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天才たちが何百年もかけて何世代にもわたって考えてきた考え方を教科書で学べるってすごいことなんやなって
高校の数学授業でこれ見せれば一発じゃね？すごい
普通に極限は習うし、たいてい理解してるでしょ。難しくも何ともないし。
理解出来ないヤツもたくさんいるんだよなぁ…
実際センターで微分係数を求める問題が出てきて、ほとんどの受験生が見事に死んだよね。この概念を分かっていなかったからだ。
bereko YKT ほんとそれですよね。微分の問題を解けるが理解していない
@@semiconYKT 当時の受験生やで公式の理解に徹してたからちょちょいのちょいやったわ
これ高校2、3年生の勉強が不十分な人に見せてあげたいね、私も浪人してから初めて本当に｢微分とは何ぞや｣ってことを理解したから、正確に理解させるためにはこんな映像を使うのも良いよなぁまぁ黒板で十分だけどさ
凄い良く作られていて、見やすく、視聴者の事を考えていると感じました。
イプシロンデルタの説明じゃないのか……あと、lim[h->0] hのことを、「hを0にするという意味なので」と解説するのは強引なのでは。それまでせっかく「限りなく」って言葉を何度も使って説明してきたのに、最後の計算のところで「0にする」って言われたら、勘のいいガキからすると「え？？さっきまでの議論は？？」って混乱すると思う。でも視覚的に見やすい動画で、数学に苦手意識がある人には良さそうな動画ですね。応援してます。
Kitaro Taniguchi 勘のいいガキは流石に草
ハガレンじゃん
え？だからなんで0になるの？（勘のいいガキです）
ファフロッキーズ 錬金術師兄貴オッスオッス
たしかに少し雑だね
アニメーションが本当にわかりやすかったです。ずっとモヤモヤしていた部分だったので助かりました🙇♂️✨
哲学は好きなんだけど数学嫌いなワイ、ライプニッツなど哲学者が数学も極める人多い理由が少し分かった気がする、終わりがなくて追求する感じが楽しいんだろうな
初めて見ましたが、これかなりわかりやすいですね。授業に取り入れられるかもしれないレベルで。
これ考え出されたのまじすげえ
はあ？ この説明ではニュートン・ライプニッツの時代から何一つ進歩していないのだが、何が言いたいんだ。
数学者沸きすぎィ！
知ってはいたけどこれを高校の時に見とけばよかったと後悔している
高校は解き方と理論さえ頭に入ってれば点数取れるやろ
点数とるための勉強じゃなく理論を知ることを高校の時に重要視したかったって話よ
そうゆうことね確かに高校では原理の説明が少ないからね
いまからでも遅くないんじゃない？
高校生のわい、勝ち組。尚、馬鹿高校な模様
やべえ わかりやすすぎてやべえ(語彙力)
極限というか、微分積分を勉強して数学に目覚めた。
5:25あたりの「h=0なので」っていうのは少し危ないかもしれません(´･_･`)確かに計算上は0とみなしますが厳密には「限りなく0に近づける」なので
「接線」とい言っているので必ず２つの点を通らないといけない話が、この動画だと肝心な所で「接点」にすり替わっちゃうから皆さんが違和感を持つんですよね。「点」と見做せるくらいに限りなく近接しているが、あくまでも「線(直線)」である以上２点を通るから傾きが確定します。そこで出てくる実数の連続という性質。どんな微小な区間abをとってもあ～ら不思議、その区間abをac,cbと２分割(均等じゃなくてもいい)出来る点ｃが存在するという。実数領域に於いて２つ点で構成される区間には、その区間を分割する任意の点が見つかってしまう。やっぱ、εδが登場しないと納まりが着かんのでは？！という話。この手の話には近付ける方向に依存して異なる結果を齎すという変態関数・・・ もとい特殊な関数も存在するのだし雑な話は出来ない所だよね。
@@gale_straits2695 こんな大昔のコメントに突っ込むのもどうかとは思うのですが、それは連続性ではないですね…
すげえわかりやすいw
数学って金のかからん趣味だな 一生やって鉛筆と紙代だけだｗ
秋月紅一 あと莫大な脳の消費分のエネルギーも。
厳密には今は数学といえどコンピューターが必要なので鉛筆と紙代だけってわけにはいかないが、それでも他の研究分野に比べてコストは低いのは確かだね。
秋月紅一 世界に一番役に立つ趣味ですね
本当に好きな人はそういう次元でやってないからね
てか最悪、鉛筆と紙無くなっても土という全く金がかからないものと、枝を折るという、地球環境と道徳的に良くないことをすればいい話。
高校生になったらまた見に来ます
びっくりするほどわかりやすい
哲学ですよね。日本（に限ったことかわかりませんが）では、暗黙裡に伝達されるのが「考えるな。マニュアルとして丸呑みして、使え。」ですね。今の大人を称する人は、学校で習うことなんて…といいながら、あっさりこれに毒されてしまった人たちですね。
理学部ニキ「は？全然厳密の説明ができないやん！どうしてくれんのこれ？ε-δとε-n論法の説明が聞きたかったの！」工学部ニキ（ワイ）「極限とか曖昧で誤魔化しても結果にそんな支障ないからパパっと計算して、終わりっ！」
flybreee 淫夢厨は天才気味
こんなとこにもホモいるんか…
文学部ワイ「最大って最もでかいのになんで極めるん？漢字わからんの？ん？」
すごいな高校入って1年で理解できるようになったわ。最初は本当に何言ってるのかわかんなかったのに。数学もっと理解したくなる
動的な見せ方が絶妙、すげぇ分かりやすい！
教員になった時、参考にしたいのでグラフ等の動画編集ソフトはなにを使っているのか教えてください！
数学者たちの極限の努力が無限の可能性を見いだしたということですね!
