@@marcelldavis6426 natürlich nicht .es muss immer vereinfacht werden um es eine leihen zu erklären . Mathe ist eine äußerst abstackte Wissenschaft . populärwissenschaftlich 100% richtig zu erklären also das hier. Ist unmöglich . Aber es kommt nahe dran
@@zykel621 das weiß ich doch nicht , aber wenn was vereinfacht wird geht das immer auf Kosten der Genauigkeit. Und weil Mathematik die genauste Wissenschaft überhaupt ist...
Einfache Aussagen der Mathematik haben es in sich. Um die beiden Sätze "1=1" und "0=0" zu beweisen und nicht als Axiome hinzunehmen, braucht's wahrscheinlich einer höchst unterschiedlichen Herangehensweise.Ingenieure und Naturwissenschaftler müssen in ihrer täglichen Arbeit höchst selten die Beweisbarkeit einer unbeweisbaren Aussage bringen, aber einen Beweis für diesen Satz habe ich nicht.
Heureka nun habe ich es! Dank Euch habe ich zwar nicht die Riemannsche Vermutung gelöst aber ein Gefühl für die Mathematik bekommen. Dankeschön und bitte weiter so!
Das würde aber ein langes Video werden, da sehr viele Konzepte erklärt werden müssten: Konvergenz unendlicher Summen/Produkte, komplexe Zahlen, analytische Fortsetzung. Und das wären nur die, die man bräuchte, um die Problemstellung zu verstehen. Will man auch die Tragweite der Hypothese skizzieren, kämen noch allerhand Konzepte über Primzahlen und deren Verteilung hinzu.
3:35 eine Primzahl ist keine Zahl die nur durch eins und sich selbst geteilt werden kann (1 ist keine Primzahl!). Eine Primzahl ist eine Zahl die genau zwei ganzzahlige Teiler hat.
Und mal wieder bereue ich es auf ein weiteres Video der Mathewelten-Reihe geklickt zu, da ich jetzt nach dem Video wieder einmal mein bisheriges Leben hinterfragen muss. Vielen Dank Arte. 😲🤔 Ps. Das Video ist natürlich Erste Klasse, es versetzt nur wie jedes Video der Reihe mein Gehirn in einen Restart-Vorgang mit langer Ladezeit.
Sehr faszinierend! Vor ein paar Monaten habe ich ein Video von TEDed geschaut in der es auch um den Gödelschen Unvollständigkeitssatz ging. Kurz darauf habe ich das Buch gekauft was ich noch vorhabe zu lesen. Mathematik mit ihrer Geschichte erzählt entfaltet einfach ihre ganze Schönheit ^~^ (Eine kurze Geschichte der Mathematik von Wolfgang Blum kann ich auch empfehlen!
Ich empfehle vor allem Professor Weitz's Video darüber. Das gibt es auf CZcams, wenn du nach den Schlüsselwörtern "Gödel missverstehen" suchst. Ich denke das wird Aufschluss zu ein paar Dingen geben, die in der Populärmathematik entweder mehrdeutig oder schlichtweg falsch dargestellt sind.
Gibt auch ein Video von Veritasium zu dem Thema, wo u.a. auf die Gödel-Codierung genauer eingegangen wird. EDIT: Das Video, das ich meine, heißt "Math Has a Fatal Flaw". (Ich weiß nicht, ob ich hier Links einfügen darf.)
Nicht nur, dass die visuellen Elemente schick aussehen und eine einfache Methapher anbieten, sie beinhalten auch noch die wirklichen Symbole und Strukturen wie bei Hilberts Stab oder dem formalen Satz im Ausrufezeichen. Das ist Liebe zum Detail und der Grund warum ihr und Arte ein auf einem anderen Level seid.
Wenn ich kaum was verstehe aber trotzdem bis zum Ende anschaue dann macht Arte mit dieser Video Reihe anscheinend alles richtig! Like ist Raus , weitermachen:)!
liebe die mathewelten folgen, vielen dank! war gerade kurz stucked bei den ich bin ein lügner, glaube ich lüge immer macht es für mich einfacher verständlich
Letztlich bin ich auf folgende Hypothese gestossen: "Mit der Ausnahme von platonischen respektive göttlichen Entitäten (wie zum Beispiel der Punkt in seiner mathematischen Definition; Länge = 0), lässt sich alles durch Interaktionen zwischen Turingmaschinen beschreiben."
@@DarkSkay wollen Sie sagen, zwei Turing-Maschinen können gemeinsam mehr berechnen als eine alleine? Das wäre ja fantastisch! Eine neue Klasse von Berechenbarkeit -> turing²-vollständig. Und das würde ja auch den Gödelschen Unvollständigkeitssatz widerlegen, wenn damit alles berechnet werden kann (Punkte und Götter ausgenommen).
@@wWvwvV Interessant. Aber viermal nein. Der Beschreibungsansatz oben ist in erster Linie reduktionistisch und konzeptuell, denn eine einzige grössere TM (respektive ein äquivalent mächtiges Berechnungsmodell) kann den selben Output erzeugen, wie ein Netzwerk von parallel laufenden, kleineren TM. Je kleiner die funktionalen Einheiten, desto besser sollten sich nicht-berechenbare Einflüsse isolieren, aber auch die rein deterministisch arbeitenden Teile bestätigen lassen. Desweiteren leben wir hierzulande unter der Herrschaft von Chronos, der die göttliche Entität der Zeit in seinen Händen hält, unermüdlich ihr Fortschreiten gewährleistet - wenn man das so, ein wenig romantisch sagen darf. Um also zeitlich gebundene Phänomene und Interaktionen zu beschreiben, könnte ein mehr oder weniger "real implementierter" Parallelismus erforderlich sein... also im Beschreibungsansatz: viele zeitgleich laufende Instanzen von TM. Threads sozusagen.
@@DarkSkay Es wäre ja denke ich auch nichts anderes als eine k-Band Turingmaschine, die aber auch nicht mächtiger ist als eine "normale" Turingmaschine. Wenn die physikalische Church-Turing-These stimmt, dürfte es sogar keine Maschine im Universum geben, die mächtiger ist, als eine Turingmaschine.
