FACTORISER au maximum 2x³ + x² - 13x + 6
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- čas přidán 25. 07. 2024
- 🎯 Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras résoudre 💪 : hedacademy.fr
Dans cette vidéo on apprend à factoriser un polynôme après avoir découvert une racine évidente.
On démontre au passage la propriété :
Si a est racine d'un polynôme P, alors P est factorisable par (x-a).
Autrement dit P(x) = (x - a)Q(x) avec Q un polynôme.
On factorise également en utilisant Delta, chose que l'on fait assez rarement.
⬇️ Lien vers la vidéo "On divise des polynômes" ⬇️
• ON DIVISE DES POLYNÔMES !
............ Plan de la vidéo ............
00:00 Intro
00:55 Astuce sur une racine évidente
01:15 Montrer que 2 est racine
02:04 Propriété sur la factorisation de polynômes
02:53 Démonstration de la propriété
05:47 On factorise par (x-2)
09:11 On factorise avec Delta
12:13 Morale de la vidéo
T'écouter est très agréable. Tu as l'air de faire comprendre les choses avant que tu les exprimes... c'est l'excellence de la pédagogie. Bravo et merci pour ce moment de plaisir !
C’est avec vos video qu’on voit qu’un bon prof fait toute la différence, si j’avais eu un prof comme vous, j’aurais sûrement été une monstre en math
Qu'est-ce qu'il est agréable à suivre ce gars !
Merci beaucoup de prendre ton temps pour nous expliquer ❤❤
On ne peut pas être plus clair vraiment masterclass👍👏
Quand j'ai étudié cette matière, le prof faisait souvent le lien avec le graphe de la fonction, ce qui aidait aussi à comprendre (1 solution = l'endroit où la courbe traverse l'axe des "x"). Merci pour cette super vidéo!
Super vidéo comme d'habitude ! J'avais trouvé le même résultat ! 👍 Continuez comme ça, les concepts sont très intéressants car ça change un peu des cours, mais les méthodes nous permettent de gagner du temps donc c'est cool 😉.
Encore merci,
C'est clair, précis, dynamique et stimulant.👍
Bravo , tes cours sont très agréables et vivants !
Vous êtes superbe , vous me rappeler mon ancien prof de maths au bac prof. Benchekroune, je me rappelle tjs ces méthodes, il étais fort et gentille, avec lui on adore les maths.
j'ai réussi ! même si j'ai déterminé la factorisation par (x-2) un petit peu différemment -> (x-2) (ax²+bx+c) : On développe tout et on obtient ax^3+bx²-2ax²+cx-2bx-2c alors on factorise de la manière suivante ax^3+(b-2a)x²+(c-2b)x-2c Ainsi on trouve la valeur de b et c grâce à un système car on sait que a=2 (forcément) Super vidéo sinon !
Bravo
Vous êtes les meilleurs mathématicien que je connaît
Tellement clair ! Bravo !
Magnifique. Allez je subscribe, ça fait des piges que j'avais pas vu tout ça
Bravo. C'est la quatrième vidéo que je regarde jusqu'au bout et c'est vraiment bien expliqué et surtout joyeux. Très agréable les mathématiques comme cela.
Bravo. C'est magique les nombres...
😍 merci pour ce retour, il fait très plaisir 😁
C'est top. Merci. 👍
Excellent ! J'apprécie vraiment cette approche pour expliquer les maths en général. Je vais en parler à ma fille qui est en 5ème.
Merci beaucoup pour ce travail de pédagogie agréable à écouter, continuez comme cela! Bravo
T'es le meilleur prof merci bcp
Merci bcp 10/10 les explications
Trop bien !
C'est assez drôle c'était le sujet de mon DM plus démonstration dans le cas général et j'ai découvert cette vidéo après mon dm. Et j'ai bien réussi en plus assez fier de moi.
Merci professeur !
Sensationnel.
C'est vrai que dans ce raisonnement c'est presque évident comme solution.
J'aurais, personnellement pas su par quel bout le prendre merci
Merci pour la démonstration j’avais jamais compris
Très bien !
