Integrali doppi in coordinate polari .Matrice Jacobiana
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- čas přidán 11. 09. 2024
- Integrali doppi con il cambio di variabili in coordinate polari e cenni sulla matrice jacobiana .
Spesso è conveniente adoperare un cambio di variabili quando si presenta un integrale doppio con un dominio e/o una funzione integranda apparentemente complesso/a .
La scelta delle nuove variabili dipende da caso a caso , ma in questa lezione ci proponiamo di presentarvi il cambio di variabili utilizzando le coordinate polari .Il cambio di variabili ci porterà sempre ad un nuovo integrale doppio dipendente da nuove variabili e un nuovo dominio isomorfo a quello vecchio .Si tratterà quindi di risolvere sempre un integrale doppio , ma molto più leggero rispetto l'originale .
La matrice Jacobiana riveste un ruolo fondamentale nel cambio delle suddette variabili e forniremo un breve cenno teorico a tal proposito .
In definitiva il cambio di variabili corrisponde a quello che chiamavamo il metodo di sostituzioni per gli integrali di una funzione ad una variabile .
Alla fine propongo due integrali doppi con livello di difficoltà tipico dei normali esercizi proposti nei temi di analisi matematica .
#salvoromeo #integralidoppi #coordinatepolari
INTEGRALI DOPPI IN COORDINATE POLARI
00:00 Teoria
06:22 Cambiamento di variabile
11:58 Cambio di variabili mediante le coordinate polari
20:24 Esercizio 1
35:20 Esercizio 2
Professore, non so come ringraziarla.
Ho 26 anni e ho ripreso i libri in mano da poco con l'intenzione di finire un percorso che iniziai anni e anni fa.
Ricominciare da solo non è facile e spesso i professori/l'università lasciano "indietro", quasi abbandonato a se stesso, chi per cause personali si è allontanato da un percorso di studi.
Tra i molteplici video su youtube, soprattutto sulle coordinate polari, in cui non si capisce letteralmente una mazza e non fanno altro che ripetere nozioni teoriche tranquillamente fruibili sui libri, Lei mi ha dato fiducia nella possibilità di poter superare DA SOLO quest'esame.
Spiega in un modo chiarissimo, con tutta la calma del mondo fa arrivare concetti che altri professori faticano a spiegare come si deve.
Sarà il mio punto di riferimento per quest'esame.
Grazie ancora, le auguro ogni successo possibile al quale Lei ambisce.
Grazie per il bel messaggio .Mi fa piacere che ha intrapreso i suoi studi .Che i miei video si stiano rivelando utili è un valore aggiunto in più per me .Ancora nella playlist analisi 2 e anali 1 mancano diversi video ma nei mesi prossimi gli argomenti mancanti saranno sempre di meno .
Tanti auguri per il nuovo percorso di studi che ha intrapreso
professore la ringrazio infinitamente, lei è la persona che spiega meglio che io abbia mai visto su youtube.
Sono io che ringrazio te (e tutti gli utenti dalla comunity del canale ) per la scelta e la fiducia verso i miei contenuti didattici .
Buona permanenza nel mio canale .
Professore, grazie a lei ho passato l'esame di matematica per la facoltà di Architettura. Infinite grazie e complimenti per il suo lavoro!🍀
Grazie a Lei per aver scelto la mia didattica .Onorato e lieto di essere stato utile (anche parzialmente ) .
Buona continuazione per quanto riguarda il Suo piano di studi .
Grande professore , riuscirebbe anche a trattare quelli tripli . Grazie per tutto ciò che fa per noi . Per Quelli come me che sono studenti lavoratori lei è di forte aiuto
Buongiorno Andrea , certamente che ci saranno .Sono previsti nel programma
Che dire lei mi salva la vita ❤
Le suggerisco per rendere più analitico possibile. Dire che. Quando facciamo il cambiamento di variabile ponendo x=Ro-Cos(teta) e y=Ro-Sen(teta), basta sostituire nel dominio ricavare Ro e teta:
Per esempio, in questo caso, la prima disuguaglianza permette di determinare Ro, la seconda permette di determinare teta.