@@Gurkonier Interessant! Was bedeutet ihr Konzept "physikalische Church-Turing-These" genau und welche Folgen leiten sich daraus ab, falls es stimmt? Wie steht es zum Determinismus - also zu den anekdotischen Würfeln Gottes? Der eingangs zitierte Satz ist ein ungewöhnlicher Spagat, der eine wohl nicht falsifizierbare Aussage über die Gesamtheit aller Dinge, Entitäten, Funktionen, Qualitäten, Kategorien, Prozesse... wagt, die der menschlichen Erfahrung und Gedankenwelt zugänglich sind. In dem Kontext, der kaum breiter gefasst sein könnte, darf, aber muss sich die Aufmerksamkeit nicht auf die Diskussion lenken, ob Turingmaschine im Singular oder Plural steht - vielleicht ein "Detail der Implementierung", das jedenfalls die gewagte Kernaussage nicht wirklich beeinträchtigt. Andererseits... Leute die behaupten, unsere Welt sei eine Computersimulation, müssen sich immer wieder die neckische Nachfrage gefallen lassen, warum sie denn nie abstürtze und auf welcher Windows-Version sie laufe. Wenn man grundsätzlich von einem Zusammenspiel vieler Recheneinheiten ausgeht, eröffnet das auch die Möglichkeit, dass einzelne von diesen Recheneinheiten sich in Endlosschleifen verfangen, ihre Berechnung nicht rechtzeitig terminieren oder "logischen Unentscheidbarkeiten nachrennen" können, ohne dass dies den "stabilen" Lauf der Dinge unterbricht. Um Phänomenen wie Bewusstsein, Qualia, Wille näher zu kommen, greifen Verfechter des Materialismus manchmal gerne auf das Wort "Emergenz" zurück. Die Idee, dass aus dem Zusammenspiel vieler Einzelteile eine neue Qualität entstehen kann, die sich bei Betrachtung des Einzelteils a priori nicht ablesen, konkretisieren oder vermuten liesse. Könnte für das dynamische, zeit-gebundene Zusammenspiel vieler Neuronen ähnliches gelten, wie für das dynamische, zeit-gebundene Zusammenspiel vieler Turingmaschinen? Andererseits sehe ich nicht, wie man den Output von Berechnungen z.B. mit der Intuition über nicht darstellbare Entitäten miteinander verrechnen oder auf eine Ebene stellen könnte.
Schön, wie die Fixpunkte der Mathematik wie ein Sternenhimmel funkeln. Ist diese Metapher eine Idealisierung oder ein grundsätzlicher Charakterzug der (mathematischen) Welt?
1.) Nur für die Philosophie ist ein "bekennender Lügner" ein Problem. In der Realität weiß man/frau, dass auch Lügner "gelegentlich" die Wahrheit sagen. 2.) ARTE hätte zumindest kurz erwähnen können, dass Gödels "[modal]logischer (ontologischer) Gottesbeweis" schon an dessen Axiomen scheitert.
ich gebe dir zwar recht das GÖdels gotes beweis falsch ist da die Axiome falsch sind. Aber das diese falsch sind ist ja "subjektiv" bzw nicht logisch vollkomen durschaubar. Unter der anahme das die Axiome korrekt sind ist sogar sein ganzer beweis valide
@@mariusillmann6601: Ich gebe dir zwar Recht, dass Gödels Gottesbeweis falsch ist, da die Axiome falsch sind ..." > Dann sind wir uns ja einig. @Marius Illmann: "... Aber dass diese [Axiome in Gödels Gottesbeweis] falsch sind, ist ja "subjektiv" bzw. nicht logisch vollkommen durchschaubar ..." > Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich als mathematischer & philosophischer Laie blamiere, schauen wir uns doch nur mal sein 1. Axiom an: "Axiom 1 - Entweder eine Eigenschaft oder ihre Negation ist positiv." [wiki/Gottesbeweis#Kurt_Göbel] In der Mathematik mag der Begriff "positiv" eindeutig sein, im Alltag (in der Realität) jedoch gibt es zahlreiche oder gar unzählige "Schattierungen" & vor allem Kontext. Eine Eigenschaft die unter bestimmten Umständen als "positiv" erachtet werden kann, ist unter anderen Umständen "negativ" & umgekehrt. @Marius Illmann: "... Unter der Annahme, dass die Axiome korrekt sind, ist sogar sein ganzer Beweis valide." > Unter der Annahme, dass ich leichter als Luft bin, könnte ich ohne Hilfsmittel fliegen/schweben ;-)
So wie ich es verstanden habe, kann man einen "Lügner" zwingen, die "Wahrheit" zu sagen, wenn die doppelte Negation der Wahrheit wieder die Wahrheit ist, also nicht seitenverkehrt und wie ein doppeltes Spiegelbild. Es gibt wahrscheinlich keinen Lügner, der die Menge der wahren Sätze kennt und dann beweisbar beweisbare Lügen ausspricht. In der relativistischen Quantenmechanik gibt es auch Tunneleffekte und spin-verbotene Übergänge, aber im Hilbertschen Raum ist alles hübsch sachlich und aufgeräumt, nur Kurt Gödel bringt die notwendige Unordnung und Assymetrie.
Es tut mir leid für den schnellen Urteil über den Wahrheitsgehalt der Aussage, was @oooBASTIooo sagt ist richtig, die Implikation in der Wahrheitstafel ergibt tatsächlich Wahr für y = 1 und z = 1. Aber wie ich mir das erkläre, die haben fälschlicherweise versucht auszudrücken, dass für eine beliebige Zahl x eine Faktorisierung existiert, die entweder aus y = 1 und z != 1 oder y != 1 und z=1, aber das wäre wiederrum falsch. Also eine bessere Aussage wäre: sei ℙ die Menge der Primzahlen. x ∈ ℙ ⇔ ∃y ∈ ℕ | y = 1 ∨ y = x: (y|x) so ist glaube ich richtig
@@Mike-kq5yc Deine Umformungen sind zwar richtig und der Ausdruck ist äquivalent zu der Definition von Primzahl, die unmittelbar davor in Worten gegeben wurde. Aber trotzdem wäre (bei beiden) 1 dann als Primzahl zulässig, was nicht der absolut gängingen Definition entspricht. "Es ist nichts falsches an der Aussage" würde ich also nicht sagen.
ist eine primzahl nicht per def nur durch eins und sich selbst teilbar, ist 1:1=1 ? meine, wir hätten das so in der schule gelernt, aanfang der 80er...
