【伝説の東大模試】因数分解せよ
Vložit
- čas přidán 18. 07. 2023
- TwitterのDMで共有いただいた実際にあった東大模試からの出題です。
東大文系の第１問でしたが、平均点は4.9点/20点。教科書に載っている定石だけでは詰まってしまいますが、視点変更で解けてしまう良問です。
この発想なら中学生でも解けるかもしれません！
因数分解に興味を持った方は、こんな難問もよければどうぞ（数検で出題）
• 最強の因数分解【1分以内に解け】
青チャートで東大合格への道
• 【新企画】青チャートで東大合格への道#01（...
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lin.ee/km96cPp
｢ゴールからの逆算｣って良い言葉ですね！
やってみたら分かるけどゴールから逆算はマジで使える
積分不等式とか必要十分の証明
こういう形になるにはここがこうなるしかない(カッコでくくれる)とか
そこに意識するだけで成績ばくあがりしました。
動画と同じやり方で初見でできて気持ちいいです！恒等式的なやり方は結構使えますよね。
これは良問。
わかりやすい！
そもそも因数分解には一意性があるのでその形にしか因数分解できないことは明らかで証明云々は何一つ関係ないですね
数学の記述は「自分が出した答えが正しいこと」「見落としが存在しないこと」を示せればいいので、この問題に関しては導出を論理的に書けずとも天下り的に勘で導いた因数分解結果を書いても(そこからその解が唯一解であることも書いておけば)減点はされなかったりする
普段から3次以上の因数分解は相反でない、因数定理が使えない、複2次式でない、の全てが達成された時は係数比較に走る癖があったおかげで瞬殺でした。
本当は日頃からx^3を足し引きする。みたいな技巧的なことやった方がいいんだろうけど発想ゲーすぎて係数比較に走っちゃう
パッと見-1+√2とか代入したら行けそうだから因数定理使えそう
ぱっと見でその解みつけるの強
ラマヌジャンいた
えっ...キモ...(褒め言葉)
おはラマヌジャン
これ好き
凄ッ！
2次×2次に絞って2変数3式の連立方程式が出てくるところ、1,3番目を使って中学生の2元1次連立方程式として解いてもいいですが1,2式を使うと2変数の和と積が出てくるので2次方程式の2解を使って2数を出して3式に合うようにしてもいいですね
因みに(i)だとt^2-9t+18=0からt=3,6が、(ii)だとt^2-9t+14=0からt=2,7がそれぞれ出てきます
記憶を消してまた解きたい
東大受けるならこれは正解したい。
メタ読みで多分因数定理が使えず2次2次の形だろうと考え,恒等式で解けることに気づき,やったぜする
大学生なって、目に入ったからひさびさに高校数学解いてみたけど解けて嬉しい。今から俺は崖っぷちの期末考査の勉強するけど、受験生のみんなは受験崖っぷちならんよう気をつけて頑張れえ
係数比較の連立で普通に解きました！所見で解けて嬉しい笑笑
サムネだけで解こうとしたら沼にハマって、諦めて答え確認しようと動画みたら整数係数って書いてあって愕然とした…😭
全く同じ流れでした…。
いつものやり方がばっちりハマりました。係数比較面倒なので。
x=1を代入すると与式=22となるのでおそらく2×11であろうと予想できる。
2はともかく最高次1で定数項3から11を作り出すのは難しいはず(1次×3次と因数分解できない前提で)。
とりあえず一番無難なx²+7x+3を入れてビンゴ。暗算でした。
すご
これは頭いい
まねする
すげー参考になった
一応、係数が整数じゃない場合もあり得るのでしょうが、係数比較の式が結局高次方程式になるのでおそらく整数で考えれば十分だろうと予想できますしね。
どうも河野玄斗です！本日はこちらの問題を解いてみたいと思います。まず、ぱっと見x=-1+√2が解になりそうなので試しにx²+2x-1で割るとx²+7x+3が出てくる。よって答えは(x²+2x-1)(x²+7x+3)になる。以上！
ウーン、必要性の証明がないので5点！
@@user-yk3ve9wq5yどちらかというと十分性じゃね？
必要で絞って十分で確認でしょ
いや因数分解せよだから十分性もいらん
=でつながってるんだから
@@user-yk3ve9wq5y すまん、君の言ってることが合ってたわ。
