно, если 3 черепахи пойдут по треугольнику, тогда какая спираль получится?
@@schetnikov не заметил. Можете таймкод скинуть?
а я вот слышал задачу посложнее. есть лиса в начале координат и заяц в точке (0, R). лиса бежит со скоростью v1 всегда в направлении зайца. а заяц бежит со скоростью v2 всегда вправо. v1 > v2.
вопрос тот же - когда лиса догонит зайца.
Ну, аналогично ставил вопрос древний грек Зенон. Там правда речь шла об Ахилессе и черепахе.
@@user-tj5nw8cm2i не аналогично
прямо какая-то черепаховая сингулярность.
Елы-палы, на телефоне гляжу, аж в глазах от банно-прачечной мозаики зарябило 🤓 До нормального монитора доберусь и там уже разгляжу, что к чему. Однако, сдаётся мне, что плиточники-таки были с-под Кишинёва и материальчик-то налево попёрли, пришлось немного пилить, чтоб чего-нито самому не отпилили 🤩
взяли и подогнали решение под ответ. с чего вдруг из того что в начальный момент скорость в направлении центра в на корень из двух и расстояние а на корень из двух следует что можно делить одно на другое?
Да, вот это вообще не понятно.
@@walle-jb7vm скорость движения к центру не меняется? По мне, так движение к центру ускоряется, за счёт изменения направления вектора движения. По крайней мере в начале.
@@walle-jb7vm такие примеры хорошо понятны - движение по прямой и постоянная скорость в самом условии. Спираль получаем для наблюдателя как визуальный эффект и учитывать ее в расчете не нужно. Как это соотнести с черепахой - не понятно ) Ведь она ползёт не к неподвижной точке. Её цель всё время перемещается. Спираль тут в условии задачи и то, что свойства спиралей в обоих случаях одинаковы - не очевидно.
@@walle-jb7vm во, теперь дошло, спасибо. не хватило додумать что вектор скорости ВСЕГДА будет под 45 градусов к центру. а в ролике как-то невнятно сказано.
@@walle-jb7vm спасибо, так понятно! Такого разъяснения не хватает в ролике. По крайней мере для моего уровня )
Если они будут двигаться с одинаковой скоростью по периметру квадрата они никогда не догонят друг друга
Разновидность задачи про Зенона и черепаху.
Они брали верёвку длинней радиуса на А1 и с натягом рисовали кривую от края к центру,потом отступали по окружности расстояние А1 и по новой.
Получается, черепаха меняет направление движения спустя 1 шаг. Если бы они меняли направление движения мгновенно, никакой спирали бы не получилось. Встретились бы при изменении направления своего движения всего на 90 градусов.
Похоже, что раньше люди знали и умели значительно больше, чем заявляет "официальная история". Вся Земля усеяна артефактами, невозможными с технической точки зрения прошлых цивилизаций (в том виде как нам "официально" преподносят). Начните свое увлекательное путешествие с видео о "затопленных городах". Всем Добра.
Напомнило вот эту задачу. Там "собака" и "охотник" двигаются не с постоянной скоростью, но тоже интересно
czcams.com/video/HEfHFsfGXjs/video.html
Летящие в темноте бабочки, сближаются с фонарем по логарифмической спирали.
не исключена возможность и того: что там 13:33 какой-то художник-плиточник изображал какой-то секретный комформатор, который зациклился в процессе воспроизводства и интегрирования самоподобных частей мозаики в тех рамках, в пределах которых масштаный фактор не ограничивал это творчество и ничто не отвлекало от производительного труда
Ничего не понял, но думаю, вы правы. Ибо возразить мне нечего.
@@user-tj5nw8cm2i , вроде бы: так называемые высшие математики сами способны соображать|находить выходы|выводы из бесконечностей, совершая (правильные) предельные переходы за конечное время жизни
Как доказать, что скорость под углом 45 к радиусу всегда , а не только в начале?
Числа Фибоначчи, Золотое Сечение, Фрактал
Ну это же золотое сечение, только задача решается не от центра , а от края, поделите на прямоугольники, сосчитать количество дуг квадратов и умножить на длины радиусов , этих квадратов и задача решится.
Мозаика:
Построить концентрические окружности радиусов R[i] так, чтобы шаг возрастания радиусов R[i+1] - R[i] был пропорционален R[i]. Начертить из центра множество лучей-радиусов с равным угловым шагом. Получится как бы деформированная прямоугольная сетка. Провести диагонали во всех прямоугольниках.