@@melaniemerck1978 jain, jede Prinzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar. Das trifft zwar auch auf die 1 zu, sie zählt aber trotzdem nicht zu den Primzahlen. Außerhalb von irgendwelchen Klassenzimmern gibt es darüber auch keine Diskussion, bei Mathematik auf Uniniveau ist jedem Mensch klar, dass 1 keine Primzahl ist. Ich persönlich bevorzuge daher auch die Definition "Eine Primzahl ist eine Zahl mit genau zwei Teilern" statt dem umständlichen, aber gängigem "Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, außer der 1".
Leider wie erwartet nur für ein größeres Publikum und an manchen Stellen falsch. Sogar die Primzahldefinition in 3:32, denn die 1 ist keine Primzahl. Die korrekte Definition wäre, dass Primzahlen Zahlen sind, die genau 2 Teiler besitzen.
Das ist eine Konvention, um die 1 auszuschließen, weil man oft die Menge der Primzahlen ohne 1 braucht. Prinzahlen sind eigentlich nicht darüber definiert, dass sie genau zwei verschiedene Teiler haben.
@@CK-nh7sv oder vielleicht meintest du das , dass meine Definition genau genommen nur eine Eigenschaft der Primzahlen ist. Natürlich muss man mehr machen um präzise das Konzept der Primzahlen zu definieren, wahrscheinlich etwas mit der Primfaktorzerlegung und dem Fundamentalsatz der Arithmetik (wobei der Satz vielleicht nur wegen der Definition der Primzahlen folgt, da reichen meine Kenntnisse nicht weil ich noch nicht an der Uni angekommen bin)
das ist etwas mit unserem universum und der zeit selbst. das ist alles so lange her, wir werden niemals genau wissen wie es entstanden ist. niemals werden wir das verständnis haben diese dinge zu verstehen und richtig festlegen zu können.
Informatik-Studium 3. Semester. Man lernt alles über Gödel, die Gödelnummern, welche Sätze sich nicht beweisen lassen und warum. Hier zwar stark vereinfacht aber für den ein oder anderen sicherlich interessant :)
Schönes Video :) Anschließend noch eine Frage / Anmerkung: Ist es nicht so, dass Gödel gezeigt hat, dass formale Systeme immer entweder unvollständig oder widersprüchlich sind? Also man könnte ein vollständiges formales System definieren, allerdings wäre dies nicht in Gänze widerspruchsfrei ( -> Der Lügner mit der Pinocchio Nase), oder aber es wäre widerspruchsfrei, dann aber unvollständig (-> wie das schöne Bild mit dem nicht ganz ausgefüllten Kasten im Video zeigt).
Kleine Korrektur: Gödel hat gezeigt, dass jdes formale System, welches "hinreichend viel Arithmetik abbilden kann" (etwas unpräzise formuliert) entweder unvollständig oder widerpruchsvoll ist. Es gibt aber durchaus vollständige und widerspruchsfreie formale Systeme, z.B. Hilberts Formulierung der klassischen euklidischen Geometrie. In diesem System lässt sich im wesentlichen nur über Formen reden. Es gibt zwar einen Kongruenzbegriff, aber man kann nicht über konkrete Größen reden, deshalb enthält das System auch keine Zahlen und die Unvollständigkeitssätze greifen nicht.
Also erstens ist "kohärent" falsch aus dem Französischen übersetzt, auf Deutsch heißt es konsistent oder widerspruchsfrei. Zweitens, bei 7:48: "entweder kann die Zahlentheorie falsche Dinge beweisen, ist also inkohärent" Wenn man etwas Falsches beweisen kann, ist das System _inkorrekt_. Daraus folgt aber doch nicht die Inkonsistenz?! Insgesamt habe ich den Eindruck, dass hier (wie in eigentlich allen populären Darstellungen) Semantik (Wahrheit) und Syntax (Beweisbarkeit) durcheinandergeworfen werden. Gödels Satz handelte gar nicht von der Widerspruchsfreiheit, sondern brauchte eine stärkere Voraussetzung (Omega-Widerspruchsfreiheit). Rossers Beitrag wird hier verschwiegen. Der Gödel-Rosser-Satz lautet "wenn die Arithmetik widerspruchsfrei ist (d. h. ist eine Aussage beweisbar, dann nicht ihre Negation) dann gibt es eine Aussage, die nicht bewiesen und deren Negation auch nicht bewiesen werden kann." Das ist rein syntaktisch, geht also nur um Beweisbarkeit und nicht um Wahrheit. Der semantische Unvollständigkeitssatz ("Es gibt wahre, unbeweisbare Aussagen") folgt daraus, ist aber deutlich leichter zu beweisen. Gödel zeigte zudem (2. Unvollständigkeitssatz), dass sich die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht in der Arithmetik selbst beweisen lässt, sofern sie widerspruchsfrei ist. Dazu reichte kurioserweise sein schwächeres Resultat mit der Omega-Widerspruchsfreiheit aus. Wichtig: Falls es einen Widerspruch gäbe, könnten wir ihn in endlicher Zeit entdecken! Würden wir einen Beweis der Widerspruchsfreiheit finden, so wäre die Arithmetik widersprüchlich. Tarski zeigte zudem, dass sich Wahrheit nicht einmal innerhalb eines Systems definieren lässt. Tatsächlich kann man, wenn man ein Resultat aus der Berechenbarkeitstheorie voraussetzt, den Beweis der beiden Unvollständigkeitssätze sehr einfach durch Argumentation über Computerprogramme führen. Diese Idee scheint von Amit Sahai zu stammen, irgendwann werde ich sie mal laienverständlich aufschreiben und mich dann hoffentlich erinnern, den Link hier zu posten.