十分性は割り切れたところで示せてるね。
ｽﾝﾏｾﾝm(__)m
@@uetai この解答だと十分性は示せてた。なぜx＝−1＋√2が解になるのか書かないとこの問題はそんなに点数はないと思う。
因数分解せよって書いてあるが一種の証明問題みたいなもんだから。
東大ならなおさら書かないと0点だろうね。運が良かっただけの回答になってしまうから。
8:18
記述書けとか言ってるけど、因数分解した式と、それぞれの2次式がこれ以上整数係数で因数分解できないことだけ書けば十分でしょ
(与式)
=x⁴+9x³+16x²+9x+1-10x-4
=x²(x²+9x+16+9/x+1/x²)-(10x+4)
=x²((x+1/x)²+9(x+1/x)+14)-(10x+4)
=x²(x+1/x+9/2)²-(25x²/4+10x+4)
=((2x²+9x+2)²-(5x+4)²)/4
=(2x²+4x-2)(2x²+14x+6)/4
=(x²+2x-1)(x²+7x+3)
って感じで相反方程式使っても解けますねこの問題
見た時これ思いついて嬉しかった
これと説明されてるやつ両方見つけれたぜ😊
相反方程式は一瞬頭を過りましたが、
「（うーん、相反方程式じゃないかぁ。。）」でおしまいにしてしまいました(>_
(x+1)^4の差でキレイになるからなんとなく解けちゃったけど。
普遍的に掃き出す方法はあるのでしょうか？
つまり今回、ぱっと見で1,4,6,4,1を引けばあとが５の倍数でラクと私は思ったわけですが
どんな整数係数の４次方程式に対しても(x+?)^4を引けば整理しやすくなるような？があって、かつ、瞬時にその値を知る方法があるのでしょうか…？
※整理しやすいとは、漠然としていますが、(x+1/x)や副二次式で整理できるようなこと…かしら
Never seen this kind of way to solve it, it surprised me!
すげえ！
一回やれば二度目は確実にとけるけど経験ないと手も足も出ない初見殺しの極みみたいな問題、何が難しいのかわからんかったけど経験あるからだな
これは・・模試なら出るかもしれないが本番では絶対出ないと断言できる気がします・・
柔軟な発想だなと思いました
青チャに全く同じ解法ありました！
誘導付きだったけど
恒等式で両辺微分しても良いですね
ヒントなしで係数比較のみで解けました！
そもそも４次式を因数分解するときに(１次式)×(３次式)はあり得なそうですよね
４次関数f(x)を考えてy=0との交わり方を考えた時に、(x-a)みたいな形が出るときには必ず別の実数解bを持つはずなので、(x-a)(x-b)が出てくることになり、(１次式)×(３次式)は除外されます→(２次式)×(２次式)のみになる
※僕はこの問題を解くときに因数定理が使えなかったので、問題の式を関数にして微分しようとしましたが、f'(x)=0の方程式から極小をとるxが出ず、論述としては不完全ながらも予想から導き出せる(２次式)×(２次式)の形でフィニッシュしました
与式＝ｆ（ｘ）と多くと、ｆ（ｘ）＝０には4つの実数解があるぞ。出て来た2つの2次式＝０と置いて解の公式を使うべし。
発想は悪くないけど、残念ながら今回はたまたまそうなってないだけで、4次式が(1次式)(3次式)の形に因数分解出来ることはあり得る。
例えば
x^4+2x^3+3x^2+3x+1=(x+1)(x^3+x^2+2x+1)
が反例で、x^3+x^2+2x+1はこれ以上因数分解出来ない。
ただ、これは整数係数での話。実数の範囲で考えるなら、x^3+x^2+2x+1=0は実数解を一つ持つ(このことは微分すれば示せる)ので、まだ因数分解出来る。その意味でコメ主の考えはそんなに間違ってはいない。
さらに言えば、複素数解も含めると、全ての4次式は(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)と因数分解出来る。
ただ、実際はこれを求めるのが難しい場合もあって、最悪四次(or三次)方程式の解の公式(あまりにも長い事で有名な公式)を使う必要が出てくるから、入試では整数の範囲までで因数分解出来ることが多い。
「東大は、発想の転換をすることの出来る学生を求めている。」という東大受験生への挑戦状のような問題ですね😉👍✨