Nella seconda disuguaglianza, bisogna considerare due disuguaglianze in cui si ricava tangente di tata Maggiore o uguale a 1 e con la seconda disuguaglianza Tan(teta) è minoro di radice di 3 il tutto considerando che x è positivo quindi troviamo un e uno solo intervallo.
Salve prof, le scrivo per chiederle cortesemente una spiegazione sul perché nel primo esercizio se l'integrale di 2cos(teta)sin(teta) lo calcoliamo per sostituzione per esempio u=sin(teta) dà come risultato sin^2(teta) mentre con la formula di duplicazione del seno che ha utilizzato lei viene in maniera diversa, portando a due risultati finali diversi.
Bel ripasso, avevo ormai dimenticato come si risolvessero. Farà anche delle lezioni sulle equazioni differenziali?
Buonasera .Ho già rilasciato due video (diversi mesi fa ) sulle equazioni differenziali a variabili separabili cercando tutte le soluzioni di prima, seconda e terza specie .Con il tempo cercherò di coprire tutti gli argomenti ma ci vuole solo tempo .
Grazie per il gradimento 🙂
Interessante, ma forse ero distratto e non ho capito come hai determinato l'intervallo di Ro quando hai detto che è compreso tra zero e pigreco/2
Buongiorno , spiegarlo a parole è un po' complicato ma ci provo .
Dal punto origine , la distanza minima (anche la massima ) varia in base all:angolo di osservazione quindi dipende dall'angilo di osservazione .Ad esempio se guardiamo lungo la direzione dell'asse x.(angolo uguale a zero radianti ) la distanza minima è 1 mentre la massa è 2 .se osserviamo lungo la direzione pigreci/4 la distanza minima non è più uguale ad 1 , bensì 1/(sen(Pi/4) +cos(pi/4) ) e analogamente per la distanza massima .Tutto dipende dalle disequazioni che definiscono il dominio di integrazione .
Capena, 18/08/24
Salvo, sicuramente mi sbaglierò a causa dei miei 82 anni ma, nell'esercizio finale, - poiché “talvolta sonnecchia anche il buon Omero” - prendi in considerazione che il risultato ZERO da te ottenuto dovrebbe essere errato, perchè:
a) la funzione è definita nell'intervallo finito preso in considerazione, b) il differenziale è esatto e conseguentemente il risultato dovrebbe essere un numero positivo e non nullo; c) la funzione ln (costheta+sentheta) - poiché l'argomento del logaritmo è composto da due funzioni di theta - dovrebbe avere come derivata 1/(costheta+sentheta) *-sen^2theta+cos^2theta e. semplificando, il differenziale sarebbe semplicemente (costheta+sentheta)*dtheta, nettamente diverso dall'integrale, da te preso in considerazione, c'è sicuramente qualcosa che non torna: tu saprai sicuramente dirmi dove sbaglio.
prof in questo caso si poteva usare il teorema di tonelli e scambiare l'ordine di integrazione ?
Grandeeee🎉❤
Buongiorno, complimenti per i suoi video, molto chiari ed utili.
Le chiedo solo una precisazione nel primo esercizio: il 15/4 davanti all'integrale dove va a finire? grazie ancora e buon lavoro
Buongiorno Laura La ringrazio per il commento .Il coefficiente è stato dimenticato per colpa mia .Se ci fa caso al tempo 34:56 in alto a sinistra compare per alcuni secondi una scritta "moltiplicato per 15/4" che evidenzia la mia dimenticanza durante le riprese video .
La ringrazio tanto per aver segnalato l'imprecisione .Quando in fase di montaggio mi accorgo di tali imprecisioni le riporto con un messaggio in sovraimpressione .
Buona giornata 😊
@@salvoromeo urca! Scrivendo, mentre ascoltavo il suo video, mi ero persa la scritta! Errore mio, grazie e ancora buon lavoro :)
mi scusi professore, ma al minuto 38:40 nel sistema dove effettua il cambio di variabile non dovrebbe aggiungere anche, rispettivamente, Xo e Yo?