Mit Verweis auf Douglas Adams möchte ich daran erinnern, dass Gott zitiert wird mit "Man kann mich nicht beweisen!". In dem Moment, in dem Gödel ihn bewiesen hat, ist er also unmöglich geworden. 🤗🥳
"Ich", das Subjekt der Erkenntnis, das eigentlich Lebendige bin nicht einzufangen, da "Ich" immer schon grösser bin als alles, was man mir andemonstrieren kann. Das Lebendige kann niemals in der Wissenschaft auftauchen, sondern sie ist dessen Werkzeug zur Selbsttransformation. Wir erkaufen unser Wissen durch Verzichte im Denken!
kurze Überlegung zu Hillberts Hotel: der neueste Gast kann gar nicht ins erste Zimmer; weil die Person aus dem ersten Zimmer muss ins dritte Zimmer wechseln; zuvor muss aber die Person aus dem dritten Zimmer ins fünfte Zimmer wechseln; bevor aber die fünfte Person übersiedeln kann, muss erst die Siebente das Zimmer frei gemacht haben. Das heißt, wenn es unendlich viele Zimmer gibt, benötigt man auch unendlich viel Zeit um ein beliebiges Zimmer frei zubekomen, damit es neu belegt werden kann. Daraus folgere ich, dass ich in Hilberts Hotel kein neues Zimmer belegen kann.....
Deswegen wechseln auch alle Personen gleichzeitig das Zimmer. Wenn man die Orginalversion natürlich auf deine Weise verändert hättest du recht, Aber dann ist es halt auch dein Hotel und nicht Hilberts.
Ohne zu Denken, glauben wir gedacht zu haben, aber meinen, ohne recht zu wissen, was wir glauben sollen, daß das, was wir gedachten zu denken, ein durchdachtes Denken voraussetzt, und das Resultat nur noch zu Denken übrig lässt.
Ach ARTE…Ihr habt es drauf!
Ich würde mit Arte kuscheln wenn das möglich wäre 😘😅
@@homoerschoepftikus Du kannst immerhin prinzipiell mit ARTE-Mitarbeitenden kuscheln.
@@homoerschoepftikus Stell dir vor, dass dein Kopfkissen ARTE wäre.
Bin selber Mathematiker und freue mich immer wieder, wie so ein Kind, wenn ihr was neues zu Mathematik bringt :D
Ist mathematisch alles korrekt dargestellt ?
@@marcelldavis6426 natürlich nicht .es muss immer vereinfacht werden um es eine leihen zu erklären . Mathe ist eine äußerst abstackte Wissenschaft
. populärwissenschaftlich 100% richtig zu erklären also das hier. Ist unmöglich . Aber es kommt nahe dran
@@erolflyn1741Was ist denn nicht korrekt dargestellt?
@@zykel621 das weiß ich doch nicht , aber wenn was vereinfacht wird geht das immer auf Kosten der Genauigkeit. Und weil Mathematik die genauste Wissenschaft überhaupt ist...
Visualisierung der Konzepte mal wieder auf den Punkt und leicht verständlich :) bitte viel mehr davon!
warum ist Gödel verhungert?
seine Frau hat kein Essen mehr gemacht
"leicht verständlich" ist relativ... ;)
Richtig toll umgesetzt. Komplizierte Mathematik mal in greifbar zu erleben ist auch selten.
Brad Pitt: "The only rule in the fightclub, there's no rule"
Gödel: "Wait, that's paradox and undecidable"
That's not undecidable, it's simply inconsistent.
@@oooBASTIooo If consistence is consistent, it is.... inconsistent??!! 🤯
Street fighters may not care for consistency. Their range of solutions is broader than the mathematician's.
First rule of fight club is, don't talk about fight club 🤷🏼♂️
Also ich muss sagen, irgendwann hab ich echt den Faden verloren 😅😂
wann
Der war nicht schlecht.
2+2=4 😂
Einfache Aussagen der Mathematik haben es in sich. Um die beiden Sätze "1=1" und "0=0" zu beweisen und nicht als Axiome hinzunehmen, braucht's wahrscheinlich einer höchst unterschiedlichen Herangehensweise.Ingenieure und Naturwissenschaftler müssen in ihrer täglichen Arbeit höchst selten die Beweisbarkeit einer unbeweisbaren Aussage bringen, aber einen Beweis für diesen Satz habe ich nicht.
Welcher Faden? :)
Das ist ja ein Kunstwerk, wie ihr das präsentiert. Total begeistert.
Heureka nun habe ich es! Dank Euch habe ich zwar nicht die Riemannsche Vermutung gelöst aber ein Gefühl für die Mathematik bekommen. Dankeschön und bitte weiter so!
Diese Animationen sind so verdammt gut.
Bitte bitte macht ein Video über die Riemannsche Vermutung :3
Das würde aber ein langes Video werden, da sehr viele Konzepte erklärt werden müssten: Konvergenz unendlicher Summen/Produkte, komplexe Zahlen, analytische Fortsetzung. Und das wären nur die, die man bräuchte, um die Problemstellung zu verstehen. Will man auch die Tragweite der Hypothese skizzieren, kämen noch allerhand Konzepte über Primzahlen und deren Verteilung hinzu.
3Blue1Brown hat super Videos zur Riemann Hypothese.
@@lonestarr1490 immer her damit! Schaue ich mir auch 3 Stunden an
Selbiges wollte ich auch grade schreiben.
Einfach klasse, ich bin begeistert! Macht gerne mehr solche tollen Videos. 👍
Mir gefällt diese Dokureihe echt gut.
Danke Arte für diesen Beitrag und das Aufzeigen des Zusammenhangs zwischen Philosophie und Mathematik.
Ich bin von Grund auf begeistert! Vielen Dank für diese fantastische Darstellung. :)
Ich liebe dieses Format. Aber ehrlicherweise war mein Gehirn kompletter Matsch nach diesem Video 😅 trotzdem super Arbeit ARTE ❤️
Ein Video zum 5. Postulat und der nicht euklidischen Geometrie wäre mega interessant, wenn hier schon von Axiomen die Rede ist.
Bitte hört nicht auf, ich liebe diese Reihe ❤
3:35 eine Primzahl ist keine Zahl die nur durch eins und sich selbst geteilt werden kann (1 ist keine Primzahl!). Eine Primzahl ist eine Zahl die genau zwei ganzzahlige Teiler hat.
Wieder super Video!:) Diese Serie ist unfassbar gut!
Jetzt bin ich verwirrter als vorher. Trotzdem danke!