お願いだから、誰か中1にも分かるように説明して。高2だけど
バカな発言しか出来ない頭の悪いサバ なるほど 馬鹿な自分でも分かりました。ありがとうございます
バカな発言しか出来ない頭の悪いサバ オイラー以上の天才だな
zoid schi 成る程どちらもおっぱいが好きなんだなぁ
@@ぺぺろんちーーーーの なるほど二個あるから2xなのか
このコメ欄将来有望なやつしかいなくて草
全然厳密やないやん。ニュートンの編み出した文字を「ゼロなのかゼロより大きいのか曖昧」と冒頭で言っておきながら、それはないやろ。
最強にわかりやすい
んー解決してなくね？"限りなく近づく"ということを数学的に表現しないと。つまりε-δ論法の説明をしないといけない。
初っぱなはこれでok
最初のほうの説明では点Bは点Aに限りなく近づくけれども重ならないと言いながら、後半の極限の計算ではhに0を代入している、つまり点Bを点Aに重ねているw高校範囲ではどうしてもそこら辺が誤魔化しになり曖昧ですなw
微分の最初の方の証明の書いてあるやつですね！あのとき理解するのに大変な時間がかかりました。この動画でイメージさえ掴んでいれば十分な話だったのに...
う～ん・・・ lim h が0でいいってとこに論理の飛躍を感じてしまったｗ h→0
関数が連続か不連続かを考えないと、limh→a＝aになるかわからないからそこが大切でしたね。
中学でも理解できるくらいわかりやすい
ここでε-δのような厳密な定義付けをすると数学アレルギーの初学者たちは一気に離れていくだろうからこういう極限がどういうものなのかぼんやりイメージさせる動画は必要よね
数学って本当に美しいよな
きたないお前並みに
@@user-ok2ou1iu5t 見たことも無い人間を批判するその小さな脳みそが1番汚い。
とってもわかりやすい！
分かりやすい。ありがとうございます。
めっちゃわかりやすかった！！
皆さんわかりやすいとおっしゃいますが、自分は2+h⇔2h+h^2/hなので①h=0のとき分数が0なのでアウト②hが限りなく0に近いとき2+h≠2って思ってしまいます。まだ習っていないので極限の概念とかよく知らないのですが、hが0でないのに2+h=2としていいのでしょうか？それとも近似ですか？近似ならそれはそれで厳密ではない気が？
極限とは代入ではなくその名の通り極めて近い値に近づける操作です。0.1より0.01それより0.001とやっていけばいくらでも0に近い値にできますがどれも0ではありません。よって分数は定義することができます。そのため①は問題ありません。続いて②に関してですがhを0に近づける操作によってh＋2を他のどの数よりも2に近づけることができます。例えば2.001という2にとても近い数を考えた時hを0.0001とすれば2.001よりも2に近い2.0001を取ることができます。このように2にどれだけ近い数に対してもさらに近い数を取れます。このためhが0へ近づくときのh+2は2となります。まとめると0ではないから分数が定義できる、2とh+2の間に他の数が存在しないからh+2は2といえるといったかんじですかね。0であって0でないというような使い分けが確かに難しいですが極限を考えることがどの計算でどのように影響するかに慣れていけば理解できるようになると思います！
@@user-km8vx4mg4v 最近極限を学びまして、２と極限値の２は別物という結論に至りました。お騒がせして申し訳ないです。
19世紀に発明された極限についてニュートンが言及している。テキトー。。
極限や微積分で興味を持てるか持てないかで数学に対する印象が変わると思う。
これって限りなくじゃなくて、重なった場合はどのように解決するんでしょうか？未解決問題？人間には認知できない要域なんですかね
重ならない🐸
とても助かった。ずっと前から「0＝∞」の問題に突き当たり、何とかならないかと思っていた。一つの大きな問題が『解決』し、とてもすっきりした。ありがとう。
導入は大変素晴らしいと思いますが極限に対して誤解があるようです。動画で述べられているようにlim[h→0] を「hを限りなく0に近づける」操作とみなすと、hをいくら0に近づけたところで0にはならないのでlim[h→0] h = 0とはなりません。現代的な極限の解釈ではlim[h→0] f(h)は「hを0に限りなく近づけたときにf(h)が”近づく先の値”」のように定義します。
なるほど、なるほど、そういうことだったんだね。
分かりやすい
ライプニッツは能力の高さと後世に与えた影響が釣り合ってないと言われている。すんごい天才
面白い動画です。鼓舞されました。
hを限りなく0に近づける事と、hを0と考えてしまう事の違いが分からない。
noriwon h=点同士の距離だから、h=0として考えると重なってしまうため0に限りなく近いと表現しているってことかと
ライライム それは分かるんですけど、無限に小さい事にぶつかってそれに対する答えが限りなく0に近いって事をあっさり0ってしてしまうと、何の為に無限に小さい事に対して悩んでたのか意味がなくなるような気がするんですよね。数学の素人としては……。
noriwon 0を代入するのはそっちの方が都合が良いかららしいのですが、それだと今まで悩んできたのは一体なんだったのか⁉ってなりますね(笑)力になれなくてすみません…
数年前のコメントに失礼します笑。私はいま高1なので微分なんて全然触れたこともないですが、傾きを求める時にhで割れるのはhがゼロではないからで、後々hをゼロにできるのはほぼゼロみたいなもんだからだと思いました。「hをゼロに近づける」という言葉の都合のいいとこだけを汲み取ってるみたいな…？
@@noriwon 分母に0になるのを回避出来るからな気がする