Почему? Им же всё равно нужно будет в какой-то момент размер квадратов на очередном круге знать - вот берем его (1/n сиюминутной окружности) и на него сокращаем радиус
Задачу с четырьмя черепахами можно было решить так: давайте возьмём одну из черепах, как за систему координат, две из которых смотрят на черепахи. Теперь посмотрим и увидим, что черепаха, которая гонится за нашей черепахой должна пройти сторону квадрата, а её скорость постоянна и равна 1см/с. Так как это равномерное движение, то чтобы найти время нужно разделить сторону квадрата на скорость черепахи : 1м/(0,01м/с)=100 секунд
@@schetnikov здравствуйте! С пятью я не знаю, не пробовал, но как я помню нам учитель давал задачу про 3 и 4 черепах и там же он нам говорил, что можно взять проекцию движения черепахи относительно другой и посчитать , за какое время черепаха преодолеет это расстояние
Если черепахи это математические точки, то они никогда не встретяться)))
@@user-vu6hn4ul2i Так это понятно. То была шутка)))
@@user-vu6hn4ul2i Бывает)
Надо чтобы одна спираль по часовой стрелке раскручивалась, и синхронное ей такая же против часовой стрелке раскручивалась.
Повезло тем кому задачу давли решать в девятом классе , два года назад у нас в городе семиклассникам её дали на городской олимпиаде.
тема бесконечности не раскрыта
Возможно данная мозаика сделана с помощью спирографа, или что-то похожее на рисунки фурье
Чето я не понимаю эту задачу. С какой радости черепахи должны сходиться в центре квадрата,, когда они идут по его периметру?!
они идут по периметру (по траектории бесконечно близкой к периметру) все время нового квадрата.
4:00 радиус квадрата 🤔🤫
Ага, конечно не знали. Вы еще почитайте про гирих - мозаику симметрии пятого порядка, про мозаику пенроуза и квазикристаллы. Они много что знали раньше европейцев!
Длинна дуги, кажется, что конечна, но это не так! Если вы захотите начертить эту дугу, то вы начав чертить однажды, никогда не закончите.Это всё равно, что взять любое число и разделить на любое число (кроме нуля) бесконечно раз, вы никогда не получите ноль.
скорость задана.
Внесу поправочку: крышка наберет бесконечную скорость только в том случае, когда поверхность стола и крышки будет бесконечно жесткой (идеальной) и поверхность стола будет абсолютно неподвижной, и все это будет происходить в идеальном вакууме. Правда в таком случае она вообще некогда не остановится и скорость не будет увеличиваться. Во блин бред получился.
Чтобы не было бесконечный бег черепахи, нужен размер черепахи и квадрата.
с собакой и домом будет и с размером
Все конечно, бесконечно, если нету длины шага, а черепаха за точку... Вот ток черепахи далеко не точки и шаг у них для этой задачки есть и большой...
Какие всё таки черепахи страшные животные))))
Спирали на мозаике получены через золотое сечение.
Кто-то, наверное, на настоящих черепахах экспериментировал...
Ну очень тугое обьяснение⬇️
Спираль получена с помощью цилиндра с намотанной веревкой и карандашом на конце веревки
Тогда получилась бы спираль Архимеда, а не логарифмическая, насколько понимаю
Это как откровение. В космосе по сути нет физики- там чистая математика. Посмотрел ролик и не понял до конца откуда компоненту взяли?
никогда
Спирали получали наматывая верёвку на цилиндр.
если черепахи превратятся в точки...
Я сломался(
Никакой спирали нет -- это просто обман зрения, связанный с перспективой -- нужно глубже смотреть, в бесконечную даль колодца, расположенного по центру бани. Это же логично! :-)
А где через интегралы решение задачи? Ведь любому первокурснику известна формула длины дуги кривой.
@@schetnikov Да, там необоснованно даётся ответ 100, но непонятно почему угол в 45 градусов не будет меняться: ведь скорость одинаковая, а размер квадрата при движении по спирали к центру, как проиллюстрировано в начале ролика, меняется. Там во 2-ой части выведено уравнение спирали, но оно для решения задачи не используется.
с арабской спиралью не всё так сложно, мне кажется. Они просто взяли точки на диаметрах уменьшающихся окружностей и соединили их не прямо от внешнего круга по радиусу, а наискосок. Ну а дальше дело техники.
Возможно разматывали нитку, намотанную на стержень, помещенный в центре.
@@alexeya4787 но тогда ведь нитка может быть от края до центра по прямой
Совсем не очевидное объяснение, но выглядит вполне подогнанным к ответу:
Вы выбрали начальную точку с углом в 45° в вершине квадрата. А в любой другой точке кривой вектора будут иметь иную конфигурацию? Если же всегда исходить из того, что в вашей модели и "квадрат" повернется - а в нем соотношения векторов останутся прежними - то это надо проговаривать, а не "иметь в виду".
Теряете наглядность и простоту объяснений, многое оставляя "за кадром" для "догадливого зрителя". А не надо! Надо все разжевывать до удобоваримости - с тем, чтобы привлекать не только "быстрых разумом невтонов", но и тех, для кого математика и физика - не их конек. Поменьше снобизма, больше приязни ко всякому прохожему!
Какой же я тупой.....
Почему то сразу подумалось что никогда не встретятся до бесконечности