Und mal wieder bereue ich es auf ein weiteres Video der Mathewelten-Reihe geklickt zu, da ich jetzt nach dem Video wieder einmal mein bisheriges Leben hinterfragen muss. Vielen Dank Arte. 😲🤔
Ps. Das Video ist natürlich Erste Klasse, es versetzt nur wie jedes Video der Reihe mein Gehirn in einen Restart-Vorgang mit langer Ladezeit.
Sehr faszinierend! Vor ein paar Monaten habe ich ein Video von TEDed geschaut in der es auch um den Gödelschen Unvollständigkeitssatz ging.
Kurz darauf habe ich das Buch gekauft was ich noch vorhabe zu lesen. Mathematik mit ihrer Geschichte erzählt entfaltet einfach ihre ganze Schönheit ^~^
(Eine kurze Geschichte der Mathematik von Wolfgang Blum kann ich auch empfehlen!
Ich empfehle vor allem Professor Weitz's Video darüber. Das gibt es auf CZcams, wenn du nach den Schlüsselwörtern "Gödel missverstehen" suchst. Ich denke das wird Aufschluss zu ein paar Dingen geben, die in der Populärmathematik entweder mehrdeutig oder schlichtweg falsch dargestellt sind.
Fermat's letzter Satz von Simon Singh kann ich auch nur von Herzen empfehlen.
Etwas so hochkomplexes so klar zu servieren ohne es vorzukauen sondern damit zum selber denken anzuregen, chapeau. 2+2=4 .
Hochkomplex 🤣
Gut dass auch einmal so eine Thematik beschrieben wird, das beschäftigt mich schon lange.
Gödel Escher Bach ein schönes Buch.
Maximal spannend - verstanden hab ich aber trotzdem nur wenig 🙈
Ich empfehle das Buch Gödel-Escher-Bach ... sehr spannend!
Gibt auch ein Video von Veritasium zu dem Thema, wo u.a. auf die Gödel-Codierung genauer eingegangen wird.
EDIT: Das Video, das ich meine, heißt "Math Has a Fatal Flaw". (Ich weiß nicht, ob ich hier Links einfügen darf.)
So viel von dieser Reihe wie es geht
Die liebe diese Serie. Die Qualität der Videos ist wirklich der Hammer!
Diese Videos sind wirklich unheimlich gut gemacht! ☺️
Super Beitrag wieder - und mir gefällt der "Abwehrstab" von Hilbert sehr gut!!!
ich liebe dieses format, vielen dank!
Mathematik. Logisch und mystisch zugleich! Einfach wunderbar
Nicht nur, dass die visuellen Elemente schick aussehen und eine einfache Methapher anbieten, sie beinhalten auch noch die wirklichen Symbole und Strukturen wie bei Hilberts Stab oder dem formalen Satz im Ausrufezeichen. Das ist Liebe zum Detail und der Grund warum ihr und Arte ein auf einem anderen Level seid.
Wenn ich kaum was verstehe aber trotzdem bis zum Ende anschaue dann macht Arte mit dieser Video Reihe anscheinend alles richtig! Like ist Raus , weitermachen:)!
Vermutlich hat Ihnen lediglich die Musik gefallen und vlt noch die Zeichnungen.
Herrliches Video! Starker Tobak aber Klasse visuell und rhetorisch umgesetzt. Danke dafür!
Super erklärt und die Animationen sind auch toll gelungen! Gerne mehr davon!
3:34 Hat der Praktikant den Google-Übersetzer fürs Englische genommen?
lol
liebe die mathewelten folgen, vielen dank! war gerade kurz stucked bei den ich bin ein lügner, glaube ich lüge immer macht es für mich einfacher verständlich
7:22 müsste die Kodierung von G dann nicht sich selbst rekursiv enthalten, wäre also unendlich lang (sonst ist G nicht vollständig definiert)?
Einfach erste Klasse! Weiter so! Turing wäre nett!
Letztlich bin ich auf folgende Hypothese gestossen: "Mit der Ausnahme von platonischen respektive göttlichen Entitäten (wie zum Beispiel der Punkt in seiner mathematischen Definition; Länge = 0), lässt sich alles durch Interaktionen zwischen Turingmaschinen beschreiben."
@@DarkSkay wollen Sie sagen, zwei Turing-Maschinen können gemeinsam mehr berechnen als eine alleine? Das wäre ja fantastisch! Eine neue Klasse von Berechenbarkeit -> turing²-vollständig. Und das würde ja auch den Gödelschen Unvollständigkeitssatz widerlegen, wenn damit alles berechnet werden kann (Punkte und Götter ausgenommen).
@@wWvwvV Interessant. Aber viermal nein.
Der Beschreibungsansatz oben ist in erster Linie reduktionistisch und konzeptuell, denn eine einzige grössere TM (respektive ein äquivalent mächtiges Berechnungsmodell) kann den selben Output erzeugen, wie ein Netzwerk von parallel laufenden, kleineren TM.
Je kleiner die funktionalen Einheiten, desto besser sollten sich nicht-berechenbare Einflüsse isolieren, aber auch die rein deterministisch arbeitenden Teile bestätigen lassen.
Desweiteren leben wir hierzulande unter der Herrschaft von Chronos, der die göttliche Entität der Zeit in seinen Händen hält, unermüdlich ihr Fortschreiten gewährleistet - wenn man das so, ein wenig romantisch sagen darf. Um also zeitlich gebundene Phänomene und Interaktionen zu beschreiben, könnte ein mehr oder weniger "real implementierter" Parallelismus erforderlich sein... also im Beschreibungsansatz: viele zeitgleich laufende Instanzen von TM. Threads sozusagen.
@@DarkSkay Es wäre ja denke ich auch nichts anderes als eine k-Band Turingmaschine, die aber auch nicht mächtiger ist als eine "normale" Turingmaschine. Wenn die physikalische Church-Turing-These stimmt, dürfte es sogar keine Maschine im Universum geben, die mächtiger ist, als eine Turingmaschine.
@@Gurkonier Interessant! Was bedeutet ihr Konzept "physikalische Church-Turing-These" genau und welche Folgen leiten sich daraus ab, falls es stimmt? Wie steht es zum Determinismus - also zu den anekdotischen Würfeln Gottes?
