3 PREUVES QUE 0,9999... = 1 🤯
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- čas přidán 11. 01. 2023
- 🎯 Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras résoudre 💪 : hedacademy.fr
Lien vers la vidéo évoquée ⬇️
• QUE VAUT CE CALCUL INF...
Je te prouve de 3 manières différentes que 0,9999.. = 1
Cette vidéo fait suite à celle en format court publiée sur d'autres plateformes. Les retours m'ont poussé à en faire une plus complète.
J'avais une version un peu plus bête, et plus simple d'une certaine manière :
1/9 = 0,111...
2/9 = 0,222...
3/9 = 0,333...
...
8/9 = 0,888...
On pourrait donc conjecturer, imaginer que 9/9 = 0,999.
Or 9/9 = 1
Assez proche de ta méthode, 3/9 = 0,333..., 3 x 3/9 = 0,333... x 3 = 0,999... = 9/9 = 1
1/3=0.33333…. Et 1/3+1/3+1/3=1 et. 0.33333…+0.333333…+0.33333…=0.99999… =1😮😮😮😊
@@renealvarado3658 mais pourquoi 1/3=0.3333... ?
@@imhungry7926 10/3 = 3 et reste 1, donc on fait 1 * 10 / 3= 3 et rest 1 , et ainsi de suite à l infini.
@@renealvarado3658 "et ainsi de suite à l'infini"
C'est là que je ne comprends pas. Qui dit qu'on peut poursuivre ce raisonnement jusque l'infini?
J'en ai une autre que tu as peut être dit mais je la poste quand même 😀
Imaginons, nous avons 1/3. On est tous d'accord que 1/3=0.3333333333...
Donc pour avoir 1/3 fasse 1, il nous suffit de faire 1/3 x 3 = 1
Mais en ce qui concerne le nombre infini 😵... On peut donc dire que 1/3x3 = 0.3333333... X 3 !!! (principe de l'équation).
Donc faisons ce calcule. 0.333333333 x 3 = 0,999999999...
Voilà encore une autre façon de prouver que 0.999999...=1
PS: très bonne vidéo comme toujours, j'ai adoré. Continue comme ça
Cette vidéo m'a vraiment retourné le cerveau, Je pense en parler a mon prof de math en retour des cours! La solution par l'équation étais simple a comprendre, évidente et pourtant si intéressante, j'espère voir plus de vidéos comme ça a l'avenir! ^^
Un bon exercice,bonne continuation👍
Du coup c’est aussi pour ça que les prix en magasin finissent souvent par « 0,99 » j’imagine
Non
@@Chacal_Ponk c’était une blague 🙃
énon.. 0,99 n'est pas infini, c'est pas comme si il était écrit "0,99..."
ah oui t'a raison en fait c'est des gros batards les mecs de carrouf
On peut aussi diviser 1 par 3 puis le re-multiplier par 3 et on tombe sur 0,9999... C'est même encore plus simple. Alors qu'on n'a rien changé puisqu'on a divisé par un nombre puis multiplié par ce même nombre.
1/3 = 0,333333...
0,3333333... x 3 = 0,999999999.....
A cette différence que 1/3 n'est pas égal à 0.3333333...... car on ne peut pas écrire de manière décimale la valeur de 1/3.
0.333333.... est une valeur arrondie de 1/3.
Du coup, multiplier 1/3 par 3 et multiplier 0.3333333 par 3, ce n'est pas le même calcul.
@@bertrandr.9616 oui enfin ce n'est pas idiot comme raisonnement et ca montre que 0,9999...... est = 1.
Si 1/3 est = à 0,33333......
Alors que 3/3 = 1. Donc 0,99999..... =1
Par ailleurs si tu manges une pizza, tu la finis complètement. Il reste juste des miettes, c'est pareil. Tu auras mangé à 0,999999... la pizza. Vu qu'on ne va pas chipoter pour les miettes, on peut dire que c'est 1. Lol
@@bertrandr.9616Certes, mais c'est justement le paradoxe d'une valeur infinie, on ne peut que faire des approximations, si précises soient elles. Mais mathématiquement ca se tient, ça prouve le paradoxe => 0.9999... = ~1
@@bertrandr.9616 et pourtant, 0,33… est strictement égal à 1/3. L’approximation serait 0.333, mais si on a les « … » c’est bien strictement la même chose. 😊
Toujours instructives ces vidéos.
Après y'en a d'autres aussi mais je les connaissaient pas celles là.