ライプニッツの時代にはdyやdxや∫をむき出しで使っていたんだよ。ルイリエが極限limを導入したのが第一次厳密化コーシーがεδ論法を導入したのが第二次厳密化アブラハム・ロビンソンによって超準解析が導入されて、無限小というもの自体が正当化される。
おもしろかったです。
文系で物理さえ習ったことない私が見てもおもしろい動画。
2:22 このグラフで点Ａが（１．１）に見えていないのが残念。
凄くクオリティ高い編集で、見やすくて分かりやすかったけど、結局「限りなく近い」がどういうことなのか中坊には納得できなかった。こういう矛盾(?)があると、ニュートンの時点で数学ミスってるんじゃないかと思っちゃう。
限りなく近いことに意味があるんじゃなくて、「限りなく近づけて」いったときに、ある値に近づいていくならそれを極限値として定義しようってことです。接線の傾きが知りたいなら、2点間の距離を限りなく近づけていって、そのときの傾きが近づいていくのが接線の傾きとして求められるわけです。
わかりやすっ
もっと厳密に極限から0になる瞬間と言う概念は無いのですか？数直線上で言うマイナスの領域に向かう点Aの説明はどう考えればいいのでしょうか？虚数域に入る瞬間っていったい何なのでしょうか？
3年前のコメントに失礼します。もう解決済みのことかもしれませんが補足しておくと、マイナスと虚数は全く別の概念です。
@@ぴお-s4g はい！ご丁寧にありがとうございます。解決しておりますm(_ _)m
@@ks2951 ま、、まさか返信が返ってきて驚いております！！笑よかったです！！
授業でこういうビデオ見せたら面白そう。
数学には分野が分けられていて、それぞれに担当があって、極限という分野の管轄内ではh→0のときhは0ではないが、極限の管轄外では小さすぎて意味をなさないから0と見なして良い、っていう解釈で良いのかなlim()は極限の管轄内ということを示す記号だと思ってる噂に聞くε-δ論法とか早くやってみたいなー
hは限りなく0に近づくのであって0になってはいけないのでは？詳しい方教えてください
この解説は高校生対象ですよね。ですから極限の説明（定義）に使用するグラフは断りもなく滑らかな（正確には微分可能な）曲線であることを前提にして、hを小さくする事のみに限定して解説してます。この前提ではhは結果的に0になっても問題は起きないんです。よく、極限の問題で単純にh=0とすると0/0になるケースがありますが、一例として整式/整式の場合、よく見ると分子分母を共に0にしてしまう共通な因数があり、約分できてしまい、残りはh=0としても値が定まることがありますね。この先にはへんてこな関数が登場して来るのでその場合は注意が必要です。この先、本当に厳密な極限を理解したいのなら他の皆さんの言う通りε-δ論法が必要になります。ちょっと長くなりましたm(_ _)m
これだけだとかなり曖昧な定義
めっさわかりやすいやん。
これhに0代入してるし、=でいいのかな。なんかしっくりこないな。極限まで0に近づくのであって、0ではないのでは…。
これって高校でやるんですか？
え、待ってめっちゃわかりやすい先生になって
高校の頃授業で見たかったー
できるようなってから原理を学んでくのが中高の数学だと思ってるので、こういうのを中高からやれってのは無理ある気がする中高の6年間でいちいち歴史的背景までやってたら数ⅡBまでしか終わらないんじゃないか…？あ、もちろん動画は最高に分かりやすくて家庭教師先で見せておいた
εδ論法の説明かと思ったら全然違くて草
中学生だからよくわかんないけどなんか面白い
1:311:59🌟4:29
数学は当時の人々の考え方を学ぶことだよ！
ちかっぱ分かりやすい！！！
大学に入って忘れてたけど数学って面白かったわ
やんまい fランかよ
中2だけど楽しめましたナレーションがおもしろい！
コメント欄、数学科の人間が文句垂れてばっかりで草。高校時代は数学が一番好きだったけど、化学科行って正解だったわ。
なめらかな曲線の接線って一点で接するんやないの？点でくっつくとグラツク？
東十条鶫 重なった点は１つの点と同じものだよね？１つの点を通る直線は無数にあるから重なったら接線以外の直線も条件を満たしてしまうからに点が重なってはならない。
面白かったです！
うわもっと前に見とけばよかった、政経受験にしたわ
じゃあ俺は今ニュートンと同レベな訳だ
こういうの好き
ああ！！だからtanθが∞なのか！！！
コーシー以外何言ってるか分からなかったw
マクローリンも分かる
「点Bが点Aに限りなく近づくとき、直線は接線とみなせる」の部分がわかんねぇ…重なってないなら接線とちゃうんちゃうか？
創一誠 鋭い。そのとうり。しかしそれを説明するにはε-δ論法というのが必要になる。これは極限の定義だ。柔らかくいうと接線のような直線より、より接線らしい直線が引けて、それよりもより接線らしい直線が引けて...以下繰り返しこれによっていくらでも接線らしい直線が引ける。すると、これは接線と一致する。厳密な定義は調べてくれ。
内海航 おお。丁寧にありがとうございます！
極限の説明はライプニッツが1番しっくり来そう分かる気はしないが
接線って美しいな
限りなく近づくってどのくらい近づいてるの？
サムネに出てくる偉人の皆さんは名前になっている公式の分野、専門の分野がバラバラだ。
クッソ丁寧な編集すきなんかコメ欄に難癖つけてマウント取ろうとしてるやつがチラホラいて草
おもちまんじゅう いや実際説明足りないよ高校生に説明する動画なら十分だと思うけど
わかりやすく厳密にって教え方が一番大事だと思いますよそれこそε-δ論法をここで詳しくわかりやすく説明できればもっと視聴者が増えたと思いますもっとも高校で微積を理解できなかった人向けにはいい動画だと思いますが