Der eingangs zitierte Satz ist ein ungewöhnlicher Spagat, der eine wohl nicht falsifizierbare Aussage über die Gesamtheit aller Dinge, Entitäten, Funktionen, Qualitäten, Kategorien, Prozesse... wagt, die der menschlichen Erfahrung und Gedankenwelt zugänglich sind.
In dem Kontext, der kaum breiter gefasst sein könnte, darf, aber muss sich die Aufmerksamkeit nicht auf die Diskussion lenken, ob Turingmaschine im Singular oder Plural steht - vielleicht ein "Detail der Implementierung", das jedenfalls die gewagte Kernaussage nicht wirklich beeinträchtigt.
Andererseits... Leute die behaupten, unsere Welt sei eine Computersimulation, müssen sich immer wieder die neckische Nachfrage gefallen lassen, warum sie denn nie abstürtze und auf welcher Windows-Version sie laufe. Wenn man grundsätzlich von einem Zusammenspiel vieler Recheneinheiten ausgeht, eröffnet das auch die Möglichkeit, dass einzelne von diesen Recheneinheiten sich in Endlosschleifen verfangen, ihre Berechnung nicht rechtzeitig terminieren oder "logischen Unentscheidbarkeiten nachrennen" können, ohne dass dies den "stabilen" Lauf der Dinge unterbricht.
Um Phänomenen wie Bewusstsein, Qualia, Wille näher zu kommen, greifen Verfechter des Materialismus manchmal gerne auf das Wort "Emergenz" zurück. Die Idee, dass aus dem Zusammenspiel vieler Einzelteile eine neue Qualität entstehen kann, die sich bei Betrachtung des Einzelteils a priori nicht ablesen, konkretisieren oder vermuten liesse. Könnte für das dynamische, zeit-gebundene Zusammenspiel vieler Neuronen ähnliches gelten, wie für das dynamische, zeit-gebundene Zusammenspiel vieler Turingmaschinen?
Andererseits sehe ich nicht, wie man den Output von Berechnungen z.B. mit der Intuition über nicht darstellbare Entitäten miteinander verrechnen oder auf eine Ebene stellen könnte.
Schön, wie die Fixpunkte der Mathematik wie ein Sternenhimmel funkeln. Ist diese Metapher eine Idealisierung oder ein grundsätzlicher Charakterzug der (mathematischen) Welt?
1.) Nur für die Philosophie ist ein "bekennender Lügner" ein Problem.
In der Realität weiß man/frau, dass auch Lügner "gelegentlich" die Wahrheit sagen.
2.) ARTE hätte zumindest kurz erwähnen können, dass Gödels "[modal]logischer (ontologischer) Gottesbeweis" schon an dessen Axiomen scheitert.
ich gebe dir zwar recht das GÖdels gotes beweis falsch ist da die Axiome falsch sind. Aber das diese falsch sind ist ja "subjektiv" bzw nicht logisch vollkomen durschaubar. Unter der anahme das die Axiome korrekt sind ist sogar sein ganzer beweis valide
@@mariusillmann6601: Ich gebe dir zwar Recht, dass Gödels Gottesbeweis falsch ist, da die Axiome falsch sind ..."
> Dann sind wir uns ja einig.
@Marius Illmann: "... Aber dass diese [Axiome in Gödels Gottesbeweis] falsch sind, ist ja "subjektiv" bzw. nicht logisch vollkommen durchschaubar ..."
> Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich als mathematischer & philosophischer Laie blamiere, schauen wir uns doch nur mal sein 1. Axiom an:
"Axiom 1 - Entweder eine Eigenschaft oder ihre Negation ist positiv." [wiki/Gottesbeweis#Kurt_Göbel]
In der Mathematik mag der Begriff "positiv" eindeutig sein, im Alltag (in der Realität) jedoch gibt es zahlreiche oder gar unzählige "Schattierungen" & vor allem Kontext. Eine Eigenschaft die unter bestimmten Umständen als "positiv" erachtet werden kann, ist unter anderen Umständen "negativ" & umgekehrt.
@Marius Illmann: "... Unter der Annahme, dass die Axiome korrekt sind, ist sogar sein ganzer Beweis valide."
> Unter der Annahme, dass ich leichter als Luft bin, könnte ich ohne Hilfsmittel fliegen/schweben ;-)
So wie ich es verstanden habe, kann man einen "Lügner" zwingen, die "Wahrheit" zu sagen, wenn die doppelte Negation der Wahrheit wieder die Wahrheit ist, also nicht seitenverkehrt und wie ein doppeltes Spiegelbild. Es gibt wahrscheinlich keinen Lügner, der die Menge der wahren Sätze kennt und dann beweisbar beweisbare Lügen ausspricht. In der relativistischen Quantenmechanik gibt es auch Tunneleffekte und spin-verbotene Übergänge, aber im Hilbertschen Raum ist alles hübsch sachlich und aufgeräumt, nur Kurt Gödel bringt die notwendige Unordnung und Assymetrie.
Oh Gott. Scherzkeks.
Ich bin irgendwo in der mitte ausgestiegen...aber ich liebe diese serie xD
Bitte mehr davon. Hab noch nie so etwas gesehen und es macht mir echt Spaß es zu schauen 👌🏻
3:39 dann wäre 1 aber auch eine Primzahl. Hier wäre das exklusive Oder besser gewesen ;)
Es tut mir leid für den schnellen Urteil über den Wahrheitsgehalt der Aussage, was @oooBASTIooo sagt ist richtig, die Implikation in der Wahrheitstafel ergibt tatsächlich Wahr für y = 1 und z = 1. Aber wie ich mir das erkläre, die haben fälschlicherweise versucht auszudrücken, dass für eine beliebige Zahl x eine Faktorisierung existiert, die entweder aus y = 1 und z != 1 oder y != 1 und z=1, aber das wäre wiederrum falsch. Also eine bessere Aussage wäre:
sei ℙ die Menge der Primzahlen.
x ∈ ℙ ⇔ ∃y ∈ ℕ | y = 1 ∨ y = x: (y|x)
so ist glaube ich richtig
@@Mike-kq5yc Deine Umformungen sind zwar richtig und der Ausdruck ist äquivalent zu der Definition von Primzahl, die unmittelbar davor in Worten gegeben wurde. Aber trotzdem wäre (bei beiden) 1 dann als Primzahl zulässig, was nicht der absolut gängingen Definition entspricht. "Es ist nichts falsches an der Aussage" würde ich also nicht sagen.