Mais par exemple, on peut dire que comme 1/3=0,33333... ; 2/3=0,6666666... et 3/3=0,999999999... Mais 3/3=1 alors 0,99999...=1
Ou que : 1 = 0,9999999... + 0,00000...001 mais si il y a une infinité de 0 après la virgule, alors le 1 n'apparaîtra jamais, du coup 0,000000...001=0 alors 1= 0,999999...+0 ; 1=0,99999...
Et comment tu prouves que 1/3=0.333... ?
la puissance de l'infini
😄😄 Avec plaisir
Perso, je trouve ces démonstrations "amusantes" mais ça me dérange parce qu'avec l'infini on "peut faire ce qu'on veut", une sorte de tour de passe passe pour moi 😑. C'est un peu comme faire des calculs avec du vent 😅...
c'est le principe des maths un peu
Exactement d'accord avec toi, on démontre ce qu'on veut en manipulant les chiffres, et dans le futur, on s'étonnera de cette apathie mentale qui touche les Maths depuis 1 siècle maintenant....
@@mustaphaelmarkahi6511 SI vous avez mieux que les mathématiciens depuis 1 siècle, je veux bien...
Bah c'est juste la notion de limite. On peut pas faire ce qu'on veut.
@@mrnono5034 Depuis Ramanujan, on a à faire qu'à un défilé de mathématiciens médiocres qui tâtonnent et deblatèrent inutilement... 0,9999.... est un nombre imaginaire qui est hors de notre conception humaine...
La deuxième preuve est ma préférée. Félicitations pour cette vidéo ! Je ne connaissais même pas ce résultat, mais avec cette vidéo, c’est clair. Bravo !
Est-ce que tu pourrais faire une vidéo où tu explique tes cours à la Fac ?
c'est fou que même dans le sup tes vidéos sont incroyables à regarder, tes élèves doivent êtres contents de t'avoir comme prof
J'aurais eu un professeur comme ça, je l'aurais fait s'excuser devant tous le monde pour oser confondre infime et nul.
J'ai laissé un petit exercice, on va voir comment il s'en sort, tant qu'il ne dit pas que moins l'infini vaut plus l'infini, ça ira. Parce su'il pourrait m'énerver encore plus...
@@LudovicRichardRUIZ HAHAHAHAHAHAHAHA tendu ludo pete un coup ça va le faire
@@LudovicRichardRUIZ ne sois pas non plus trop arrogant. Il ne s'adresse pas à un public de spécialistes, il peut donc se permettre certains raccourcis pour simplifier.
J'avais vu une autre façon de le montrer encore plus facilement aussi :
1 = (1/3) * 3
1 = 0.3333... * 3
1= 0.9999...
(info supplémentaire, on peut le noter 0.9 avec une barre au dessus du 9, ça veut dire qu'il y a que des 9 à l'infini après !)
Tout simplement !
Le problème de cette démo est qu'elle est fausse ^^
A aucun moment tu n'as prouvé que 1/3 = 0,333333... c'est juste plus facilement admis, mais ça n'est pas prouvé. Pour vulgariser, c'est un peu comme dire "Je suppose que j'ai raison, et ben du coup j'ai raison." Tu vois qu'on n'a pas avancé ^^
En fait, on utilise d'abord 1 = 0,9999999... pour diviser chaque terme par 3 et obtenir que 1/3 = 0,333333...
@@chatsoeur J'ai bien dis "montrer" et non pas "démontrer" !
Et non, je n'utilise pas d'abord que 1=0.999... , j'ai juste été vite et sauté l'étape 1= (1*3)/3 où là, aucun doute, on obtient bien 1 par simplification par 3. et après (1*3)/3 on peut le mettre en (1/3)*3 comme le début de mon truc
Mais effectivement, je me suis jamais demandé si on pouvait utiliser des résultats génériques de fraction comme "admis" sans avoir à l'expliciter dans ce genre de truc
Le truc c'est que montrer que 1/3 = 0.333... et que 1 = 0.999.. c'est la même chose.
C'est un peu bizarre de partir de l'un pour montrer l'autre.
C'est un peu ne rien demontrer au final.
Bonjour, merci pour ces démonstrations. Pourriez vous nous faire une video sur la démonstration de la 3ème formule ? Cela fait plusieurs vidéos que vous l’utilisez et j’aurais aimé avoir sa démonstration. Merci.
C'est une limite d'une formule classique, vue en 1ère S (il y a 5 ans en tout cas):
Soit q un nombre réel, différent de 1.
Soit n un nombre entier naturel.