模試でなく、本番で出題されても不思議でないような気がしました。
いつの間に官僚育成学校の東大は京大の真似事をするようになったんだ？
数学できるやつなら普通にできる問題だと思うけど
(ア)は回答には書かなくていいんじゃないでしょうか。最初から2次式の積と決めつけて進めても論理に誤りはないので。出来た2次式を1次式には分解できないことを言えば十分かと思います。
ゴリ押しするか…？
もっとスマートにできないかな🤔
できないからとりあえずゴリ押ししてみる
↓
(与式) = ( x² + ax + b )( x² + cx + d )
キツいかと思ったけど、あとになって "整数" だから楽に絞れるって気づいてできました（30分かかりました🥲）
8:15 受験数学に囚われているとこの手の問題でも「記述をしっかり」というかもしれないが、因数分解は展開の逆なので、解答の頭に答えを書いて、「実際これを展開すると問題文に一致する」と書けば論理的にきちんとした回答だと思う。それ以上の展開ができないかという記述は必要であるのと、(整数係数)多項式の因数分解は一意であるということを使っているが
説明に過剰な部分があるのはその通りで、なおかつ一番肝心な既約性の説明が不十分だと思います。一応(ア)の形式がないことを示したことで結果的には(イ)の２次式が既約であることも示したことにはなるものの、明らかにそういう文脈にはなっていないので減点されても仕方ない気がします。
（細かいことですが既約性に触れずに式の形式だけで「因数分解した結果は(ア)と(イ)の２パターンなので～」という説明だと「２つの１次式×既約２次式」と「４つの１次式」が漏れているように受け取られる可能性もありますね）
@zetakeiz2971
詳細な問題文を見ていないので不明ですが、高校までの範囲において、
通常因数分解せよと言われて、二次の多項式に因数分解されるケースで
既約性や一意性について言及するケースなんてないと思うのですが・・・
@user-zc1cu1zj9m さんの言う通り、結果さえ明示できていれば全然いいような。
まず、因数分解の計算問題で、決まった答が必ず一つあるのは、因数分解の一意性によるものなので、
細かく言えば因数分解では、必ずその性質使用しています。
既約性については、仮に問題文で指定されていたとしても、
二次多項式をそのまま分けるなり、判別式で見てあげるなりしてあげて、
整数係数上で分解できないことを確認すればいいと思います。
特別な指示があれば別ですが、計算問題の範疇だと思われます。
@@zetakeiz2971 もと数学教師です。高校３年生を対象にした校内模試（記述式解答，全5問・120分）の大問1つを丸々使って「x^5+7x^4+12x^3-9x^2-27x-26を整数係数の範囲で因数分解せよ。」という問題を出したことがあります。当然数IIの恒等式を視野に出題したもので，文系に出題しましたが，平均点は低かった覚えがあります。この問題を出すにあたっては，数学科と物理科の先生と一緒に３日ほど協議を重ねて出題したもので，発案は私ですが，模範解答や採点基準等は他の先生が作りました。
後日，教師会がありまして，テストの作成が適切かどうかを大学教授を交えて協議されたのですが，この問題がやはり議題に上りました。論点は「単に結果をしるし，それを解答としたものは正答と認めてよいのか」でした。
結論から言うと，複数の教授らから，「既約性の有無を含めた記述はやや余剰とみるのが良く，さらに既約を厳密に示すには単位的可換環を用いるのが視野に入るが，高校生のレベルでこれを求めてはならない。したがって結果を簡潔に示し，展開して計算すると与式に戻ることだけを記述した解答は評価できる」とされました。
そのうえで，「記述に既約性を登場させれば，（高校教育では言及されていないがゆえに）ただちに大学数学の分野に入ったとみなし，教授が採点するときにはやや厳密にみることは十分考えられる。単位的可換環や既約多項式の概念を取り入れていない浅はかな記述に対し難色を示したとしてもおかしくない」とのこと。
だから，「因数分解としてではなく，恒等式を解く一環として因数分解に帰着させる答案（模範解答）を作成するのであれば，展開したら5次式（動画では4次式ですが）となり得る式をすべてあげて，式を解く，という全く性質の異なるものとなるから，既約性をわざわざ議論に持ち出す必要性がない」