Da waren noch erheblich mehr Fehler in den Aussagen dieser Sendung..
ist eine primzahl nicht per def nur durch eins und sich selbst teilbar, ist 1:1=1 ? meine, wir hätten das so in der schule gelernt, aanfang der 80er...
@@melaniemerck1978 jain, jede Prinzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar. Das trifft zwar auch auf die 1 zu, sie zählt aber trotzdem nicht zu den Primzahlen. Außerhalb von irgendwelchen Klassenzimmern gibt es darüber auch keine Diskussion, bei Mathematik auf Uniniveau ist jedem Mensch klar, dass 1 keine Primzahl ist. Ich persönlich bevorzuge daher auch die Definition "Eine Primzahl ist eine Zahl mit genau zwei Teilern" statt dem umständlichen, aber gängigem "Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, außer der 1".
Ich finde eurer Format toll. Macht mal ein Video über Physik. Das wäre toll.....
Einfach wow, sehr gute Animationen und Aufarbeitung des Themas, definitiv ein Augenschmauß
Echt ne geniale Doku-Reihe 💪🏻
Sehr gut erklärt! :)
Bitte mehr von dieser Serie...
Die musikalische Untermalung ist sooo genial
Guter Inhalt, aber die Soundeffekte/Musik in der Reihe gehen echt gar nicht
ARTE ihr seid einfach die Besten
Danke euch
Der Kasus Knacktus ist also, dass wir nichts mit sich selbst beweisen können. *hahaha
Im Dunklen fällt man die Treppe gerne mal nach oben.
Warum schaue ich mir «Mathewelten» immer wieder an? Ich weiß doch, dass ich nichts weiß... 💥😫💥
Ich kann nicht mehr sagen als:
Wie geil erklärt ist denn dieses Video?
super erklärt. vielen dank.
Bis auf den Schlusssatz ein leckeres Sonntagsbonbon.
Leider wie erwartet nur für ein größeres Publikum und an manchen Stellen falsch. Sogar die Primzahldefinition in 3:32, denn die 1 ist keine Primzahl. Die korrekte Definition wäre, dass Primzahlen Zahlen sind, die genau 2 Teiler besitzen.
Das ist eine Konvention, um die 1 auszuschließen, weil man oft die Menge der Primzahlen ohne 1 braucht. Prinzahlen sind eigentlich nicht darüber definiert, dass sie genau zwei verschiedene Teiler haben.
@@CK-nh7sv? Die 1 ist meines Wissens nach wie im meinem Kommentar schon gesagt keine Primzahl und dann würde meine Definition stimmen.
@@CK-nh7sv oder vielleicht meintest du das
, dass meine Definition genau genommen nur eine Eigenschaft der Primzahlen ist. Natürlich muss man mehr machen um präzise das Konzept der Primzahlen zu definieren, wahrscheinlich etwas mit der Primfaktorzerlegung und dem Fundamentalsatz der Arithmetik (wobei der Satz vielleicht nur wegen der Definition der Primzahlen folgt, da reichen meine Kenntnisse nicht weil ich noch nicht an der Uni angekommen bin)
@Andre ok
Ich bin ehrlich ich hab es nicht verstanden. :/
Super Arbeit ❤
Das sind genau die inhalte auf die bock hab !!!
Brilliante Serie - großartig gemacht!
das ist etwas mit unserem universum und der zeit selbst. das ist alles so lange her, wir werden niemals genau wissen wie es entstanden ist.
niemals werden wir das verständnis haben diese dinge zu verstehen und richtig festlegen zu können.
Der Schlusssatz gefällt mir am besten.
0:35 dann ist ja wie gewohnt. Hatte in der Schule auch einen Fensterplatz 🤣
Sehr gutes video. Ich stelle mir nur so die Frage ob die Zielgruppe hier zum Inhalt passt^^
wow, das ist richtig gut umgesetzt! Gern mehr davon :D
Bitte mehr Mathewelten 😊
Interessant aber nicht ausführlich genug. Wozu gibt es die Mengenlehre?
Klasse gemacht und gut durchdacht. Macht weiter so!
Ich liebe dieses Format😁👍
Informatik-Studium 3. Semester. Man lernt alles über Gödel, die Gödelnummern, welche Sätze sich nicht beweisen lassen und warum. Hier zwar stark vereinfacht aber für den ein oder anderen sicherlich interessant :)
toll
Juckt
Ohje, wenn das schon die stark vereinfachte Version ist, will ich nicht wissen, wie die ausformulierte Version ausschaut 😅
Gut erklärt, coole Zeichnungen, nur die Audioeffekte sind etwas laut geraten.
Dafür zahle ich doch gerne meine GEZ Gebühren 🙏🏼
Endlich! ❤
"Machen wir einen Zeitsprung, um sagen wir 2500 Jahre und landen anfang des 20. Jahrhunderts."
Ooookay? War das so beabsichtigt?
Wir waren ja gerade bei Epimenides, also ja
Epimenides lebte laut Wikipedia im 5, 6. oder 7. Jahrhundert v. Christus. Passt also circa mit dem Zeitsprung von 2500 Jahren.
Unglaublich gut!
Sehr gutes Video. Hut ab ARTE!
Nicht schlecht, aber ich finde das Video von Veritasium diesbezüglich weitaus besser.
Ich liebe diese Format
echt super gemacht, das Video - ganz herzlichen DANK
Sehr interessant und unterhaltsam.
Ich hab zwar nichts verstanden , fühle mich aber jetzt dennoch klüger
😀
Die Wahrheit ist das, wer sie zur Wahrheit macht!
That was really well explained! Tnx a lot :)
Bitte, bitte weitermachen.
Ich verstehe meist nur Bahnhof, dennoch liebe ich arte, besser als die degenerierten Berichte im TV
CZcams rettet mich
Habt vielen dank
Großartig!