Encore merci
Ça m'a plu :-)
Merci bcp 💯💯
Excellent. J'avais oublié ce a(x-x1)(x-x2).
waaa la méthode était hyper instructive, merci !
perso j’ai résolu ça avec beaucoup de chance, c’est-à-dire que j’ai fait +x-x derrière, comme ça on obtient 2x^3+x^2-x-12x+6 qu’on factorise partiellement en x(2x^2+x-1)-6(2x-1)
on se sert ensuite de delta comme dans la vidéo puis cela nous permet de refactoriser, etc. Pour tomber sur (2x-1)(x+3)(x-2) :D
Merci pour l’astuce😄
La division polynomiale c'est magique
En effet niveau augmente un peu mais la démonstration est à la hauteur ..😊 merci
Merci tu ne fais rappeller les maths du lycée.
Merci infiniment
merci grand
Très joli.
Merci énormément
Lumineux
Juste 👍👍👍
Merci beaucoup, c'est une notion que je n'avais pas bien compris en cours. Un élève de Tle C
delta est telment plus simple pour la forme canonique merci pour tes enseignement
Bravo
Pour diviser le polynome par (x-a) il y a une excellente méthode qui s'appelle la grille de Hörner. Ça facilite beaucoup les factorisations en touts genres.
Effectivement c’est beaucoup plus facile
j'hesite a savoir sur l'ensemble des videos si c'est un cours de 5e ou math sup... ceci dit, c'est tres agreable a regarder, je prends un vrai plaisir a me rememorer plein de trucs :)
Ce n'est pas un cours de 5è car j'ai appris à résoudre les équations du 2nd degré en 2nd
@@xaviersoenen4375 moi aussi ! j'ai joué aux approximations avant :)
"Ça fait réfléchir le cerveau" ... MDR !!! Ne vous y trompez pas, je suis un fidèle ;)
😃
j'adore
Vous êtes presque comme nous au programme , cette leçons on l'a finis aujourd'hui 😃
t es en quelle classe
est-ce-que si mon reste est supérieur 0 quoi que je fasse, alors que j'ai trouver la bonne racine je fait comment ?😭😭
À la fin j’ai redistribué le 2 sur le x-1/2 pour obtenir (2x-1)(x+3)(x-2). Je trouve ça plus élégant 😊
Oui mais on perd du coup un peu la lisibilité sur le fait que -1/2 est une des 3 racines
C'est plus élégant, mais du coup, la valeur du x qui annule cette patenthèse, "saute moins bien", à l'oeil ;-)
Attention quand même à 1:38 si on se trompe de priorité on n'obtient pas 16.
Toujours présent ça fait plaisir. C'est vrai merci !
Wsh y’aura ça au bac ?!?!?
Très clair, très précis. J'aime beaucoup ta manière de faire "ressentir" la solution. Un peu comme Euler.
Il y a même un gag à 3'22" 😂😂
Si par exemple j'utilise la méthode de canonique ça va marcher ?
Merci beaucoup ♥️
Vous pouvez faire un autre vidéo de factorisation de degré 4 et 2 avec une constante mais sans X3 (dans un seul équation)🙂
Avec plaisir. 😊 Il y en 2 qui arrivent de degré 4, j’espère que l’une te conviendra 😉
@@hedacademy je vous remercie ♥️💯
Facile avec un changement de variable X = x2
@@karymchbihimoukit7241 Oui on appelle ça une fonction / un polynôme bicarré
J'ai la même méthode sauf que je trouve les coef a,b et c de Q(x) par identification en développant (x-Re)Q(x). Ca serait sympa une vidéo pour nous expliquer comment résoudre lorsqu'il n'y a pas de RE :)
idem j'ai fait aussi par identification, pour ne pas faire comme le maître ;)
Il y a la formule de cardan quand on ne trouve pas de racine évidente
C'est beau, j'en pleurerai. 🤣
Merci prof, j'ai tout compris.
Si, si.
Par contre, COMMENT VOUS FAITES, VOUS LES MATHEUX, POUR VOUS SOUVENIR DE TOUTES CES FORMULES ???
Moi, sorti des 3 identités remarquables, ....🙄
Si j'avais à faire des calculs régulièrement, j'aurais forcément une "feuille de pompe".
Je vais faire rire les jeunes : pas sûr que cette expression soit encore au goût du jour. 🤣🤣
En plus, lors de ma scolarité, je suis pratiquement sûr, qu'on ne m'a jamais incité à rechercher une racine évidente.
De même l'histoire que si la somme des coefficients directeurs est égale à 0, alors 1 est solution, on ne me l'a jamais dite. On m'aurait menti ??? 😄
En tous cas, maintenant je sais comment, et pourquoi on peux factoriser par (x-a).