On fait la somme 1 + q + q^2 +... + q^n, (on ajoute toutes les puissances de q, de 0 à n) et on appelle S cette somme. (S = 1 + q + q^2 +... + q^n)
Cette somme possède un nombre fini de terme (n+1 exactement), donc elle est bien définie.
On multiplie alors S par q, et on fait la différence S - qS. En arrangeant bien les termes, on voit que S-qS = 1- q^(n+1)
(pour bien le voir, je te conseil de écrire S sur une ligne, et qS juste en dessous, en décalant les premiers termes, tu verras qu'ils se simplifient tous un par un, sauf les termes extrêmes)
Or, S - qS = (1-q)S , par simple manipulation algébrique.
Donc, (1-q)S = 1 - q^(n+1), puis, comme q est différent de 1 :
S = (1 - q^(n+1) ) / ( 1 - q)
Cette égalite est valable pour tout q réel (sauf 1), donc, en prenant q strictement compris entre -1 et 1, et en faisant la limite lorsque n tend vers +infini, comme q^(n+1) tend vers 0 quand n tend vers l'infinie, on obtient bien le résultat attendu.
Si on somme les puissances de q en ne partant pas de la puissance 0, mais d'une puissance arbitraire k, il suffit de factoriser par q^k dans la preuve, et on retombe sur nos pied.
J'espère avoir pu vous aider, n'hésitez pas si vous avez une question ou besoin de plus de détail
@@guillaumeschmit1689Merci.
Plus généralement :
*(1 + q + q^2 +... + q^n)* x q = q + q^2 +... + q^n+1= *(1 + q + q^2 +... + q^n)* -1+q^n+1
soit *(1 + q + q^2 +... + q^n)* x q - *(1 + q + q^2 +... + q^n)* = -1+q^n+1
soit *(1 + q + q^2 +... + q^n)* =(1-q^n+1)/(1-q)
Ces demos sont géniales et abordables à tous.. Merci au Prof.. restons humbles devant la connaissance.. bonne soirée
Merci pour ce retour 😊
@@hedacademy j'apprecie beaucoup.. merci..ayant étudié les maths fondamentales a l'université, si j'avais eu à l'époque ce type d'enseignement je serais peut être prof de maths. 👍
@@rachidbentoumi4715 C'est dommage cela dit d'avoir étudié les maths fondamentales à l'université et ne pas se rendre compte que 2/3 des preuves apportées dans cette vidéo sont fausses 🥲
@@Kerlyos_ montrez la fausseté
@@appolinaireyapo1190 La première preuve n'est est pas une. C'est uniquement un argument destiné à convaincre des élèves.
Ce n'est pas parce que la personne qui regarde la vidéo n'est pas capable de trouver un nombre entre 0,999... et 1 qu'un tel nombre n'existe pas.
Il faut le démontrer.
En l'état ce n'est donc ni juste ni faux. Ce n'est juste pas une preuve mathématiques.
Pour la deuxième preuve avec le même type de raisonnement on peut montrer que 1+2+3+4+... = -1/12
Ou que le nombre qui possèderait une infinité de 9 à gauche (noté ...999) serait égal à -1
Cette preuve n'est donc absolument pas bonne mathématiquement parlant si on peut montrer des résultats faux avec.
C'est un truc qui me fait toujours fait tiquer c'est plus dans les notations en fait. Sur ce que signifie vraiment "..." de manière codifiée lorsqu'on va jusqu'à l'infini (pas comme dans "f(0)+f(1)+...+f(n)" par exemple), parce que ça ouvre la porte à la discussion. En fait ce problème j'ai toujours préféré le voir comme la limite quand n tend vers l'infini de H(n)=(1-10^-n). H(1)=0.9, H(2)=0.99, H(3)=0.999. On a alors 0.9999... = lim(+inf)H = 1. Ce qui revient au meme mais je ne sais pas, dans mon cerveau ca a un cablage différent: 0.999... n'est conceptuellement pas un nombre mais une limite
Merci c'est très bien imagé et on doit être câblé plus ou moins pareil alors, je le considère de la sorte: 1 est fixe et égale à lui même et "0,999..." serait un potentiel qui admet des variantes infinies tout en conditionnant une certaine limite à ce que ces variantes puissent ne jamais atteindre vraiment 1.
Comme si 1 avait une simple identité, et 0,999... moins une identité qu'une fonction, paradoxale puisque son identité serait plurielle infinie et limitante!
0.99999.... n'est tout simplement pas un nombre décimal, encore moins un nombre entier, et donc ne peut pas "valoir" 1 qui, lui, est un décimal, et même un entier. 0.9...... est la représentation "imagée" de ce que donnerait la conversion d'un nombre fractionnaire en nombre décimal avec la précision souhaitée. Les trois points veulent juste dire qu'il faudrait indéfiniment augmenter le nombre de chiffres pour approcher une précision de conversion de 0.