ということで，①因数分解として解く。このときは答えを簡潔に。②恒等式として解く。このときは該当パターンを列挙して場合分け。
のいずれかが適当で，動画のような解答（および私たちが作った模範解答）ははっきり言えば「別解」であるという認識でした。
既約性を恒等式の概念に持ち込むことも，因数分解で既約性を論じることも，大学受験という分野の中で見れば見当違いではないでしょうか。
ええと、二人とも何を言ってるのか全くわからないです。そもそも私のコメントが
『この問題文の４次式が「２つの２次式に因数分解される」ことを示すにはその２つの２次式が既約であること、すなわちその２つの２次式がどちらも１次式の積にならないことを示す必要があるが、この動画の説明だと２次式の既約性（１次式の積にならないこと）の説明が間接的で不十分だと思われるかもしれないですね』
という主張だということは理解されてますか？
それとも理解した上で「それを示す必要はない、２次式が既約かどうかなどどうでもいい」と言ってるのでしょうか？
「問題文に既約性を登場させる（指定される）」とかいう表現も謎すぎます。因数分解の問題が出ている時点で既約性は当然必須の概念ですよ。ただ「既約性」という単語を用いてないだけで。「整数係数上で分解できないことを確認」が「既約性の確認」以外のなんだというのですか。
私が具体的に与えられた４次式の因数分解における既約性についてコメントしているにも関わらず「既約性」という単語から勝手に話を一般化して「高校生が大学の範囲にまで踏み込む必要はない」などと見当違いの思考に陥ってるようにしか見えないです。
なお私は一意性について全く触れてないのですが、その私に一意性について問うてくるのも意味不明です。
（あー、二人を区別して返答してないです）
（追記）
私が（ア）、（イ）などと動画の説明について書いているのにそこには全く触れずに一般論で返してきていることからも動画をきちんと見ずにやりとりしている可能性がありますね。
この動画の方針、特に3:54あたりからの内容に納得されているのであれば後は何も言うことはないです
@@zetakeiz2971
すいません。私も論点が不確かになっておりました。
部分的な回答になりますが、よろしくお願いいたします。
＞『この問題文の４次式が「２つの２次式に因数分解される」ことを示すにはその２つの２次式が既約であること、
＞すなわちその２つの２次式がどちらも１次式の積にならないことを示す必要があるが、この動画の説明だと２次式
＞の既約性（１次式の積にならないこと）の説明が間接的で不十分だと思われるかもしれないですね』
動画内においても、約数の話も出ていましたが、因数定理が利用できるケース（ア）が不適となる時点で、
一次の項ではくくることができないので、因数分解できるならば、
（既約の二次式）×（既約の二次式）のパターンのみです。
この部分のみ取り上げれば動画内の説明では、間接的で不十分と言われればそうとも言えますね。
＞なお私は一意性について全く触れてないのですが、その私に一意性について問うてくるのも意味不明です。
（ア）や（イ）のパターン分けが十分かどうかについて触れられていたので、記載しました。
因数分解の一意性があるので、何らかの形で分解されること（または分解できないこと）が分かれば、
特定の形に絞られます。
また、一つ見つかれば、それが答えに他ならないので、網羅性の議論は正直あまり意味がないと思われます。
以下については、厳密には別の話でしたね。失礼しました。
（今回のxの二次式のケースを含む）ある文字において二次式以上で因数分解されるケース（※）において、
既約性を明示させているかどうかと言われたら、そうでもないのではないでしょうか？という意見です。
そのため、因数分解の結果さえ書けていれば、@user-zc1cu1zj9m さんとほぼ同意見で、
立派な回答として問題ないとの認識です。
（もちろん書いてあればより良い回答ではあると思いますし、当然確認しておくべきことではありますが、
書いてないことによる不利益を受けるべきではないと考えています。）
＞「問題文に既約性を登場させる（指定される）」とかいう表現も謎すぎます。
既約性が必須なのは理解していますが、上記の通り、単に「因数分解せよ。」という問題において、
結果が既約であることを明示させる問題を知らないですし、不親切な気がします。