Je peux faire le malin.🤪🤪
Haha, je crois que les jeunes de nos jours appellent plutôt ça une "antisèche" x)
@@voltirussk4608 C'est vrai : c'était déjà le cas à la fin de ma scolarité.
En ce qui concerne le "théorème" disant que si la somme des coefficients est nulle alors 1 est racine, remarque juste ceci : quelque soit l'exposant de x, en remplaçant x par 1, on obtient toujours 1. Ce qui revient à additionner les coefficients.
@@cyrilduby3390 Merci Cyril.
"Mais bon dieu, c'est bien sûr", tu as raison.😉
magnifique....lol
L'astuce pour les racines évidentes est de tester les diviseurs du dernier terme (aussi bien positifs que négatifs).
En effet, si une racine de ce polynôme est un nombre rationnel alors elle vérifie nécessairement : le dénominateur divise le coefficient du terme de plus haut degré et le numérateur divise la constante.
Ici, valeurs possibles au numérateur : -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 et valeurs possibles au dénominateur : 1 et 2 (aucun intérêt de prendre les négatifs ils sont au numérateur déjà)
Donc ensemble des racines rationnelles possibles : {-6 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; -3/2 ; -1/2 ; 1/2 ; 3/2}
Et oh miracle, les trois racines trouvées ici sont dans cet ensemble !
@@MrChompenrage , il suffit même d'en trouver deux et d'en déduire la troisième.
Question : peux t'on aprtir sur la base que x=21 ... il y une infinité de nombre comment montrer que x=2 ?
Il existe un théorème qui stipule que si un polynôme de degré n à coefficients entiers admet une racine rationelle de la forme p/q où p et q sont premiers entre eux (autrement dit si la fraction p/q ne se simplifie pas) alors p divise le coefficient de degré 0 (ici 6) et q divise le coefficient de degré n (ici 2). Les seules racines rationnelles possibles sont donc 6,3,2,3/2,1,1/2 et leurs opposés. De manière générale il n'est donc jamais nécessaire de tester des nombres plus grands que le coefficient de degré 0.
@@afuyeas9914 Le problème c'est lorsque les racines ne sont pas rationnelles
Chance, le 2 fonctionne comme solution évidente (je l'ai testé parce que je ne voyais pas quoi faire d'autre). Ensuite effectivement une (simple) division de polynomes (on voit ça en 1ère) et on tombe sur une équation du 2° degré où, là encore par chance, delta est un carré parfait (49). C'était vraiment le polynôme miraculeux. Ensuite ça devient facile et on obtient (x-2)(x+3)(2x-1)
Maintenant je regarde la vidéo...
Vidéo terminée. J'ai vu que le 2 restait dehors... Bon, ok. Moi j'aimais bien le rentrer car il éliminait facilement 1/2...
Les divisions de polynômes ne sont pas au programme du lycée. Si tu l'as vu c'est en approfondissement.
@@MrChompenrage Elles ne sont peut-être plus au programme mais quand j'étais en 1ère S, je les ai bel et bien vues (ceci dit, je ne saurais dire si c'était "officiel" ou "en cadeau du prof"). D'ailleurs je ne vois pas trop pourquoi elles ne sont pas au programme car c'est franchement pas compliqué (j'ai plus morflé avec les asymptotes obliques qu'avec les divisions de polynômes)...
je l'ai toujours dit, les maths sont pleins de dommages collatéraux. (et le premier, c'est moi) 🙂
Bien vu!
Ça serait-il pas plus parlant avec des courbes?
Bonjour monsieur désolé de vous déranger je voulais savoir si 2 la racine de P(x) était remplacé par -2 comment ça serait 🙏🏻
ça ferait 2(x+2)(x-1/2)(x+3) comme factorisation, vu que l'expression de base serait 2x^3+9x^2+7x-6 (sauf erreur). Mais c'est moins 'facile' de penser à -2, on essaie souvent 1, 2, 3.
J'ai un petit problème dans votre démonstration. En quoi y a-t-il contradiction ? 0 est bien une constante.
Mis à part ce petit désaccord sémantique, gg l'exercice.
Avec vos vidéos, je suis persuadé que de nombreux « hermétiques » aux maths ne le seraient pas….
Celle là, elle elle est belle !