Du reste, 0.99999... sera toujours
Oui, les ... me mettent mal à l'aise car c'est une représentation incorrecte d'un nombre. En fait, en algèbre pure, c'est à dire où l'on exclut les limites, 0.999... n'existe pas.
Ou alors, oui, on dit que :
0.9999... = lim pour x-> infini (1- 1/x).
En calcul infinitésimal, cela signifie que l'on peut se rapprocher "autant que l'on veut" de 1, ou pour le dire autrement, si l'on dit que l'on ne peut pas s'en rapprocher autant que l'on veut, c'est qu'il existe un nombre > 0.999.... qui se rapproche de 1. Ce qui n'existe pas. Mais dire que l'on se rapproche "autant que l'on veut" permet dans la notation du calcul infinitésimal de mettre une égalité, mais uniquement si le signe limite est inclus. Quelque part, dire que 0.99999... = 1 est ambigu.
@@claudeBgf Ton commentaire n'a aucun sens.
0.999... n'est effectivement pas définis dans le contexte des nombres entiers ou décimaux.
En revanche du point de vue des nombres réels il est tout à fait définit.
C'est d'ailleurs uniquement dans ce contexte-là que l'égalité 0.999...=1 a un sens
@Florian Basier :
Enfin un commentaire intelligent.
Du coup la question qui se pose est : comment est-ce qu'on definis "proprement" les nombres qui possèdent une infinité de décimales ?
Comme 0,999... mais aussi comme 0,333.. ou 0,123456789101112... ou bien encore pi ou racine de 2.
La réalité c'est que la seule façon d'en parler c'est de définir ce que l'on appelle les nombres réels.
Il y a plusieurs façons de définir proprement les nombres réels (j'en connais 3 différentes) mais l'une d'entre elle est JUSTEMENT de définir les nombres réels comme des limites.
Plus précisément, un nombre réel sera l'ensemble des suites à valeurs rationnelles qui ont pour limite ce nombre.
Par exemple, le nombre réel pi sera définit comme l'ensemble des suites rationnelles convergeant vers pi.
Et dans le cas qui nous intéresse, on voit bien que la suite H(n) donc tu parles ainsi que la suite constante égale à 1 tendent toutes les deux vers 1 ; et définissent donc le même nombre réel.
Plus généralement en maths ça n'a pas vraiment de sens de regarder la nature des objets en tant que telle de toutes façons.
Dire que "Je les vois comme des limites et pas comme des nombres" ça n'a pas de sens.
Comme dit plus haut on peut justement définir les nombres réels comme des limites.
Pour prendre un autre exemple, pour définir les nombres complexes on peut les définir à partir de matrices, ou alors de transformations du plan, ou alors de vecteurs ou bien encore a partir de polynômes.
Ce sont toujours des objets fondamentalement bien différents. Et pourtant ils permettent tous de définir les nombres complexes.
J'ai un question, si on pars du principe que 0,999...=1, alors cela veut dire que la limite de 1/(x-1) quand x tend vers 1 est impossible à résoudre car on diviserai par 0 et pas par un valeur infiniment proche de 0.
Dans ces démonstration j'ai l'impression qu'on simplifie une limite par une valeur fini, ce qui poserait d'énormes problèmes sur plein de notion mathématiques.
Si quelqu'un peut m'éclairer je suis preneur
Le truc est que, pour des équations dotées d'une asymptote telles que celle-là, on n'évalue jamais la valeur de l'équation au niveau de l'asymptote (puisqu'on ne le peut pas, par définition), on extrapole son comportement à l'approche de celle-ci.
D'ailleurs pour reprendre ton exemple, la limite de 1/(x-1) quand x tend vers 1 dépends du côté par lequel tu l'approches. Et le résultat est, soit +infini, soit -infini.
Or une réponse comme "+infini" ne peut pas être le résultat d'un calcul direct, seulement d'une extrapolation. Alors peu importe que ce soit 1 ou 0,9999..., ce qui importe c'est "ce que fait la fonction en approchant de cette valeur".
Ceci dit ce n'est pas parce que c'est une extrapolation que le résultat est hasardeux ou peu digne de confiance, entendons-nous bien. Cela ressemble à un tour de passe-passe pour contourner des impossibilité mathématiques, mais c'est très rigoureux. Et c'est à la base du calcul infinitésimal, qui est omniprésent dans la physique moderne.
