パロンドのパラドックス【世界のヨコサワ×ヨビノリ】
Vložit
- čas přidán 4. 09. 2024
- 1本目のコラボ動画はこちら↓
意外な確率6選
• 【全15問】100点取れたら世界プロ！第一回...
▼ヨコサワポーカーチャンネル
/ @yokosawa_poker
Correction:
23:10 計算ミスしました(＞人＜;) 約0.032$が正しいです
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noto / 2nd single『Telescope』（feat.みきなつみ）
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【noto -『Telescope』】
• noto -『Telescope』（feat...
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/ @mikinatsu_official
「これを逆に使ったら一見得しそうなのに組み合わせたら負けるゲームも作れるってことですよね」って二言目に出てくるのがこのコラボの醍醐味だなって思いました(小並感)
24:43
動画と同じルールで勝ち負けだけ変えればええやん笑
当たり前の話でしょ笑
@@kumasan_CZcams なんか煽ってますけど文脈読めて無いと思いますよ〜
@@kumasan_CZcams バカが釣れてらぁ^^
？？？
勝ち負け逆にすれば、このコメントのゲーム作れることくらい、常人なら誰でも気づくでしょ笑
わざわざプロのギャンブラーが言わなくても。
1:27 ここのテロップが黒板上に出る編集好きだわ〜
ホントだすげー
めっちゃ上手く抜いてんな
ほんまやすげーｗ
15:23 状態変移図がアンパンマンにしか見えないwwwwwww
極端な例にすれば分かり易いと思う
Bを100の倍数の時には必ず−1，100の倍数のとき以外は99％の確率で＋1
という風にすれば，無限にくり返せば100より上に行けずに負けるけど，ほぼ99と100に張り付くからAのゲームと組み合わせれば勝てると直感でもわかる
普段は越えられない階段を越えるために、もう少し階段を楽に上がれる別のゲームを途中で噛ませる、というイメージなんでしょうね
このコメとリプは上に上がるべき
ほんとに上がって欲しい
わかりやすい！
@@multiverse8160 その楽に上がれる階段もそれ単体でみれば、期待値マイナスなのも面白いですね
@@xashi7878 そうですね。期待値がマイナスでも、ないとうさんの例でいうと所持金が1減ってもまた高確率で挑戦権が得られるというわけなのでいつかは上のステージに上がることができるというイメージですね。
テレビゲームに例えるとこうなる
①そのゲームは3ステージがセット、1回やられれば前のステージに戻り、クリアできれば次のステージに行く
②1，2ステージは非常に簡単
③3ステージ目には絶対に近いほどの勝てないボスが現れる
④どのステージでも半分の確率で少し分が悪い中ボスが現れるが、倒すとクリア判定をもらえる
あなたは飽きるまで、このゲームをし続けていい。あなたは最後までクリアできますか？
ヨコサワさんが自己流の推論を展開してるときに、口も出さず表情も変えずじっと聞いてるヨビノリさんがいいですね。生徒に思う存分自分の考えを述べさせるいい教師感
個々は「普通に生きてたら友達が減るタイプ」だけど、一緒にいると友達が増えることもあり得るという話でいいんですかね。
秀逸笑
反応してくれる人がいると視聴者的にも理解度が高まると思います。またのコラボ楽しみにしてます。
好奇心旺盛で賢い生徒だと教える側も楽しいということがよくわかる動画だった
実践確率のプロと理論確率のプロのコラボめっちゃいいな、凄い面白かった
0:19 ガチで好評なの草
期待値の計算もマルコフ連鎖も知ってましたけど、このパラドックスは初めて知りました！
確率はかんたんに人間を騙しますね～
やっぱり今回もゲストのお二人が賢いなぁ
確率が水の流れで例えられるのが面白い
2人のギャンブラーの反応も楽しいpね
掛け合わせることで｢多少プラ転｣ではなく｢めっちゃプラス｣なのが凄さと怖さを引き立たせてますね。
今回も面白すぎました！
今までのヨビノリチャンネルの動画で一番面白かった
そして生徒のお二方が言ってほしいこと全部言ってくれるからすごく見やすい
