Лекция 7 | Конструктивные методы в алгебре и топологии | Валерий Исаев

02.08.2024
Конструктивная математика - это математика без аксиомы выбора и аксиомы исключенного третьего. Основная цель данного курса - это познакомить слушателей с данным видом математики и, возможно, развеять мифы, связанные с ней. Мы продемонстрируем как различные определения, конструкции и теоремы в алгебре и топологии переносятся в конструктивный контекст. Некоторые из них работают дословно и не требуют никаких модификаций, но иные претерпевают заметные изменения.
Данный курс можно разделить на три части. Первая часть является фундаментом для двух последующих. В ней мы обсудим базовые логические и теоретико-множественные вопросы. Во второй части речь пойдет об алгебре. Мы поговорим о различных видах колец и полей, а также мы затронем понятие алгебраических расширений полей. Третья часть будет посвящена общей топологии, где главным объектом изучения у нас будут локали. Кроме того, мы узнаем как правильно конструктивно определяются вещественные числа и другие полные метрические пространства.
План:
I. Логика и теория множеств
1. Введение и мотивация
2. Логика
3. Конструкция на множествах
4. Множество значений истинности
5. Конечные множества
6. Мощность множества
7. Индуктивные определения
II. Алгебра
8. Порядки
9. Базовые структуры (моноиды, группы, кольца, модули)
10. Группы
11. GCD-моноиды
12. Кольца, домены, поля
13. Виды доменов
14. Кольцо полиномов
15. Линейная алгебра, матрицы
16. Кольца Смита
17. Интегральные расширения
18. Минимальный полином
19. Алгебраические расширения
20. Алгебраическое замыкание
II. Топология
21. Локали
22. Подлокали
23. Компактность
24. Плотность
25. Cover spaces
26. Пополнение
27. Эквивалентность cover spaces и локалей.
28. Вещественные числа
Литература:
R. Mines, F. Richman, W. Ruitenburg, «A Course in Constructive Algebra», (1988)
H. Lombardi, C. Quitté, «Commutative algebra: constructive methods. Finite projective modules», arxiv.org/abs/..., (2011)
P. T. Johnstone, «Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium», (2002)
P. T. Johnstone, «Stone spaces», (1986)
Пререквизиты:
Базовая алгебра (группы, кольца, идеалы, локализация колец, поля, алгебраические расширения полей, матрицы, детерминант).
Основы общей топологии (топологические пространства, метрические пространства).
Основы теории категорий (эквивалентность категорий, сопряженные функторы, рефлективные подкатегории).