いや、高校で微積わかんなかった一に挟み撃ちの定義説明しても無駄じゃろ
Nakayama Marc 定義と定理の違いを勉強し直してからコメントしろ
次郎太郎普通に打ち間違えただけだゾ
@@youtubeasn2185 苦しすぎる言い訳で草
点が一つになることはないということか
はっきりいって意味不明好き
当時、無限小という数を使って、でたらめな定理を証明したと主張する人が多かった。それらに反駁するために、極限に対して、間違えようのない客観的アルゴリズム(つまり、ε、δ 法とか呼んでいるもの)を作った。それを「極限操作を厳密化した」と称しているんじない？
パラドクスを回避するためにはより正確で厳密なうまい定義を与えねばならない…
面白かった
数学興奮するわー
結局無限小の問題が解決してない
星蒼鉛 解決と解消は違うからな
ミルクティー どこかで見たぞ？？ww
なんとなくで思いついたんだけど、限りなく近づいてるだけなら、通り過ぎることもできないの？
小袋奨志 良いセンスしてますね。通りすぎる、と言う表現とは違いますが、左極限、右極限と言うものがありますよ🎵
小袋奨志 通り過ぎたらただの変数
厳密にとか言っておいてεδ論法に触れないという暴挙
ああ 高校生からすれば優しいが理学部学生からすればアウトな説明だよなぁ
あら素敵
最後の方のlim[h→0]h = 0に、論理の飛躍がありすぎるので、下記に証明を書いてみた。−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−「lim[h→0]h = 0 の証明」背理法で証明する。lim[h→0]h ≠ 0と仮定すると、| 0 - lim[h→0]h | > 0が成り立つ。(1)これからの議論がしやすくなるよう、| 0 - lim[h→0]h | = |a|とおく。当然、(1)よりa≠0である。次に、lim[h→0]hは、hが限りなく0に近付く事を意味するため、どんなに小さな正の数bに対しても、| 0 - lim[h→0]h | < bが常に成り立つ。この式は、どんなに小さな正の数bでも成り立つのだから、どんなに大きな正の数bでも成り立つ。言い換えると、好きな正の数bに対して、| 0 - lim[h→0]h | < bが常に成り立つ。ここで、b=|a|/2と置くと、| 0 - lim[h→0]h | < |a|/2が成り立つ事になる。|a|を元に戻して式を整理すると、| 0 - lim[h→0]h | < 0 が成り立つ事になる。これは、最初の方で書いた(1)と矛盾する。よって、一番最初に仮定したlim[h→0]h ≠ 0が誤りとなるため、lim[h→0]h = 0が証明された。
結局h=0なのだとしたら分母のhはダメじゃないのですか？
@@sachiishizato1164 分母のhとは、動画に出てくる(2h+h^2)/hの分母であるとして以下、回答。その通りです。「分母のh」は0にしてはいけません。では、lim[h→0]h=0なのに、なぜ分母のhは0にならないのかの理由を下記に記載します。************商の極限の性質として、下記が証明されています。lim[h→a] g(h)≠0の場合、下記等式が成り立つ。lim[h→a] (f(h)/g(h)) = lim[h→a]f(h)/lim[h→a]g(h)上記にも書いてありますが、等式が成り立つ条件は、lim[h→a] g(h)≠0です。そのため、lim[h→0]((2h+h^2)/h)の式を、lim[h→0](2h+h^2)/lim[h→0]hの形に変換することは、許されません。よって、分母のhを0として扱ってはいけないという事になります。*************
@@gungage1986 商の極限の計算にあたるlim...2h+h^2/hのhは0でなく、和の極限の計算にあたるlim...2+hのhは0であるということでしょうか
@@sachiishizato1164 hが0であるかどうかだけに着目してはいけません。あくまで、lim[h→0]hは、hを限りなく0に近づけるという意味です。その意味を踏まえて考えた結果、最初に書き込んだlim[h→0]h=0の証明に行き着くわけです。lim[h→0]((2h+h^2)/h)は、分母と分子にあるhを同時に限りなく0に近づける事を意味しています。その意味を踏まえて考えた結果、hで約分できるという結論となり、lim[h→0](2+h)と変形できるようになるわけです。さらに、lim[h→0](2+h)にて、hを限りなく0に近づける事を考えると、2+lim[h→0]hという式に変形してもよいとう結論になります。【補足 商の極限の性質の主張について】商の極限の性質は下記の通り。lim[h→a] g(h)≠0の場合、下記等式が成り立つ。lim[h→a] (f(h)/g(h)) = lim[h→a]f(h)/lim[h→a]g(h)左辺は、分母と分子のhを同時に限りなくaに近づけたときの極限値を意味する。一方、右辺は、分母と分子のそれぞれで極限値を求め、それを分数にした値を意味する。(分母と分子にあるhは別物として考える。)これらより、商の極限の性質の主張は、「lim[h→a] g(h)≠0であるならば、分母と分子のhを同時に限りなく近づけたときの極限値(=左辺の極限値)を、分母と分子のそれぞれで極限値を求めそれを分数にする手順で求めても良い」という事になります。
@@gungage1986 hを限りなく0に近づけた結果0になる時もあれば0にならない時もあるということでしょうか。
数学って、社会みたいにこの人がこの数式を出したんだよみたいに顔写真と共に教えてくれないから面白くないねん。ただただ役に立つかどうかも分からないものを解くのが嫌だ。