Bのゲームは3の倍数のときに99%の確率で負けるという部分が不利な要素なので、その要素をAのゲームを混ぜることで緩和できるというのがポイントだと思います。Cのゲームのマルコフ連鎖を書いた時に、AとBの平均を取ってる部分に相当します。
不利なゲームと不利なゲームを混ぜて有利なゲームになるというのは直感に反しますが、不利な要素を緩和すると解釈できれば直感に反しない気がします。
動画は面白かったです。
金融ポートフォリオを組むにあたっての理論は、意図せずこのパラドックスを組み入れている気がします。
値動きに相関関係がある複数の銘柄を運用して、最大のリターンを生み出す比率で分散投資してるわけなので、まさしく合致していると感じました。
ゲームCが有利になる理由の直感的な説明は、ヨコサワさんが「不思議じゃない」って言ったあとの説明でほぼ合ってますよね。
ゲームBは3の倍数以外のときは非常に有利なゲームだが、3の倍数のときはほぼ負ける。でもそのほぼ負けるゲームを50%の確率で避けられる、と。それを直感ですぐに説明できるヨコサワさんに脱帽です。
これにびっくりしました
必ず3の倍数を通る必要がなくなるってことですよね
あと、だいたい勝てるゲームの数がほぼ負けるゲームの2倍あるからってことですかね
え？ 直感も何も
こんなん分からないとギャンブルで勝のほぼ無理よ？
@@user-rr4fs7oh8t はいはい凄い凄い
物理学の研究が逆に数学の分野に影響を及ぼすこともあるのですね。パロンドのパラドックス めちゃくちゃ興味持ちました!!!
統計力学面白そうですね
むしろ歴史を紐解くと物理を理解しようとした結果数学が発展してきたといえるかもしれない
@@labi3230 微積がいい例ですね
@la bi 純粋数学(整数論とか)以外だとそういうこと多いです。現実の事象ありきで、他の学部とかからの要請を受けて証明・一般化したりします。
マルコフ連鎖は、LSTMとかで文章や曲を作成するときに出てくる考え方としてなんとなく名称を知ってたのが、今回の動画で深く理解するきっかけになったので良かったです。
まさかの２回目。嬉しいですね。
面白すぎてわくわくしますね。確率論の最高のプロモーション動画になってる
4:29のところで、自分からじゃなくて視聴者と2人からみて違和感のないようにグラフを手で表しててやっぱ教育者だなって思った
気になって実際にシミュレーション書いてみたらゲームCだけバカ勝ちしててすごいなぁってなった
パチンコを打つかパチスロを打つかをコインの表裏で決めたら勝てるってことですね(納得)
明日からウハウハや～ん！
どっちにしろ打ってて草
複雑化避けるために3の倍数で止めたけど、本当は4の倍数にして状態図アンパンマンにしたかった説
24:46 ひろきさんのこの指摘、流石すぎる
このゲームCを出来る簡単な道具を用意して実際にやってみたら
確かに試行を増やすほどグラフが右上がりになってて笑ってしまった
カジノの胴元「この動画の放映権を買い取ろう」
Bのゲームは、所持金がランダムであれば期待値はプラス（3回に2回は得するから）。Aのゲームを混ぜることで、多少手数料を払うことで、所持金がランダムになる。だからAとBを混ぜると期待値がぷらすになる。
直感的に理屈で説明するならそういうことになりますね。
こんなしっかりした話なのに、たくみさんが見てるのが紙ペラ一枚なのがすごい。
動画で勉強でき、コメント欄でも勉強できるなんて、ヨビノリさんのチャンネルは教育コンテンツとして完成してしまっているのではないか！？
「パ」たくみさんの「ン」可愛い書き方するなと思ってたけど「アンパンマン」のせいだったの目から鱗
振動してるときに上の段階に行くのは上を1回引けばいいけど、下の段階に行くには下を2連続引かないといけないからAを混ぜて確率が底上げされると上のほうが恩恵が大きいって感じかな
1回上に行ってもすぐに戻ってくる確率も上がるから一概には言えないだろうけど
こういう面白くて世界観が変わるものは自分にとってとても良い刺激です！
次のコラボも楽しみにしております！
志田晶さんが最近、マルコフ過程(確率漸化式)の話をしてて、さらにヨビノリの話を聞いてより深まり数学が面白すぎて数学科目指すまである
ナイスヨビノリ！！！！
とても面白かったのでコラボ第三弾が楽しみです‼︎
最近の知らない情報を教えてくれるの好き