Ok... ich glaub, ich bin mitgekommen... aber bitte lasst uns keinen Test drüber schreiben ;)
Ich freue mich jedes mal ! Toll
Schönes Video :) Anschließend noch eine Frage / Anmerkung: Ist es nicht so, dass Gödel gezeigt hat, dass formale Systeme immer entweder unvollständig oder widersprüchlich sind? Also man könnte ein vollständiges formales System definieren, allerdings wäre dies nicht in Gänze widerspruchsfrei ( -> Der Lügner mit der Pinocchio Nase), oder aber es wäre widerspruchsfrei, dann aber unvollständig (-> wie das schöne Bild mit dem nicht ganz ausgefüllten Kasten im Video zeigt).
Kleine Korrektur: Gödel hat gezeigt, dass jdes formale System, welches "hinreichend viel Arithmetik abbilden kann" (etwas unpräzise formuliert) entweder unvollständig oder widerpruchsvoll ist.
Es gibt aber durchaus vollständige und widerspruchsfreie formale Systeme, z.B. Hilberts Formulierung der klassischen euklidischen Geometrie.
In diesem System lässt sich im wesentlichen nur über Formen reden. Es gibt zwar einen Kongruenzbegriff, aber man kann nicht über konkrete Größen reden, deshalb enthält das System auch keine Zahlen und die Unvollständigkeitssätze greifen nicht.
@@haramsack Danke :)
Also erstens ist "kohärent" falsch aus dem Französischen übersetzt, auf Deutsch heißt es konsistent oder widerspruchsfrei.
Zweitens, bei 7:48:
"entweder kann die Zahlentheorie falsche Dinge beweisen, ist also inkohärent"
Wenn man etwas Falsches beweisen kann, ist das System _inkorrekt_. Daraus folgt aber doch nicht die Inkonsistenz?!
Insgesamt habe ich den Eindruck, dass hier (wie in eigentlich allen populären Darstellungen) Semantik (Wahrheit) und Syntax (Beweisbarkeit) durcheinandergeworfen werden.
Gödels Satz handelte gar nicht von der Widerspruchsfreiheit, sondern brauchte eine stärkere Voraussetzung (Omega-Widerspruchsfreiheit). Rossers Beitrag wird hier verschwiegen. Der Gödel-Rosser-Satz lautet "wenn die Arithmetik widerspruchsfrei ist (d. h. ist eine Aussage beweisbar, dann nicht ihre Negation) dann gibt es eine Aussage, die nicht bewiesen und deren Negation auch nicht bewiesen werden kann." Das ist rein syntaktisch, geht also nur um Beweisbarkeit und nicht um Wahrheit.
Der semantische Unvollständigkeitssatz ("Es gibt wahre, unbeweisbare Aussagen") folgt daraus, ist aber deutlich leichter zu beweisen. Gödel zeigte zudem (2. Unvollständigkeitssatz), dass sich die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht in der Arithmetik selbst beweisen lässt, sofern sie widerspruchsfrei ist. Dazu reichte kurioserweise sein schwächeres Resultat mit der Omega-Widerspruchsfreiheit aus. Wichtig: Falls es einen Widerspruch gäbe, könnten wir ihn in endlicher Zeit entdecken! Würden wir einen Beweis der Widerspruchsfreiheit finden, so wäre die Arithmetik widersprüchlich.
Tarski zeigte zudem, dass sich Wahrheit nicht einmal innerhalb eines Systems definieren lässt.
Tatsächlich kann man, wenn man ein Resultat aus der Berechenbarkeitstheorie voraussetzt, den Beweis der beiden Unvollständigkeitssätze sehr einfach durch Argumentation über Computerprogramme führen. Diese Idee scheint von Amit Sahai zu stammen, irgendwann werde ich sie mal laienverständlich aufschreiben und mich dann hoffentlich erinnern, den Link hier zu posten.
Mit Verweis auf Douglas Adams möchte ich daran erinnern, dass Gott zitiert wird mit "Man kann mich nicht beweisen!". In dem Moment, in dem Gödel ihn bewiesen hat, ist er also unmöglich geworden. 🤗🥳
"Ich", das Subjekt der Erkenntnis, das eigentlich Lebendige bin nicht einzufangen, da "Ich" immer schon grösser bin als alles, was man mir andemonstrieren kann. Das Lebendige kann niemals in der Wissenschaft auftauchen, sondern sie ist dessen Werkzeug zur Selbsttransformation. Wir erkaufen unser Wissen durch Verzichte im Denken!
@@neffetSnnamremmiZ Erwähne das nicht gegenüber Psychologen und Biologen. Dir werden die Ohren bluten.
@@zweispurmopped Die haben ja auch nix mit Weisheit am Hut!
@@neffetSnnamremmiZ Aber mit Tatsachen. Und wie weise kann eine Weisheit sein, die Tatsachen ignoriert? 🙃
So cool erklärt ❤
Wieder sehr interessant
Zu gut und leider zu kurz :D klasse Videos!!!
Sehr gut erklärt
kurze Überlegung zu Hillberts Hotel: der neueste Gast kann gar nicht ins erste Zimmer; weil die Person aus dem ersten Zimmer muss ins dritte Zimmer wechseln; zuvor muss aber die Person aus dem dritten Zimmer ins fünfte Zimmer wechseln; bevor aber die fünfte Person übersiedeln kann, muss erst die Siebente das Zimmer frei gemacht haben. Das heißt, wenn es unendlich viele Zimmer gibt, benötigt man auch unendlich viel Zeit um ein beliebiges Zimmer frei zubekomen, damit es neu belegt werden kann. Daraus folgere ich, dass ich in Hilberts Hotel kein neues Zimmer belegen kann.....
Deswegen wechseln auch alle Personen gleichzeitig das Zimmer. Wenn man die Orginalversion natürlich auf deine Weise verändert hättest du recht, Aber dann ist es halt auch dein Hotel und nicht Hilberts.
Ohne zu Denken,
glauben wir
gedacht zu haben,
aber meinen,
ohne recht zu wissen,
was wir glauben sollen,
daß das,
was wir gedachten zu denken,
ein durchdachtes Denken voraussetzt,
und das Resultat
nur noch zu Denken übrig lässt.
Richtig gutes Ende !