On peut aussi le factoriser par la méthode indéterminée
1:11 : incroyable que des 1 pour le timing et se tromper et dire "ce n'est pas zéro" au lieu «de ce n'est pas un» ! :D
Et si on applique la méthode de tartaglia...??
Pourquoi ne pas passer par plus simple(x-2)(axcarré+bx+c), puis identifier les coefficients après développement et pour le x puissance zéro, le mieux le faire inhiler dans le c du polynôme du 2eme degré.
2x^3 + x^2 - 13x + 6 =
(x - 2)(2x^2 + 5x - 3) =
(x - 2)(2x - 1)(x + 3)
La division des polynômes s’effectue exactement comme une division normale, sauf que l’on est en base x au lieu d’être en base 10. Autrefois, on apprenait la division au CM1. Aujourd’hui j’ai vu des élèves de terminale S incapables d’en effectuer une sans calculatrice, bienheureux s’ils connaissent leurs tables de multiplication. On ne peut leur en vouloir de ne pas connaître ce que l’on ne leur a pas enseigné. Quand le smartphone remplace les neurones !!!
On peut aussi pour trouver 2 comme racine utilise le theoreme des racines évidente.
Mdr le théorème des racines évidentes, c quoi ça frérot
@@LouisLeCrack dix secondes sur wikipédia, tain y'en a ils sont vraiment feignants quand il faut apprendre...
@@42ArthurDent42 mdr c une technique pas un théorème, je sais évidemment ce que c’est
@@LouisLeCrack non, c'est un théorème, basé sur le lemme de Gauss...
Sa c'est pour quel classe?
En fait, votre division par compensation revient exactement à une division euclidienne sauf qu’elle fait moins peur.
Qu'y a-t-il dans un nom ? Ce que nous appelons rose, par n'importe quel autre nom sentirait aussi bon….comme dirait Shakespeare🤪
Perso, j'aurais plutôt supprimer la fraction : P(x)= (x-2)(2x-1)(x+3) ^^
J'aimerai qu'on m'explique une chose. Pour factoriser, il faut une racine, or la racine c'est quand le polynôme = 0, mais si la racine est pas évidente, on fait comment ?
Si c'est de degré 2, tu fais delta, si c'est de degré 3 tu peux t'en sortir avec la méthode de Cardan et si c'est de degré 4, ça fonctionne avec la méthode de Ferrari. Au delà du degré 4, les choses se compliquent pas mal...
(x-2)(2x-1)(x+3)😀
on pourrait redévelopper le 2 pour avoir que des entiers
P(x) = (x-2)(x+3)(2x-1)
C'est plus joli et c'est entièrement factorisé
C'est plus joli certes mais la forme la plus factorisée est celle de la vidéo : (coefficient directeur)*produit(X-racines)
@@Fyoken tu fais apparaitre les racines au détriment des nombres entiers ce qui est dommage, et 2x-1=0 n'est pas plus difficile a résoudre que x-1/2 = 0
@@vinceguemat3751 Non c’est pas dommage, faire apparaître le produit de X-racines est judicieux, si on commence à faire au cas par cas quand ce n’est plus entier, à quoi servent les théorèmes ? De plus le coefficient dominant est très important pour un polynôme, c’est mieux de le mettre en avant
On est juste pas d'accord sur ce qu'on appel entièrement factorisé, les deux solutions sont bonnes, ce n'est qu'une question de préférence
@@vinceguemat3751 Non, la forme factorisée d’un polynôme est unique à l’ordre des facteurs près (tu peux écrire les produits de X-racines dans l’ordre que tu veux) mais le coefficient dominant est toujours en facteur, j’invente pas les définitions, c’est littéralement la forme « la plus factorisée »
J'aimerais savoir
2x^3 +x^2 -13x+6= (2x-1)(x-2)(x+3) , ne serait pas mieux?
La forme factorisée d'un polynôme s'écrit (coefficient directeur)*produit(X-racines) donc non faut laisser le 2 dehors
oui proffeseur vous faites une confusion entre diviseur et dividende, diviseur signifie celui qui divise tandis que dividende signifie le nombre qui est divisé
Oui et professeur, c'est 1 f et 2 s...😀
wouah ...bleufant
Je trouve que 2 n'est pas vraiment évident. Si on ne sait pas que c'est 2, il ne me vient pas l'ídée de le tester...