所持金3の倍数時に99%負けが52%負けになるメリットと、3の倍数以外時に85%勝ちが48%勝ちになるデメリットどっちが大きいかは直感じゃわからんなあ
現役でもないのに
２人の この理解の早さ・・・
すごいなと思いました
ポーカーのほうは
負けず嫌いのたくみさんが
これからの半年で
どれだけ腕があがるかも楽しみ
まだまだ知らないことが
はてしなくあるのだろうなと思いました
面白かったし 色々勉強になります
ありがとうございます
すごく面白かったです！！！
ギャンブラーという職業を全く知らず、マイナスなイメージしかなかったんですが)ごめんなさい)、こんなに確率使う・頭使う面白い仕事だったんだと知れました！！すごく興味湧きましたのでヨコサワさんチャンネル登録させていただきました🥰
これは面白い例ですが、実際のカジノとかに当てはめられるケースはほぼ無さそうですね。
ゲームCの期待値がプラスになる理由の最大のポイントは、実はゲームBの特殊性にあって、
所持金＝９（３の倍数） 1%で＋１、99％で－１
所持金＝８（３の倍数-1） 85%で＋１、15％で－１
所持金＝７（３の倍数-2） 85%で＋１、15％で－１
所持金＝６（３の倍数） 1%で＋１、99％で－１
所持金＝５（３の倍数-1） 85%で＋１、15％で－１
所持金＝４（３の倍数-2） 85%で＋１、15％で－１
ゲームBを継続してやり続けた場合、３の倍数-2で負けた場合に”次のゲームで必ず３の倍数という不利なゲームをやらされる”から
トータル期待値マイナスで資金が減っていくわけであって、もし毎回所持金をシャッフルして１回だけゲームBをプレイ出来るなら、
３の倍数 の時の期待値＝－0.98 (1×1+（-1）×99)÷100
３の倍数-1の時の期待値＝0.7 (1×15+（-1）×85)÷100
３の倍数-2の時の期待値＝0.7 (1×15+（-1）×85)÷100
（－0.98+0.7+0.7）÷3＝0.14
で、実は元々期待値はプラスのゲームなんですね。
ゲームAは期待値－0.04で微不利なゲームですが、要は２回に１回これをやる事で所持金をシャッフルしているのに近いので、
期待値プラス（+0.7）のゲームをやれる確率を上げているから差し引きでプラスにする事が可能なわけです。
ゲームAとゲームBが所持金というパラメータを共有しておらず、全く独立した別のゲームであったり、
ゲームBが単独で１回やった時の期待値がマイナスのゲームであれば、マイナスの期待値のゲーム同士をどう組み合わせても
期待値がプラスになる事はありません。
なので、実はパラドックスでも何でもなかったりします。
要は、ゲームBは”連続して続けていくと”期待値がマイナスになるという前提を、ゲームAを組み合わせる事で崩しているわけですね。
連続してやり続けなければ、そもそもゲームBの期待値はマイナスではないですので。
この事例の面白い所を１点あげると、
ゲームCを継続してやった時の期待値が約+0.16と、ゲームBを毎回所持金をシャッフルしてやった場合の期待値0.14を上回っている点ですね。
所持金ランダムでゲームBをやった場合、期待値-0.98、0.7、0.7の３パターンから均等に選択される形になるのでトータル期待値は0.14になりますが、
これは言い換えると1/3の確率で期待値-0.98の勝負をやらされているという事になります。
ゲームBを継続してやると、所持金はだいたい３の倍数と３の倍数-1を行ったり来たりするため、期待値的に不利な状態にいる割合が高くなって
1/3以上の確率で期待値-0.98の勝負をやる事になるため、結果的に期待値は（動画の説明によると）-0.0224という値になってしまいますが、
ゲームCの場合、その滞在している可能性の高い不利な状態を50％の確率で期待値-0.04の微不利なゲームAに置き換えられるため、
結果的に”所持金が３の倍数 の時にゲームBをやらされる確率”が所持金ランダム時の1/3よりも減って期待値が上がるという事ですね。
まあ、ぶっちゃけて言うとゲームAを組み合わせるなんて事はせずに、単にゲームBを１回やる毎に所持金を１減らしてやれば、
所持金は３の倍数-1と３の倍数-2の間を行ったり来たりする事になるので勝ちまくれる、という事になりますが。
なので、あんまり深く考えても意味のない話なのかもしれません。
@@lemongogochi7627 計算ミスでゲームCの期待値は+0.03くらいらしいです