例えば「既約性について明示した上で、因数分解せよ。」程度は必要なのではと感じました。
（既約という言葉をならっているかは不明です。）
だから、明示されているならば、二次の多項式部分について相応のチェックは記述すると書いたのです。
（追記）
・（※）例えば、ソフィージェルマンの恒等式のような形の因数分解の問題の時に、
既約性について記述していますか？
既約かどうか軽くチェックすると思いますが、通常結果のみしか書かないと思います。
・因数分解せよ？という問題で、与式が既に既約である場合には、私の認識だと困りますね。
出題される可能性はほぼないと思われますが・・・
数検1級で全然出るよね
解を求めよだったらフェラーリの解法とかも押さえとくと良いと思う
(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1
よって
(与式)
=(x+1)^4+5x^3+10x^2-5x-4
= (x+1)^4+5x(x^2+2x-1)-4
=｛(x+1)^2｝^2-4 +5x(x^2+2x-1)
=(x^+2x+1-2)(x^2+1+2) +5x(x^2+2x-1)
=(x^2+2x-1)(x^2+2x+3)
+5x(x^2+2x-1)
= (x^2+2x-1)(x^2+7x+3)
単純だけど思いつかない感じ不思議だなあ
勉強としては大事だけど、東大の本番には絶対出ないね。答え書くだけで終わり、書き足すべきはそれ以上は因数分解できないことくらいかな。
イケメン
整数係数っていうのが大ヒントやな。
サムネに整数係数って書いてなくてずっと詰まってたので動画見たら、なんか条件追加されてた…
解けた！
出題者、問題作成者凄いわ(・∀・)
大学入ってからたまーにこういう動画見ると結構面白い
この問題は何分で何点取れたら東大合格レベルですか？
開始1分くらいまで見てから解くのに30分かかった
ぱっと見そんなに難しくなさそうなのが模試だといやらしい…
解法で通用しない時は諦めて解る問題を探す。
なんとなく思いついた式を展開したらたまたま一致した
なんか頭のいいやり方をするのかと思ったらごり押しだった
初見じゃ解けないけど良問すぎだろ
0点か20点ってはっきり分かれそうな問題ですね。
はっきり分かれんだね
@@uu9416黙れ
@@uu9416なんか臭うゾ
四人に一人が解ける感じか。
同じやり方で係数比較で出したけど記述しろって言われたらきついな…。(x-p)(xⁿ-...pⁿ)の方でもできるかも考えてなかったし因数分解って模試では小問集合で出される単純なのだと思われがちだけどこうやって捻られると真面目にやってきた人は逆にできないと思う。解放暗記ができてない💦って勘違いして視点変更がパッとできないからね
答え当てて 答案には展開したら一致することと それ以上因数分解できないことを言えばいいと思うんですけどどうなんでしょう
「この問題が解けるなら、解は
このような形になるはずである」
↑こう考える人なら解けますね。
入試に(だけ)は有用な割り切り😁
あー分かった！！x=-1+√2とx=-1-√2を代入して因数定理使えばいいのか！！
221^n-169^n-119^n+91^n が 24 の倍数であることを示せ。（nは整数）
これやってほしいです！！
うまくいけば数行で解けると思います
合同式で。
mod24 で見ると
221^n-169^n-119^n+91^n
≡5^n-1^n-23^n+19^n
≡5^n-1^n-(-1)^n+(-5)^n
≡0
互いに素である方が都合がいいのでmod8とmod3の方がいいんじゃないかな、、
@@user-jp6ny5sw1w 君にとって12は24の倍数なのか、、、
与式は、（17^n－13^n）（13^n－7^n）と書ける。
それぞれn乗差の因数分解が出来るので、前半は常に4の倍数、後半は常に6の倍数。よって、常に24の倍数。
あ、あと、nは非負整数じゃないとダメよ。
二次ばかり考えて因数定理を忘れてました
±1、3代入してみたけど出ないから諦めた。とけません
全く同感です
数学のトレーニングとしてはいい問題だけど、模試としては質低いなって思っちゃう。
f(x)=与式として、f(0)=-3, f(1)=22だから0
6:15 係数が同じになるってどういうことですか…?
