Φυσικοί αριθμοί Τέλειοι Φίλιοι Πρώτοι

Φυσικοί - Τέλειοι - Φίλιοι- Πρώτοι
Οι αριθμοί δεν είναι απλώς μικροί ή μεγάλοι, ρητοί ή άρρητοι. Μπορεί να είναι φυσικοί, τέλειοι, φίλιοι, πρώτοι. Αυτοί οι αριθμοί είναι ξεχωριστοί γιατί έχουν σπάνιες ιδιότητες.
Το σύνολο των μη αρνητικών ακέραιων αριθμών ονομάζεται σύνολο των φυσικών αριθμών και συμβολίζεται με το γράμμα Ν. Είναι το πρώτο πράγμα που διδάσκεται ένα παιδί που μετρά με τα δάχτυλά του. Από ποιον αριθμό όμως ξεκινούν οι φυσικοί αριθμοί; Οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν ότι το 1 είναι μονάδα, επομένως οι φυσικοί αριθμοί ξεκινούν από το 2 που αποτελεί μία πολλαπλότητα. Κατά την εξέλιξη όμως των αριθμών οι μαθηματικοί κατέλειξαν ότι το 1 είναι ο πρώτος και συνεπώς ο περισσότερο φυσικός αριθμός από όλους τους άλλους. Άλλωστε όλοι οι φυσικοί αριθμοί μπορούν να δημιουργηθούν προσθέτοντας το κατάλληλο πλήθος από 1. Τι γίνεται όμως με το μηδέν; Ανήκει ή όχι στους φυσικούς αριθμούς; Η χρήση του μηδενός είναι απαραίτητη στο πρώτο αξίωμα της πρόσθεσης καθώς το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της. Γι’ αυτό από αρκετούς το μηδέν θεωρείται ένας φυσικός αριθμός.
Οι Πυθαγόρειοι μελέτησαν τους φυσικούς αριθμούς και εντόπισαν τους τέλειους αριθμούς. Τέλειος ονομάζεται ένας αριθμός όταν είναι ίσος με το άθροισμα των μικρότερων διαιρετών του. Τους τέλειους αριθμούς δεν τους συναντούμε συχνά. Για παράδειγμα οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί είναι οι: 6, 28, 496, 8.128 και σύμφωνα με τον Ντεκάρτ «Οι τέλειοι αριθμοί, όπως και οι τέλειοι άνθρωποι, είναι σπάνιοι». Ο Άγιος Αυγουστίνος έγραψε στο περίφημο κείμενό του Η πολιτείε του Θεού: Το έξι είναι τέλειος αριθμός αφ’ εαυτού, και όχι επειδή ο Θεός δημιούργησε τον κόσμο σε έξι ημέρες. Μάλλον το αντίστροφο ισχύει. Ο Θεός δημιούργησε τον κόσμο σεέξι ημέρες επειδή ο αριθμός έξι είναι τέλειος. Σε αναλογία πιστευόταν ότι το 28 είχε επιλεγεί από τον Θεό ως ο τέλειος αριθμός των ημερών που χρειάζεται η Σελήνη για μια πλήρη περιστροφή γύρω από την Γη. Σήμερα όμως ξέρουμε ότι χρειάζονται 27,332 ημέρες.
Λίγο πιο συχνοί είναι οι φίλιοι αριθμοί. Φίλιοι ονομάζονται οι αριθμοί που το άθροισμα των διαιρετών τους ισούται με το «φίλο» τους, όπως για παράδειγμα το 220 και το 284. Επί αιώνες αυτό ήταν το μόνο ζευγάρι φίλιων αριθμών που ήταν γνωστό. Γι’ αυτό 2.000 χρόνια πριν τα ερωτευμένα ζευγάρια αντάλλασσαν φυλαχτά με τους αριθμούς αυτούς. Ο Άραβας Ιμπν Αλ Μπάνα ανακάλυψε το δέυτερο ζευγάρι φίλιων αριθμών. Ο Ντεκάρτ το τρίτο. Όμως το 1866 ο Παγκανίνι, ένα δεκαεξάχρονο αγόρι από την Ιταλία, ανακάλυψε το ζευγάρι 1.184 και 1.210 που είχε διαφύγει από όλους τους μαθηματικούς επί 2.000 χρόνια.