さすがにマイナスの期待値で1次元的であるゲームAを混ぜてゲームB単独の+0.14を超えるのはやはりおかしいってことですね
@@jjjjjjjjjjjjjjjjjijj ありゃ、そうなんですか。
最初、0.14を超えるのはあり得ないと思っていたら+0.16という話だったので不思議だなあと思って、
それが正解ならこういう理由かな、と後から理由付けを考えた結果でしたが、
長々と考察して間違っていたとは。
自分で計算せずに動画をそのまま信じてしまったのはお恥ずかしい限りです。
単純に考えて、50％で-0.04、50％で+0.14だとしても期待値は0.05なので+0.16はあり得ないですね。
ある種の錯覚で、ゲームAを組み合わせると所持金が上下に１シフトされるので滞在確率の高い不利な状態から
抜け出せるような気がしていましたが、よく考えれば仮にゲームAが期待値が±0のイーブンだったとしても、
50％の確率で上下に１つずれるという事は同じ確率で逆に戻って来る事もあるので、結局滞在確率は
変わらないんですね。
（48％と52％だと若干ややこしいですが・・・。少なくともプラスには働かないですね。）
結論として、おそらくですがゲームAとBを”必ず交互にやる”というルールなら、ゲームBの後に滞在確率の高い
不利な状態を抜け出す事が出来るので期待値が0.14を超えて+0.16もあり得ると思います。
多分、動画の説明はそこらへんの前提が間違っているんじゃないでしょうか。
いつもヨビノリさんの動画寝落ちに使ってます！！
19:40
定常状態というのは、
Bのゲームを1000回やった結果だいたい、
所持金 mod 3 =0：430回
所持金 mod 3 =1：78回
所持金 mod 3 =2：492回
の比率になるというコト？
そして、
クソ不利なゲームを1000回中430回近くやってるから、
こんなん負けじゃんって分かることが出来るのかな。
素人質問なのですが、この講義の状態遷移図では所持金が負になる場合を想定していないような気がします。
所持金有限の場合も同じように考えられるものなのでしょうか？
最近、物理が直接関係ない自分の研究のために情報熱力学の勉強してたおかげで、パロンドがこれをどうして物理の文脈で考えたのかが何となく分かるようになってきた笑
気になってみたらまさかのもう第２回。嬉しい！
直感的な説明をするなら、
Ｂのゲームは⓪⇄②を往復しやすいから、
3の倍数の時にＢをやる不利な状態の確率が1/3より高くて、1/2に近いんだけど、
Aのゲームを組み合わせることでこの往復する力が弱まり所持金のランダム性が高まって、
3の倍数の時にＢのゲームをする確率が1/3に近くなるから、
勝ちやすい状態が2/3に近くなって、期待値がプラスになる。
みたいな事かな？
超単純にいうと99%で負けるゲームを50%の確率で52%で負けるゲームに変えることができるから、結果期待値が高くなるって話だね。
確率のサムネ毎回かっこよすぎる！
ありがとうございます！
この神コラボがもっと見たい！！
単純に正負逆にするだけで得に見えて損するゲームになりますね。面白い動画でした。
ポーカー気になって、ルール調べちゃいました！
人工知能の陽子さんと量子コンピューターで作曲します！ というタイガーファンディングの回が天才すぎてわからなかったので解説してほしいです！
あれは嘘です！！ ナマズにブラックホールはありません！
@@user-hb6li1us9h まじですか。そこも含めてヨビノリさんに解説してほしいです。
その方のCZcamsチャンネル見ればわかるけど、まぁ嘘やで
まさかの二回目！
嬉しいー
たくみさんの小説本棚見たいです！
動画にしてください！！！
めっっっっちゃくちゃ面白かったです！！！
Bのゲーム必勝法：
所持金が3の倍数になってたら一度引き出して、2減らしてまた入金して再開。
これで期待値はプラス。(85%で勝ちの方だけプレイする)
ただ、これを言ってしまうと明らかにズルがバレる。
それを難しい論理で巧みに隠したのがこのパラドックスの肝かな。
意外な結果ももちろん、たくみさんの専門の内容を知れたのも面白かったです！
考え方が
定常状態でのレート方程式の解法と似てるから、考えたのが物理学者っての納得いくな
前見た時はあんまり納得できなかったんですけど、最近大学で符号理論をやってマルコフ連鎖と確率を習ったので分かるようになりました。