超準解析の説明がないと、εδ法では合成関数の微分では微分商では表せません。せいぜい、ランダウの記号でごまかしている教科書が殆どです(-_-)
天才たちが何百年もかけて何世代にもわたって考えてきた考え方を教科書で学べるってすごいことなんやなって
高校の数学授業でこれ見せれば一発じゃね？すごい
普通に極限は習うし、たいてい理解してるでしょ。
難しくも何ともないし。
理解出来ないヤツもたくさんいるんだよなぁ…
実際センターで微分係数を求める問題が出てきて、ほとんどの受験生が見事に死んだよね。
この概念を分かっていなかったからだ。
bereko YKT ほんとそれですよね。
微分の問題を解けるが理解していない
@@semiconYKT 当時の受験生やで
公式の理解に徹してたからちょちょいのちょいやったわ
これ高校2、3年生の勉強が不十分な人に見せてあげたいね、私も浪人してから初めて本当に｢微分とは何ぞや｣ってことを理解したから、正確に理解させるためにはこんな映像を使うのも良いよなぁ
まぁ黒板で十分だけどさ
凄い良く作られていて、見やすく、視聴者の事を考えていると感じました。
イプシロンデルタの説明じゃないのか……
あと、lim[h->0] hのことを、「hを0にするという意味なので」と解説するのは強引なのでは。
それまでせっかく「限りなく」って言葉を何度も使って説明してきたのに、最後の計算のところで「0にする」って言われたら、勘のいいガキからすると「え？？さっきまでの議論は？？」って混乱すると思う。
でも視覚的に見やすい動画で、数学に苦手意識がある人には良さそうな動画ですね。応援してます。
Kitaro Taniguchi 勘のいいガキは流石に草
ハガレンじゃん
え？だからなんで0になるの？
（勘のいいガキです）
ファフロッキーズ 錬金術師兄貴オッスオッス
たしかに少し雑だね
アニメーションが本当にわかりやすかったです。ずっとモヤモヤしていた部分だったので助かりました🙇♂️✨
哲学は好きなんだけど数学嫌いなワイ、ライプニッツなど哲学者が数学も極める人多い理由が少し分かった気がする、終わりがなくて追求する感じが楽しいんだろうな
初めて見ましたが、これかなりわかりやすいですね。授業に取り入れられるかもしれないレベルで。
これ考え出されたのまじすげえ
はあ？ この説明ではニュートン・ライプニッツの時代から何一つ進歩していないのだが、何が言いたいんだ。
数学者沸きすぎィ！
知ってはいたけどこれを高校の時に見とけばよかったと後悔している
高校は解き方と理論さえ頭に入ってれば点数取れるやろ
点数とるための勉強じゃなく理論を知ることを高校の時に重要視したかったって話よ
そうゆうことね
確かに高校では原理の説明が少ないからね
いまからでも遅くないんじゃない？
高校生のわい、勝ち組。尚、馬鹿高校な模様
やべえ わかりやすすぎてやべえ(語彙力)
極限というか、微分積分を勉強して数学に目覚めた。
5:25あたりの「h=0なので」っていうのは少し危ないかもしれません(´･_･`)
確かに計算上は0とみなしますが厳密には「限りなく0に近づける」なので
「接線」とい言っているので必ず２つの点を通らないといけない話が、この動画だと肝心な所で「接点」にすり替わっちゃうから皆さんが違和感を持つんですよね。
「点」と見做せるくらいに限りなく近接しているが、あくまでも「線(直線)」である以上２点を通るから傾きが確定します。そこで出てくる実数の連続という性質。どんな微小な区間abをとってもあ～ら不思議、その区間abをac,cbと２分割(均等じゃなくてもいい)出来る点ｃが存在するという。実数領域に於いて２つ点で構成される区間には、その区間を分割する任意の点が見つかってしまう。やっぱ、εδが登場しないと納まりが着かんのでは？！という話。
この手の話には近付ける方向に依存して異なる結果を齎すという変態関数・・・ もとい特殊な関数も存在するのだし雑な話は出来ない所だよね。
@@gale_straits2695 こんな大昔のコメントに突っ込むのもどうかとは思うのですが、それは連続性ではないですね…
すげえわかりやすいw
数学って金のかからん趣味だな 一生やって鉛筆と紙代だけだｗ
秋月紅一 あと莫大な脳の消費分のエネルギーも。
厳密には今は数学といえどコンピューターが必要なので鉛筆と紙代だけってわけにはいかないが、それでも他の研究分野に比べてコストは低いのは確かだね。
秋月紅一
世界に一番役に立つ趣味ですね
本当に好きな人はそういう次元でやってないからね
てか最悪、鉛筆と紙無くなっても土という全く金がかからないものと、枝を折るという、地球環境と道徳的に良くないことをすればいい話。
高校生になったらまた見に来ます
びっくりするほどわかりやすい
哲学ですよね。日本（に限ったことかわかりませんが）では、暗黙裡に伝達されるのが「考えるな。マニュアルとして丸呑みして、使え。」ですね。今の大人を称する人は、学校で習うことなんて…といいながら、あっさりこれに毒されてしまった人たちですね。
理学部ニキ「は？全然厳密の説明ができないやん！どうしてくれんのこれ？ε-δとε-n論法の説明が聞きたかったの！」
工学部ニキ（ワイ）「極限とか曖昧で誤魔化しても結果にそんな支障ないからパパっと計算して、終わりっ！」
flybreee 淫夢厨は天才気味
こんなとこにもホモいるんか…
文学部ワイ「最大って最もでかいのになんで極めるん？漢字わからんの？ん？」
すごいな高校入って1年で理解できるようになったわ。
最初は本当に何言ってるのかわかんなかったのに。
数学もっと理解したくなる
動的な見せ方が絶妙、すげぇ分かりやすい！
教員になった時、参考にしたいのでグラフ等の動画編集ソフトはなにを使っているのか教えてください！
数学者たちの極限の努力が無限の可能性を見いだしたということですね!