q＝3とかはなぜだめなんですか？
q=3,s=-1はq=-1,s=3と同じだから
考える必要ない
整数係数の因数をもつ。 4 次式を P(x) とおくと
P(±1)≠0 ,P(±3)≠0 より整数係数の 1 次式を因数にもたない。つまり，( 1 次式)×( 3 次式) にならない
よって P(x) は ( 2 次式)×( 2 次式) となる。 P(x) の定数項が -3 であることから
P(x)=(x^2+ax+1)(x^2+bx-3) または P(x)=(x^2+ax-1)(x^2+bx+3) のいずれかになるのはひと目のサービス問題
与式が(二次式)×(二次式)で因数分解できるときのp.q.r.sの値を求めたあと、逆の確認は要らないのでしょうか？
展開した結果の係数を比較してるから、①②③を満たすことを示せば、逆が成り立つことは自明
東大理三は別格ですね。数学者になった方が良さそうな。医師としては勿体無いきがします。あまりに聡明すぎますね。
ガウスの補題よりQ上可約ならZ上モニックな(1次)(3次)or(2次)(2次)がとれるから終わり
この問題では与えられた多項式がZ上可約なことを仮定しています。
そこから具体的な係数を求める問題なので、何も終わってはいません。
仮にZ上可約という仮定がない場合でも、基本的にまずはZ上での既約性を考えるでしょう。
そうするとこの問題では同じ答えが出てきます。当然、C[x]はUFDですからそれが唯一の解であるという保証もされます。
ではあなたの主張はいつ役に立つのか考えてみました。それは与えられた多項式がQ上既約であった時です。Z上の既約性の次に、Q上の既約性を調べる必要がないことがわかるため時短になります。
ただし、そのような問題では整数係数の多項式のR[x]における既約性を見なければいけません。その苦労に比べれば上にあげた時短などチリのようなものです。
既約性云々よりも可約なら(1次)(3次)or(2次)(2次)が取れることが保証されるため係数比較っていう容易な計算で終わり、当たり前の発想であって閃きを欲してないということを伝えたかった次第です。
確かにZ上可約ならガウスの補題とかはどうでもよかったですね、申し訳ないです
自分が受験生の頃にユーチューブあったらなぁ…
今の子が羨ましい。
f(-1+√2i),f(-1-√2i)=0 より因数定理を用いて
(x²+2x-1)(x²+7x+3)と解けそうですね🤥
共通テストの因数分解で詰んだ時は逆算してこのやり方よくやる
東大受験生ならできて欲しい
これ得点源になる問題な気がするけど平均点低いなー夏の模試かな？？
これゴールには絶対たどり着くから、記述で「最終形に１次式は含まれない」を証明するが真の問題のように思える。
これなんで（x-a）（x-b）（x^2+cx+d）じゃだめなんですか？３次式は含まれないってだけで２次式が２つと確定する理由がわかりません教えてほしいです。😅
その場合も(xの二次式)(xの二次式)で表せますよね?今回はこれ以上因数分解出来ないってだけです
x-a(aは整数)の形の因数が存在しないから
「３次式は含まれない」って言ってるけど
そこはポイントじゃない
因数分解って案外盲点だったのかもね…まさか東大模試で出るなんて、みたいな
コメ欄天才多い
中学生でも解けるって結構な皮肉よな
でも中学生でも解ける？問題は基本工夫なりなんなりで楽しいことが多いと思う
青チャでちょうど今日似た問題した気がする
いつもお世話になってます。
ひとつだけ、お願いがあります。今後の動画についてもお願いしたいことです。
サムネに条件（整数係数）って書いてくれや……頼みますわ……
その条件、解く上で自分で設定するやつじゃないですか？間違えて見てたらごめんなさいですけど
最初挨拶の時えんじょーあいって聞こえるのぼくだけ？
