【大学数学】g(f(x))が恒等関数かつf(g(x))が恒等関数でないは、ありえ【微分積分】C09
Vložit
- čas přidán 14. 05. 2024
- 今回内容の記事版（note版）は こちら
note.com/sugakunosu/n/nd916c1...
シリーズの前の動画：
• 【大学数学】(ゼロ)の(ゼロ)乗が無限大は、...
シリーズの次の動画：
• 【大学数学】f(f(f(x)))が恒等関数か...
===== 動画教材 =====
オンライン動画講座プラットフォームLekcha
lekcha.com/
スクール「すうがくのす」
www.app.lekcha.com/school/2f0...
講座「微分積分１」
www.app.lekcha.com/lp/a7d326f...
講座「線形代数１」
www.app.lekcha.com/lp/632e992...
===== 紹介ブログ =====
note「すうがくのす」
note.com/sugakunosu
記事「大学数学 動画講座スクールのお知らせ」
note.com/sugakunosu/n/n6a77df...
作った例のアイデアくらいは書いておいたほうが分かりやすいのかと思っていますが・・
fは、実数全体の中の[0,1]の部分に隙間を作る([1,∞)の部分を+1だけずらす)ような関数で
gは、fによってできた隙間を逆向きにずらしてつぶすような関数。
fをやってからgをやると、fによって作られた隙間がgでつぶされてidに戻るが
gをやってからfをやっても、gによってつぶされた（単射ではなくなった）ところに後でfを施しても元には戻らない。
のようなイメージ。
逆関数ならなんでもいい？
まず条件を整理します。
(0)前提条件(f(x),g(x)は実数全体で定義される)。
(a)任意の実数xでg(f(x))とxが等しい。
(b)ある実数xでf(g(x))とxが等しくない。
f(x)とg(x)の候補を3組挙げますが、いずれも不適です。
[1] f(x)=x, g(x)=x.
(0) 成立. (a) 成立. (b) 不成立.
[2] f(x)=arcsin(x), g(x)=sin(x).
ただしarcsin(x)は、sin(x)の定義域を-π/2以上π/2以下に
制限したものの逆関数.
(0) 不成立(arcsin(x)が実数全体で定義されてない).
(a) 定義域(-1以上1以下の実数x)で成立.
(b) 成立(f(g(π))=f(0)=0).
[3] f(x)=log_e(x), g(x)=exp(x).
ただしlog_e(x)は正の実数xで定義される底eの対数関数で, exp(x)はeのx乗.
(0) 不成立(log_e(x)が実数全体で定義されてない).
(a) 定義域(正の実数x)で成立.
(b) 不成立(任意の実数xに対しf(g(x))=log(exp(x))=x).