Πρώτοι ονομάζονται οι φυσικοί αριθμοί μεγαλύτεροι της μονάδας που δεν έχουν άλλους φυσικούς διαιρέτες εκτός από τον εαυτό τους και το ένα. Οι πρώτοι αριθμοί είναι πολύ πιο συχνοί από τους τέλειους και τους φίλιους. Ο Πυθαγόρας και άλλοι μαθηματικοί της εποχής του εντυπωσιάστηκαν από τους πρώτους αριθμούς και έδωσαν βαθιές μυστικιστικές ιδιότητες. Ο Ερατοσθένης δημιούργησε μία μέθοδο εύρεσης πρώτων αριθμών, γνωστή και ως το Κόσκινο του Ερατοσθένη. Για παράδειγμα αν π΄ρω τους 30 πρώτους αριθμούς και σβήσω τα πολλαπλάσια του 2, του 3, του 4, του 5, του 6, του 7, του 8 και του 9, οι αριθμοί που μένουν είναι πρώτοι. Ο ευκλείδης ήταν ο πρώτος που κατάαφερε να αποδείξει το σημαντικότερο θεώρημα σχετικά με τους φυσικούς και τους πρώτους αριθμούς: κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ένα ή είναι πρώτος ή μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα ο αριθμός 72 γράφεται ως γινόμενο των αριθμών 2 και 3 που είναι πρώτοι αριθμοί. Ο Ευκλείδης απέδειξε επίσης ότι οι πρώτοι και οι τέλειοι αριθμοί συνδέονται άμεσα: Αν ένας πρώτος αριθμός προκύπτει από την πρόσθεση μίας ακολουθίας αριθμών που ο καθένας είναι διπλάσιος από τον προηγούμενό του, τότε ο πρώτος πολλαπλασιασμένος με τον μεγαλύτερο προσθετέο θα είναι τέλειος αριθμός. Χρειάστηκαν κάπου 2.000 χρόνια πριν ένας άλλος μαθηματικός ονόματι Όιλερ καταφέρει να αποδείξει το αντίστροφο: Ότι όλοι οι άρτιοι τέλειοι αριθμοί έχουν αυτή τη μορφή. Μέχρι σήμερα δεν γνωρίζουμε αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Όμως ο αριθμός 1 άρχισε να δημιουργεί προβλήματα ως πρώτος αριθμός. Έτσι πριν 300 περίπου χρόνια οι μαθηματικοί αποφάσισαν να εξαιρέσουν τον αριθμό 1 από τους πρώτους αριθμούς.
Οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν τη βάση της κρυπτογραφίας των υπολογιστών. Κυρίως δύο κατηγορίες πιο ιδιαίτερων πρώτων αριθμών: των ισχυρών πρώτων και των ασφαλών πρώτων. Ένας πρώτος αριθμός είναι ισχυρός όταν ο μέσος όρος του προηγούμενου και του επόμενού του πρώτου είναι μικρότερος από αυτόν. Ενώ ένας πρώτος αριθμός είναι ασφαλής όταν δημιουργείται πολλαπλασιάζοντας έναν πρώτο αριθμό με το δύο και προσθέτοντας το ένα.

[@elen.a.h2826]

Πολύ όμορφο βίντεο, ευχαριστούμε! ♥

[@pandg883]

Το 42 40 είναι φίλοι αριθμοι

[@stergiani]

Το άθροισμα των διαιρετών του 40 είναι: 1+2+4+5+8+10+20=50 και όχι 42
Το άθροισμα των διαιρετών του 42 είναι: 1+2+3+6+7+14+24=54 και όχι 40