定常状態はスロでの内部状態の割合算出に使えそう
マジで5回に1回くらいコラボしてほしい笑
えぐい、面白すぎる。
ただ、内容が難しいので何回か拝聴します。
是非とも、再生リストでグルーピングしていただければ嬉しいです！
貴重なお話ありがとうございました。
直感に反しすぎて衝撃、面白かったです🕺
変動する自分の"持ち金"に対して勝率が変わる賭けだから、成り立つのかなとも思い、
現実にそのような賭けはなさそうですよね
"持ち金"にとらわれず考えれば、なんか応用でそうな気もしますが、いやー興味深いです。有難うございます。
10:02 「どんどん友達がいなくなる」からの「じゃあもう１個不利なの組み合わせよう！」と即答できるのが、パラドックスの本質を直感的に理解しててすごい。
23:10 期待値なんかおかしくないですか？+0.03264だと思うんですが…
そうおもいます
待ってましたー！！！👏待望の第二弾🥰
はなおでんがんチャンネルでのはなおさんからの突然の電話＋問題、たくみさんの早すぎる回答めちゃめちゃ面白かったwww本当凄すぎ😂❣️
こういうのが生物界でも現れるってのがほんとに面白いですね
ゲームCのx,y,zは合っていても期待値が動画と合わないんですが、
どういう式で求めれば良いんでしょうか？
どうしても約0.032＄になってしまいます。
たぶん、それが正解です。シミュレートしてもそうなります。
試しにpythonで書いてみた。（拙いコードですまぬ）
試行回数10万くらいで確かに期待値+0.03くらいになりました。
import random
n = int(input('試行回数を入力:'))
aset_p = int(input('最初の所持金を入力:'))
aset = aset_p
aset_Transition =[aset_p]
for i in range(n):
if aset
サムネにヨコサワ氏入れた方がもっと伸びそうな気する
期待値+0.03264$の間違いですかね？
これ面白いな。
勝手な推測だけど、非平衡な系の準安定な状態関数を間接的に求めることができる(こともある)ってことなのかな。
オモロー！
凸性について、今度お願いします😄
50％の現象を掛け合わせてプラスとかマイナスになる現象もあり得るなら、対称性の破れみたいなことも説明できそう。
x,y,z求めた後の期待値の出し方教えて下さい
これ、漫才コンビで
オモンナイ2人が組んだらおもろくなる的な事もあるんかな笑笑
雰囲気で捉えると、コンテキスト込みで負けるBというゲームのコンテキストを、たまにAで破壊することで、Aの負けを取り返すレベルにBが勝てるようになる、みたいな説明になるのかな・・・
たくみさんのパラドックス授業めっちゃ好き
テーマもゲストも最高ですねー！
めちゃめちゃためになりますね
株とか商売とかの天才みたいな人って、こういうことが感覚的に分かってしまう人なのかなって思った 誰もが不利に思う買い方でなぜか勝ってしまう、みたいなｗ
確率は迷うって本とビジュアル数学全史って本(図鑑)で知った
状態遷移図…これ作業の流れ図に挿入すると、場合分けの詳しい説明をするのに便利そうですね。
これは、普段の生活でも使えそうです。
定常状態でない場合は確率漸化式を使えば解けそう。n→∞としたときにそれぞれの確率が今回のx、y、zの値に収束するのかな？
そうですね
収束しなければ定常状態が存在しないってことなので
面白すぎる...！
ギャンブルの世界と近い話だから、話が色々広がって楽しい
これ、1人で授業するバージョンもあげてほしい！！
アンパンマンならやってくれるよね？
予備校のノリでさ？
ゲームCは、ゲームAの結果がゲームBの所持金に影響されることで結果が変わるんですね。ありがたい講義でした^ ^
ゲームBが負けるゲームに見えないのでつまづいてます😰
何回考えてもわかりませんゲームBは期待値マイナスなんですか？
ゲームAは 100回やったら48回勝って52回負ける ので期待値マイナスなのはわかります
ゲームBは 1回勝って99回負ける→85回勝って15回負ける→85回勝って15回負ける の繰り返しですよね
勝てばプラス1＄条件なので勝ち負けの数で考えました
ゲームAは1ゲームあたりの期待値96%でゲームBは1ゲームあたりの期待値114%
それを交互に行うので期待値105%って考えてしまいます
うーん、もっと勉強しておけば良かったなぁ😰