Il teste systématiquement 1, 2, -1, -2 pour voir si c'est une des racines du polynôme.
Il appelle ça "solution évidente" parce qu'ils les essaient systématiquement, sans savoir a l'avance si ça va marcher.
attention à ces confusions permanentes entre diviseur et dividendes
Euh comment dire !!!. No comment عبدالرحمان😊 au plaisir de voir tes videos
Bonsoir à vous, comment factoriser un polynôme de degré 3 s'il n'y a pas de racines évidentes
@@bernardsimo5706Tu appliques la méthode d'identification. Tu forces la factorisation avec un diviseur de degré 1 en introduisant des lettres:
Le polynôme = (x - a)(2x^2 - bx - c)
Ensuite tu développes et réduits le produit:
2x^3 -(2a+b)x^2 - (c-ab)x + ac
Puis tu identifies les cohéficients devant chaque puissance de x (ça marche car il y a unicité des cohéficients quand tu égalises 2 polynômes):
2a+b = -1
c-ab = 13
ac = 6
Tu obtients alors un système d'équations qu'il faut résoudre pour déterminer la valeur de a, b et c. Après les calculs tu trouves:
a = 2
b = -5
c = 3
D'où le polynôme = (x - 2)(2x^2 +5x -3)
Puis tu factorises le quotient qui est de degré 2 par la méthode du discriminant car il n'y aura toujours pas de racines évidentes.
Avec tous les mélanges de chiffres pas étonnant que nos jeunes ne savent plus compter
Y = 2x³ + x² - 13x + 6
2 est une racine du polynôme Y donc Y est factorisable par x-2
( 2x³ + x² - 13x + 6 ) / ( x - 2 ) = 2x² + 5x - 3
Delta = 5² - 4 × 2 × 3 = 49
2x² + 5x - 3 a deux racines : -3 et ½ donc
2x² + 5x - 3 = (x + 3)(x - ½)
Y = (x - 2)(x + 3)(x - ½)
Vérification :
Y(2) = 2 × 8 + 1 × 4 - 13 × 2 + 6 = 16 + 4 - 26 + 6 = 0
Y(-3) = 2 × -27 + 1 × 9 - 13 × -3 + 6 = -54 + 9 + 39 + 6 = 0
Y(½) = 2 × ⅛ + 1 × ¼ - 13 × ½ + 6 = 0,25 + 0,25 - 6,5 + 6 = 0
Edit : Je me suis fait arnaquer avec la constante devant le x³
ma réponse n'est évidemment pas bonne…
Et le polynôme P(x)=2x³-5x²-x+6
J'avoue j'ai réussi mais j'ai pas cherché la racine évidente, j'ai pris Cardan, ce qui m'as fait résoudre l'équation avec les différentes solutions que j'ai facto.
J'en ai un de problème :
Un gars saute de 2m.
Nous cherchons à savoir qu'elle est sa vitesse lorsqu'il touche le sol sachant que sa vitesse initial est de 10km/h lorsqu'il chute de 20cm.
Sa vitesse augmente de n% tel que 20n= distance en centimètres.
(En gros je sais pas si je me suis bien exprimé, mais ma loi est régis par Un = (Un-1)*((1+n)/100), U1 = 10. Combien vaut U100).
U100 = 5*101! /100^99
@@michelbernard9092 d'accord avec cette réponse, mais je ne comprends pas le lien entre le problème et la loi en question...
@@cyrilduby3390 Moi non plus, le texte de l'énoncé m'a semblé abscons. Aussi n'ais-je traité le problème qu'avec la définition de la suite.
P(x)=(x-2)(2x-1)(x+3) serait plus jolie. N'est-ce pas ?
Il faudrait définir ce que tu appelle "joli" en maths 😅
Il a voulu rendre visible les racines dans les facteurs. Pour x-a la racine est a alors que pour ax+b la racine est -b/a ce qui est moins évident.
@@martin.68 😀 ah! d'accord.
slow down bro :))))))???
Mauvaise vidéo. Si on trouve pas de racine évidente ?
Ça n'est pas une mauvaise vidéo, il faudra juste t'y prendre autrement en la calculant.
Prof bonsoir , comment vous envoyer un message et avoir la réponse ?
Racine évidente, vues les prémisses : 2. The End.
Si par exemple j'utilise la méthode de canonique ça va marcher ?