お願いだから、誰か中1にも分かるように説明して。
高2だけど
バカな発言しか出来ない頭の悪いサバ
なるほど 馬鹿な自分でも分かりました。ありがとうございます
バカな発言しか出来ない頭の悪いサバ オイラー以上の天才だな
zoid schi 成る程
どちらもおっぱいが好きなんだなぁ
@@ぺぺろんちーーーーの なるほど二個あるから2xなのか
このコメ欄将来有望なやつしかいなくて草
全然厳密やないやん。ニュートンの編み出した文字を「ゼロなのかゼロより大きいのか曖昧」と冒頭で言っておきながら、それはないやろ。
最強にわかりやすい
んー解決してなくね？
"限りなく近づく"ということを数学的に表現しないと。
つまりε-δ論法の説明をしないといけない。
初っぱなはこれでok
最初のほうの説明では点Bは点Aに限りなく近づくけれども重ならないと言いながら、後半の極限の計算ではhに0を代入している、つまり点Bを点Aに重ねているw
高校範囲ではどうしてもそこら辺が誤魔化しになり曖昧ですなw
微分の最初の方の証明の書いてあるやつですね！
あのとき理解するのに大変な時間がかかりました。この動画でイメージさえ掴んでいれば十分な話だったのに...
う～ん・・・ lim h が0でいいってとこに論理の飛躍を感じてしまったｗ
h→0
関数が連続か不連続かを考えないと、limh→a＝aになるかわからないからそこが大切でしたね。
中学でも理解できるくらいわかりやすい
ここでε-δのような厳密な定義付けをすると数学アレルギーの初学者たちは一気に離れていくだろうからこういう極限がどういうものなのかぼんやりイメージさせる動画は必要よね
数学って本当に美しいよな
きたないお前並みに
@@user-ok2ou1iu5t 見たことも無い人間を批判するその小さな脳みそが1番汚い。
とってもわかりやすい！
分かりやすい。ありがとうございます。
めっちゃわかりやすかった！！
皆さんわかりやすいとおっしゃいますが、自分は
2+h⇔2h+h^2/hなので
①h=0のとき
分数が0なのでアウト
②hが限りなく0に近いとき
2+h≠2
って思ってしまいます。
まだ習っていないので極限の概念とかよく知らないのですが、
hが0でないのに2+h=2としていいのでしょうか？
それとも近似ですか？近似ならそれはそれで厳密ではない気が？
極限とは代入ではなくその名の通り極めて近い値に近づける操作です。0.1より0.01それより0.001とやっていけばいくらでも0に近い値にできますがどれも0ではありません。よって分数は定義することができます。そのため①は問題ありません。
続いて②に関してですがhを0に近づける操作によってh＋2を他のどの数よりも2に近づけることができます。例えば2.001という2にとても近い数を考えた時hを0.0001とすれば2.001よりも2に近い2.0001を取ることができます。このように2にどれだけ近い数に対してもさらに近い数を取れます。このためhが0へ近づくときのh+2は2となります。
まとめると0ではないから分数が定義できる、2とh+2の間に他の数が存在しないからh+2は2といえるといったかんじですかね。0であって0でないというような使い分けが確かに難しいですが極限を考えることがどの計算でどのように影響するかに慣れていけば理解できるようになると思います！
@@user-km8vx4mg4v
最近極限を学びまして、２と極限値の２は別物という結論に至りました。お騒がせして申し訳ないです。
19世紀に発明された極限についてニュートンが言及している。
テキトー。。
極限や微積分で興味を持てるか持てないかで数学に対する印象が変わると思う。
これって限りなくじゃなくて、重なった場合はどのように解決するんでしょうか？未解決問題？
人間には認知できない要域なんですかね
重ならない🐸
とても助かった。ずっと前から「0＝∞」の問題に突き当たり、何とかならないかと思っていた。
一つの大きな問題が『解決』し、とてもすっきりした。ありがとう。
導入は大変素晴らしいと思いますが極限に対して誤解があるようです。動画で述べられているようにlim[h→0] を「hを限りなく0に近づける」操作とみなすと、hをいくら0に近づけたところで0にはならないのでlim[h→0] h = 0とはなりません。現代的な極限の解釈ではlim[h→0] f(h)は「hを0に限りなく近づけたときにf(h)が”近づく先の値”」のように定義します。
なるほど、なるほど、そういうことだったんだね。
分かりやすい
ライプニッツは能力の高さと後世に与えた影響が釣り合ってないと言われている。すんごい天才
面白い動画です。鼓舞されました。
hを限りなく0に近づける事と、hを0と考えてしまう事の違いが分からない。
noriwon h=点同士の距離だから、h=0として考えると重なってしまうため0に限りなく近いと表現しているってことかと
ライライム それは分かるんですけど、無限に小さい事にぶつかってそれに対する答えが限りなく0に近いって事をあっさり0ってしてしまうと、何の為に無限に小さい事に対して悩んでたのか意味がなくなるような気がするんですよね。数学の素人としては……。
noriwon 0を代入するのはそっちの方が都合が良いかららしいのですが、それだと今まで悩んできたのは一体なんだったのか⁉ってなりますね(笑)
力になれなくてすみません…
数年前のコメントに失礼します笑。
私はいま高1なので微分なんて全然触れたこともないですが、傾きを求める時にhで割れるのはhがゼロではないからで、後々hをゼロにできるのはほぼゼロみたいなもんだからだと思いました。「hをゼロに近づける」という言葉の都合のいいとこだけを汲み取ってるみたいな…？
@@noriwon 分母に0になるのを回避出来るからな気がする
ライプニッツの時代にはdyやdxや∫をむき出しで使っていたんだよ。