3条の項を消して2条導師の差を作ってもOK
対称方程式使った
中央値は何点ですか？
二つの二次式で置くと展開したあたりで部分点があるのでなければ。
4人中20点が1人で0点が3人、中央値は0点
部分点があるなら最初の部分点が中央値かな？
記述も数行で終わる
Twitterで見かけた解法なんだけど
とりあえずxに10を代入してみる
↓
20587、素因数分解して7*17*173
↓
おそらく119(=7*13),173の分解に対応している…？
↓
(X^2+2x-1)(X^2+7x+3)でやってみたら合うのでこれが答え
素因数分解えぐ
記述式で問が「因数分解せよ」だったら答えだけでもいいんじゃないかなー
部分点狙えなくなるけど
あるいは実際に展開して「ほら一致するよ」とするとか
もちろん受験生には勧められないｗ
すっげぇ、楽しい…
やっぱ数学って気持ちいいよなぁ
理転したのが高３の夏とちょっとだけ遅かったけど、こんな問題が解けるのならしてよかった
こんな問題をもっと解きたい
クリックさせるためだろうけど、サムネで整数係数に言及しないことで受験生の時間を奪ってることを理解してんのか？受験生のこと何も考えてないんだろ？
全部のコメントにハート付けてるのが気持ち悪いよな
こんだけ言われてるのに直さないのマジでどういう感覚なのか気になる
p,qはp>q>1である整数で,(2p-1)/q,(2q-1)/pがともに整数である(p,q)の組を求めよ．
解けそうで解けなく、解けなさそうで解けちゃう面白い問題でした。いかがですか？
(2p-1)=qm,(2q-1)=pn ( mとnは、m > nの正の整数 )とおける。4p-2 = 2qm = m(pn+1) だから、 p = (m+2)/(4-nm)。
これが正の整数だから、nm = 3または2または1または0
m>nで両方が正より、以下の場合しかない。
m=3,n=1の時 p= 5, q = 3
m=2,n=1の時 p= 2, q = 3/2 で非成立。
ぐはっ
サムネに整数係数って情報かいといてちょーだい
±1、±3代入で0にならないので2次式×2次式。
(x^2+ax+3)(x^2+bx-1)=0
展開して元の式と係数を比較
a+b=9
ab+2=16
-a+3b=-1
第一式と第三式より
a=7,b=2
これは第二式を満たすので答えです。
(最初のa,bの式で定数項は-3、+1もあるがこれでやると第二式が成り立たない。)
こういうのって記述どうするんだろ
@@user-mm1no1mb3y
仮定が誤りだったので結論として「不適」と書き、次に、別パターンを示せばいいと思います。
「最初のa,bの式で定数項は-3、+1もあるが」のところですが、与式を眺めて、係数や定数項の絶対値を比べて ＋3 にしておいたほうがよいと考えました。
もし、係数の ＋16 が －16 であったら ( －3 , ＋1 ) の組合せを選びます。
@@Choetsu-suu-pさん。
それもいいですね。
@@Choetsu-suu-pさん。
見通しが付けば正解の組み合わせで解いた方が速いですね😊。
ただし、因数の定数項の組み合わせは2通りあるので、なぜ片方のみにしたのかを説明する必要があります。もし、説明が上手くできない人は、2パターンを解いて示せば説明になります。
文系爺だけど、１分で考えついたやり方は同じだった。
こういう問題の方が好きです。東大志願者って、こんな簡単な問題も解けない方が多いのですね…
ちょっとしたメモで解けるのに
秒殺でしたｗ
これは完全初見じゃちょっときついかな？
逆の発想ができるかどうかって、結局経験値の差なんだよね。
数学は主さんの仰る通りセンスではない。
高次式の場合因数定理を前提とした問題が多いが、それは解けるように作ってあるだけ。
4=1+3=2+2って単にそれだけの話なのだが...