そうか！マイナス4％が交互にやってくるからマイナス98%は6回に1回なんだ！
つまり -4%+70%→ -4%+70%→ -4%-98%の繰り返しだ！😆✨
これで計算すると期待値105％、、、同じやんけ、、、＿|￣|〇💦 チキショウメー
うーん、もっと勉強しておけば良かったなぁ😭
状態遷移図は確率漸化式でやったなぁとか思ったら急に親近感湧いてきた
大学受験でもポリオの壺とかあるし確率の漸化式とか連立方程式は扱うんじゃないのかな。
それはそれとして、このパラドックス面白いですね！
あまりに良コラボすぎる
アビトラージに応用できそうですねえ…為替とか株とかのチャートってなんか足りない気がするんだよなぁ…
ゲームBの連立方程式って、3文字で3本式があるから
x+y+z=1の式がなくても、定まりそうだけど
動画見ると、x+y+z=1の式があるから1つに定まる
逆に言うとこの式がないと、条件不足で1つに定まらんのかな？
不思議だ
3つ式があるように見えて、3つ目の式は上2つを変形させたものだからですね
（頑張って計算しても良いですが、3つの式を両辺全部足すと分かりやすいと思います）
面白いな。これは是非とも数学的に本格的なやつも学んでみたい。このパラドックスをもう少し厳密に勉強するためにはどのテキストに手を出せばいいんだろう。分かる人がいたら教えて欲しいな。
浜松医科大学の紀要論文で
”パロンドのパラドックスを生成するパラメータ空間の凸領域 ”：野田 明男
があった．
浜松医科大学のリポジトリで紀要の28号からアクセスできる．紀要論文なので厳密な査読はないけど短いので問題ないと思う．
この動画の内容をそのまま詳しくした感じ．
その論文の参考文献にはウイリアム=フェラーの古典が挙げられているので，動画でも言っていたマルコフ連鎖やランダムウォークについて書かれた本格的な確率論の本で基礎を固めておくといいと思う．
@@saundersn.6147 情報提供ありがとうございます。確率論やらエクセンダールあたりのテキストの内容を思い出すところからやり直してみます。
ヨコサワンとひろきんが、直感で103になった時にほぼ負けるから上に行けないBのゲームが、Aと組み合わせると上に行きやすくなるとすぐわかってるのはすごい。
計算すると103になったときBだけだと上に行く確率が1%、でも100をわって99にいって階段を下がる方が確率高くなる、そして一度99にいくと100に這い上がるのは1%だからじわじわ下がっていく。
Aと組み合わせると103の時に上に行く確率が24.5%になる。
下に行く確率の方が大きいが、100-102の時は66.5%で上に行けるからいずれまた103トライする。そして103超えて104だと勝率66.5%だから上がってくんだよな。
なんて分かりやすい説明なんだ
パロンドのパラドックス、とても単純な例をどこかで教えてもらいました(WikipediaかChatGPT)。鉢植えに種を植える。戦略A鉢植えにみずをやる。戦略B鉢植えに水をやらない。戦略A、Bとも、それのみを選択すると、絶対に種から芽が出ることはありません。しかしA,Bをうまく混ぜるとちゃんと育つ可能性があります。
パロンドのパラドックス、自分もAIに聞いてみた。こんな答えで驚いた。
『例えばゲームAで勝率40％、ゲームBで勝率50％になるゲームを繰り返したとします。～中略～
この場合、パロンドのパラドックスは、ゲームの期待値を計算することで理解することができます。期待値とは、ゲームをプレイしたときに得られる平均的な利益のことです。ゲームAの期待値は-0.2、ゲームBの期待値は-0.1です。これらのゲームを交互にプレイすると、期待値は-0.01になります。つまり、ゲームAとゲームBを交互にプレイすると、勝つ確率が51％になり、期待値はプラスになります。
パロンドのパラドックスは、ゲーム理論の重要な概念です。このパラドックスは、ゲームの期待値を計算する際に注意を払う必要があることを示しています。
パロンドのパラドックスの正確な計算式は、以下のとおりです。
勝つ確率 = (ゲームAの勝つ確率 + ゲームBの勝つ確率) * (1 - ゲームAの勝つ確率)
この式をゲームAとゲームBに当てはめると、以下のようになります。
勝つ確率 = (40% + 50%) * (1 - 40%)
= 51%
したがって、ゲームAとゲームBを交互にプレイすると、勝つ確率は51％になります。
これは嬉しい！！