ルイリエが極限limを導入したのが第一次厳密化
コーシーがεδ論法を導入したのが第二次厳密化
アブラハム・ロビンソンによって超準解析が導入されて、無限小というもの自体が正当化される。
おもしろかったです。
文系で物理さえ習ったことない私が見てもおもしろい動画。
2:22 このグラフで点Ａが（１．１）に見えていないのが残念。
凄くクオリティ高い編集で、見やすくて分かりやすかったけど、結局「限りなく近い」がどういうことなのか中坊には納得できなかった。こういう矛盾(?)があると、ニュートンの時点で数学ミスってるんじゃないかと思っちゃう。
限りなく近いことに意味があるんじゃなくて、「限りなく近づけて」いったときに、ある値に近づいていくならそれを極限値として定義しようってことです。
接線の傾きが知りたいなら、2点間の距離を限りなく近づけていって、そのときの傾きが近づいていくのが接線の傾きとして求められるわけです。
わかりやすっ
もっと厳密に極限から0になる瞬間と言う概念は無いのですか？
数直線上で言うマイナスの領域に向かう点Aの説明はどう考えればいいのでしょうか？
虚数域に入る瞬間っていったい何なのでしょうか？
3年前のコメントに失礼します。もう解決済みのことかもしれませんが補足しておくと、マイナスと虚数は全く別の概念です。
@@ぴお-s4g はい！ご丁寧にありがとうございます。解決しておりますm(_ _)m
@@ks2951 ま、、まさか返信が返ってきて驚いております！！笑
よかったです！！
授業でこういうビデオ見せたら面白そう。
数学には分野が分けられていて、それぞれに担当があって、極限という分野の管轄内ではh→0のときhは0ではないが、極限の管轄外では小さすぎて意味をなさないから0と見なして良い、っていう解釈で良いのかな
lim()は極限の管轄内ということを示す記号だと思ってる
噂に聞くε-δ論法とか早くやってみたいなー
hは限りなく0に近づくのであって0になってはいけないのでは？詳しい方教えてください
この解説は高校生対象ですよね。
ですから極限の説明（定義）に使用するグラフは断りもなく滑らかな（正確には微分可能な）曲線であることを前提にして、hを小さくする事のみに限定して解説してます。
この前提ではhは結果的に0になっても問題は起きないんです。
よく、極限の問題で単純にh=0とすると0/0になるケースがありますが、一例として整式/整式の場合、よく見ると分子分母を共に0にしてしまう共通な因数があり、約分できてしまい、残りはh=0としても値が定まることがありますね。
この先にはへんてこな関数が登場して来るのでその場合は注意が必要です。
この先、本当に厳密な極限を理解したいのなら他の皆さんの言う通りε-δ論法が必要になります。
ちょっと長くなりました
m(_ _)m
これだけだとかなり曖昧な定義
めっさわかりやすいやん。
これhに0代入してるし、=でいいのかな。なんかしっくりこないな。極限まで0に近づくのであって、0ではないのでは…。
これって高校でやるんですか？
え、待ってめっちゃわかりやすい先生になって
高校の頃授業で見たかったー
できるようなってから原理を学んでくのが中高の数学だと思ってるので、こういうのを中高からやれってのは無理ある気がする
中高の6年間でいちいち歴史的背景までやってたら数ⅡBまでしか終わらないんじゃないか…？
あ、もちろん動画は最高に分かりやすくて家庭教師先で見せておいた
εδ論法の説明かと思ったら全然違くて草
中学生だからよくわかんないけどなんか
面白い
1:31
1:59🌟
4:29
数学は当時の人々の考え方を学ぶことだよ！
ちかっぱ分かりやすい！！！
大学に入って忘れてたけど数学って面白かったわ
やんまい fランかよ
中2だけど楽しめました
ナレーションがおもしろい！
コメント欄、数学科の人間が文句垂れてばっかりで草。高校時代は数学が一番好きだったけど、化学科行って正解だったわ。
なめらかな曲線の接線って一点で接するんやないの？
点でくっつくとグラツク？
東十条鶫 重なった点は１つの点と同じものだよね？１つの点を通る直線は無数にあるから重なったら接線以外の直線も条件を満たしてしまうからに点が重なってはならない。
面白かったです！
うわもっと前に見とけばよかった、政経受験にしたわ
じゃあ俺は今ニュートンと同レベな訳だ
こういうの好き
ああ！！だからtanθが∞なのか！！！
コーシー以外何言ってるか分からなかったw
マクローリンも分かる
「点Bが点Aに限りなく近づくとき、直線は接線とみなせる」の部分がわかんねぇ…
重なってないなら接線とちゃうんちゃうか？
創一誠 鋭い。そのとうり。しかしそれを説明するにはε-δ論法というのが必要になる。これは極限の定義だ。柔らかくいうと
接線のような直線より、より接線らしい直線が引けて、それよりもより接線らしい直線が引けて...以下繰り返し
これによっていくらでも接線らしい直線が引ける。すると、これは接線と一致する。厳密な定義は調べてくれ。
内海航
おお。
丁寧にありがとうございます！
極限の説明はライプニッツが1番しっくり来そう
分かる気はしないが
接線って美しいな
限りなく近づくってどのくらい近づいてるの？
サムネに出てくる偉人の皆さんは名前になっている公式の分野、専門の分野がバラバラだ。
クッソ丁寧な編集すき
なんかコメ欄に難癖つけてマウント取ろうとしてるやつがチラホラいて草
おもちまんじゅう
いや実際説明足りないよ
高校生に説明する動画なら十分だと思うけど
わかりやすく厳密にって教え方が一番大事だと思いますよ
それこそε-δ論法をここで詳しくわかりやすく説明できればもっと視聴者が増えたと思います
もっとも高校で微積を理解できなかった人向けにはいい動画だと思いますが
いや、高校で微積わかんなかった一に挟み撃ちの定義説明しても無駄じゃろ