x⁴-8x³+24x²-32x+5=0を解けって問題が解けない人は、解法にこだわりすぎの可能性あり要注意。
これも簡単なんだが...
しかしこれもまた、解けるように作ってあるだけ感が否めない問題ですねえ
（ｘ－２）＾４＝１１
解けて良かった❗「解けない子」に入っちゃったらどうしようかと思ったワイ。
x＝2tと置いて、両辺16で割って、4乗完成ですね。
これができれば1完ってこと？？
フェラーリの公式を使おうかと思いましたが、そこまでやる必要無かったです。
私はもう40歳のおじさんですが、パスラボの動画はほとんど全部見て、今が数学力人生一だと思います。現役の高校生は、このような素晴らしいコンテンツを利用できる環境が本当に羨ましいです。
価値のある夏休みを過ごしてください。
カルダノの公式は実践的ではありませんが、フェラーリの公式はまだ実践的です。
変数変換により3次の項を消して、2次の項の値を調節して平方完成する方法です。
標準問題精講にも例題として載っていたはずです。
年齢なんて関係ない気がします。一度模試とか受けてみてはどうでしょうか。
@@user-xm2ul7tt4k 模試は受けていませんが、数検1級を受けています。なかなか受かりませんが汗
△数学はセンスじゃないよ
◯受験数学はセンスじゃないよ
◎受験数学はセンスも必要だけどセンスは磨けるよ
別に因数分解の一意性が成り立つこと前提に答えだけ1行で書いても20点貰えるよね？
まず素因数分解できたとしたらx^0の項は±1ｘ±3しかありえねーし、後はX^2の係数だけa,b,と置いて連立方程式といたらおしまいじゃん、ってすぐ式作ったけれど、2次方程式の解の公式忘れてて計算できなかったorz...そう言えば昔理Ⅰに受かったことは思い出しました。
x⁴+9x³+16x²-x-3
とりあえず
±3と±1いれてダメだったから
2次式×2次式ってことがわかって
(x²+ax-1)(x²+bx+3)
(x²+ax+1)(x²+bx-3)
の2択になって
3次と1次の係数で連立方程式ができるから
とりあえず前者から得られた
連立方程式解いたら
a=2とb=7って出てきて
代入したら2次の係数もビンゴ
(x²+2x-1)(x²+7x+3)
後者は試してない
点数もらえるかは知らん
展開すれば証明できるぞ
最悪ラマヌジャンみたいにこれは展開すると一致するって書き方でも問題ないはず
因数分解の一意性から1つ見つければいいんじゃない？
@@sdgrebjt8598 一意性解の一意性であって二次式では使えない。例えばx(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+x)(x^2+5x+6)=(x^2+2x)(x^2+4x+3)=(x^2+3x)(x^2+3x+2)となる。一度複素数解を用いて一次式の積に因数分解してから整数係数のものを示す方法なら一意性を満たしてることになる。
@@ライ麦
うーん、それを示す必要はないと思うな
因数分解できるとすれば二次式×二次式であることが必要条件である時点で与式が因数分解できるとすれば共役な2組の複素数解をもつから実数係数での因数分解は一意に定まる気がするんだが...
@@sdgrebjt8598 確かに複素数解のみの場合は一意だけど、”自身と掛けても足しても実数になる複素数は共役複素数以外に存在しないことを示せ”を自明で済ませるのは少し厳しいと思う。
部分分数分解みたいだね