Buonasera Luca , La ringrazio per il commento .Ho omesso di mettere xo e yo dal momento che questi corrispondono alla coppia ordinata (0,0) e quindi il riferimento è nell'origine degli assi .Per tale motivo ho evitato di scrivere x=0+r*cos(tetha) e y=0+r*sin(tetha )
molto bello questo video
La ringrazio .Mi fa piacere che il contenuto sia stato utile e che sia da spunto per affrontare altre tipologie di esercizi simili .
Prof. Scusi, ma quando ha detto logaritmo iperbolico voleva dire naturale vero?
Buonasera .Si è una nomenclatura alternativa .Il logaritmo naturale si può anche chiamare "iperbolico " o "neperiani " .
Chiarissimo grazie mille ❤
ma come è possibile che il risultato del secondo integrale sia zero, insomma l’area è completamente definita in un intervallo positivo ed è chiaro dal disegno che abbia una dimensione
Buonasera , non si tratta di un intervallo ma di un insieme .Non deve guardare solo il dominio di integrazione , ma anche la struttura della funzione che a causa della simmetria del piano bisettore rende possibile il risultato zero .
Tanto per fare un esempio semplicissimo, anche anche l'integrale da 0 a 2pigreco della funzione sen(x) è zero , nonostante la funzione sia delimitata con l'asse x da una regione di area finita .
Beh che dire la ringrazio, e complimenti ancora per la professionalità
number one
Scusi Professore cosa ha motivato la Sua scelta del cambiamento di variabili in coordinate polari? Perche non ha provato il camio classico tipo u+v ?
Certamente .In generale quando il dominio è un cerchio o una porzione di esso la scelta delle coordinate polari è la più adatta anche se non è sempre così (metto le mani avanti ) .
Tuttavia nel secondo esercizio (il più interessante ) sebbene il dominio di integrazione non sia un cerchio o una sua parte ho preferito usare le coordinate polari poiché nella funzione integranda figura la somma di due quadrati che richiama molto un 'equazione di una circonferenza .Tale scelta può sembrare non instintiva (vista la struttura del dominio ) ma semplifica notevolmente la funzione integranda come hai modo di vedere .Meglio avere una funzione integranda leggera e soffrire un po con il domino piuttosto che avere un dominio di integrazione semplice e trattasse in seguito un integrale con una funzione integranda complessa e magari non facilmente integrabile .
Per esercizio (è istruttivo farlo ) prova a risolvere l'integrale senza eseguire alcun cambio di variabile .Magari arriverai al risultato , ma al prezzo di una complessità di calcolo più elevata .
Potrei magari considerare u=x+y e v =x-y o viceversa , ma devo controllare se la funzione integranda diventi gestibile o meno in termini di integrazione .
So che per messaggio è difficile far capire un concetto ma in poche righe ho fatto il possibile .
@@salvoromeo Lei è stato chiaro. Grazie. Ho capito che se il dominio presenta una forma parametrizzabile notevole come l'elisse e le sue varianti, è meglio utilizzare le coordinate polari. Grazie mille.
professore scusi, ma nell'ultimo esercizio è normale aver ottenuto come risultato zero o c'è stato qualche errore di calcolo?
Buongiorno il risultato è zero , lo vede anche dalla simmetria del dominio rispetto la bisettrice ma questi è un discorso più lungo e entra in gioco anche.ls struttura della funzione integranda .
37:38 in che senso il dominio verrebbe suddiviso in due parti ? grazie
Certamente .Per x€[0,1) la y varia tra -x+1 e -x+2 mentre se x€(1,2] la y varia tra zero e -x+2 .Dovrei svolgere quindi due integrali separatamente .Con le coordinate polari si fa tutto in una sola volta .
non ho capito bene in base a quali ragionamenti si prende o il dominio normale di teta o il dominio normale di ro. qualcuno potrebbe rispiegarmelo?
Se teta è compresa tra due costanti spesso conviene prendere come dominio normale quello in teta, salvo casi in cui anche ro varia tra due costanti, in quel caso credo sia indifferente prendere l'uno o l'altro.
grazie
salve e complimenti, non mi è chiaro come capire l'angelo per il dominio. perché al secondo esercizio abbiamo preso pigreco mezzi?
Buongiorno , poiché dall'origine degli assi il dominio è visto da un angolo compreso tra zero e l'angolo retto .come si vede intuitivamente dalla figura .