Nakayama Marc 定義と定理の違いを勉強し直してからコメントしろ
次郎太郎
普通に打ち間違えただけだゾ
@@youtubeasn2185 苦しすぎる言い訳で草
点が一つになることはないということか
はっきりいって意味不明好き
当時、無限小という数を使って、でたらめな定理を証明したと主張する
人が多かった。それらに反駁するために、極限に対して、間違えようのな
い客観的アルゴリズム(つまり、ε、δ 法とか呼んでいるもの)を作った。
それを「極限操作を厳密化した」と称しているんじない？
パラドクスを回避するためにはより正確で厳密なうまい定義を与えねばならない…
面白かった
数学興奮するわー
結局無限小の問題が解決してない
星蒼鉛 解決と解消は違うからな
ミルクティー どこかで見たぞ？？ww
なんとなくで思いついたんだけど、
限りなく近づいてるだけなら、通り過ぎることもできないの？
小袋奨志 良いセンスしてますね。通りすぎる、と言う表現とは違いますが、左極限、右極限と言うものがありますよ🎵
小袋奨志 通り過ぎたらただの変数
厳密にとか言っておいてεδ論法に触れないという暴挙
ああ 高校生からすれば優しいが理学部学生からすればアウトな説明だよなぁ
あら素敵
最後の方のlim[h→0]h = 0に、論理の飛躍がありすぎるので、下記に証明を書いてみた。
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「lim[h→0]h = 0 の証明」
背理法で証明する。
lim[h→0]h ≠ 0と仮定すると、| 0 - lim[h→0]h | > 0が成り立つ。(1)
これからの議論がしやすくなるよう、| 0 - lim[h→0]h | = |a|とおく。当然、(1)よりa≠0である。
次に、lim[h→0]hは、hが限りなく0に近付く事を意味するため、どんなに小さな正の数bに対しても、
| 0 - lim[h→0]h | < bが常に成り立つ。
この式は、どんなに小さな正の数bでも成り立つのだから、どんなに大きな正の数bでも成り立つ。
言い換えると、好きな正の数bに対して、
| 0 - lim[h→0]h | < bが常に成り立つ。
ここで、b=|a|/2と置くと、| 0 - lim[h→0]h | < |a|/2が成り立つ事になる。|a|を元に戻して式を整理すると、
| 0 - lim[h→0]h | < 0 が成り立つ事になる。これは、最初の方で書いた(1)と矛盾する。よって、一番最初に仮定したlim[h→0]h ≠ 0が誤りとなるため、lim[h→0]h = 0が証明された。
結局h=0なのだとしたら分母のhはダメじゃないのですか？
@@sachiishizato1164 分母のhとは、動画に出てくる(2h+h^2)/hの分母であるとして以下、回答。
その通りです。
「分母のh」は0にしてはいけません。
では、lim[h→0]h=0なのに、なぜ分母のhは0にならないのかの理由を下記に記載します。
************
商の極限の性質として、下記が証明されています。
lim[h→a] g(h)≠0の場合、下記等式が成り立つ。
lim[h→a] (f(h)/g(h)) = lim[h→a]f(h)/lim[h→a]g(h)
上記にも書いてありますが、等式が成り立つ条件は、lim[h→a] g(h)≠0です。そのため、lim[h→0]((2h+h^2)/h)の式を、lim[h→0](2h+h^2)/lim[h→0]hの形に変換することは、許されません。よって、分母のhを0として扱ってはいけないという事になります。
*************
@@gungage1986 商の極限の計算にあたるlim...2h+h^2/hのhは0でなく、和の極限の計算にあたるlim...2+hのhは0であるということでしょうか
@@sachiishizato1164
hが0であるかどうかだけに着目してはいけません。あくまで、lim[h→0]hは、hを限りなく0に近づけるという意味です。その意味を踏まえて考えた結果、最初に書き込んだlim[h→0]h=0の証明に行き着くわけです。lim[h→0]((2h+h^2)/h)は、分母と分子にあるhを同時に限りなく0に近づける事を意味しています。その意味を踏まえて考えた結果、hで約分できるという結論となり、lim[h→0](2+h)と変形できるようになるわけです。さらに、lim[h→0](2+h)にて、hを限りなく0に近づける事を考えると、2+lim[h→0]hという式に変形してもよいとう結論になります。
【補足 商の極限の性質の主張について】
商の極限の性質は下記の通り。
lim[h→a] g(h)≠0の場合、下記等式が成り立つ。
lim[h→a] (f(h)/g(h)) = lim[h→a]f(h)/lim[h→a]g(h)
左辺は、分母と分子のhを同時に限りなくaに近づけたときの極限値を意味する。
一方、右辺は、分母と分子のそれぞれで極限値を求め、それを分数にした値を意味する。(分母と分子にあるhは別物として考える。)
これらより、商の極限の性質の主張は、「lim[h→a] g(h)≠0であるならば、分母と分子のhを同時に限りなく近づけたときの極限値(=左辺の極限値)を、分母と分子のそれぞれで極限値を求めそれを分数にする手順で求めても良い」という事になります。
@@gungage1986 hを限りなく0に近づけた結果0になる時もあれば0にならない時もあるということでしょうか。
数学って、社会みたいにこの人がこの数式を出したんだよみたいに顔写真と共に教えてくれないから面白くないねん。ただただ役に立つかどうかも分からないものを解くのが嫌だ。
超準解析の説明がないと、εδ法では合成関数の微分では微分商では表せません。
せいぜい、ランダウの記号でごまかしている教科書が殆どです(-_-)