Il n'y a aucun problème à ce qu'une limite d'une fonction soit égale à un nombre fini. Par exemple, 1/x ne peut pas être égale à 0 mais la limite de 1/x est égale à 0.
Avec f(x) = 1/(x-1)
La=Lim f(x) [x -> 1-] = -♾️
Lb=Lim f(x) [x -> 1+]= +♾️
Comme La, Lb sont divergentes et que La ≠ Lb, f(1) est donc indéfini.
très intéressant j'ai adoré !!!!
Je prefere utiliser la formule d'une suite géométrique sous la forme
(1er terme - dernier terme*raison)/(1-raison)
Ca permet de calculer une somme de terme n'importe ou dans la suite géométrique.
Dans le troisieme raisonnement on a un peu backer la limite de 1/(10^n) avec n qui tend vers l'infini.
|q| < 1 suffit pour assurer la convergence de ta série, tu n’a pas besoin de passer par le calcul de limite puisque tu as une formule qui marche quand t’as serie converge.
Or dans cet exemple t’a raison 0 < q = 1/10 < 1
Un prof nous disait presque la meme chose.
"premier terme qui y est - premier terme qui y est pas / (1- la_raison)"
Mais bon , c'est pareil.
Du haut de mes 41 ans je ne saurais jamais répéter la troisième démonstration.
Belle pédagogie en tout cas. Bravo !
Ben i suffit de redire la même chose ..
@@gxljx2729 xDDD ; il suffit de connaitre la somme des termes d'une suite géométrique
@@mamax9431 oui c’est sur xD mais au pire meme celui qui comprend rien il suffit d’apprendre la demo par coeur c’est pas si long non ?
Est ce qu'un nombre qu'on ne peut pas écrire est encore un nombre ?
Si ce n'est pas un nombre est ce qu'on peut encore le mettre dans des équations et raisonner avec les opérateurs qu'on utilise avec les vrais nombres (+,x) ?
Il est impossible d’écrire pi, pourtant c’est un nombre sur lequel on peut appliquer les calculs (+,*)
Un "nombre qu'on ne peut pas écrire" (donc un nombre dont le nombre de décimales est infini) est un nombre dit irrationnel. Pi, racine(2), e, sont des exemples de tels nombres. Mais les nombres périodiques comme 0.99999... sont rationnels car ils peuvent être écrits sous la forme d'une fraction.
@@pascalwicht5272 Moi je ne pense pas que 0.9999... soit un nombre rationnel. Si c'était le cas, il aurait un numérateur et un dénominateur avec un nombre fini de digits. Supposons que ce nombre rationnel existe. Il sera sous la forme : 9 * (1/10 + 1/100 + 1/1000. ...), soit 9* somme pour k=1->n (1/10^k) avec k fini (par définition d'un rationnel). Si on tel nombre existe, il suffit de montrer que 0.9999... - ce nombre ne vaut pas zéro. Plus précisement, 0.999... n'est pas un nombre. Ou alors c'est une limite, et il manque le signe limite dans toutes les explications.
@@440hz8 0.9 périodique est égal à 1, c'est donc un nombre rationnel.
@@augustinm.5788 Du coup on réalise le calcul sur une écriture décimale tronquée approchée de Pi, par sur Pi lui même puisque c'est impossible.
C'est juste qu'il faut avoir bien compris ce qu'est la notion de limite et non avec l'infini on ne fait pas ce que l'on veut .
Une limite est ce vers quoi cela tend sans pouvoir le dépasser.
Un bel exemple est la trompette de Gabriel dont la surface est infinie et le volume tend vers pi.
Les trois solutions st intéressantes. Merci bcp
Bonjour
J'ai préféré la seconde méthode.
J'aime bien regarder vos vidéo vous expliquez bien tout est bien clair.
Passez une belle soirée à bientôt
jerome
très intéressant, mais principe à ne pas appliquer dans un devoir ou une interro 😁
Apres c'est une question de notation choisie pour les 3 petits points, on peut voir sa comme une façon de noter les fractions.
On peut considérer que 0,333... = 1/3 ;
donc 3 x 0,333... = 3 x 1/3 = 1 = 0,999...
Attention, il serait bien de préciser que ce genre de raisonnement n'est valable qu'en mathématiques abstraites, où on peut considérer que chaque nombre fini est égal à un nombre récurrent décimal.
Par contre dès qu'on passe dans un domaine appliqué ou en physique ça ne fonctionne plus
Mais du coup .... vraie question ... est ce que la "réalité" ne serait pas plutôt de dire que comme en tant qu'humain, nous ne pouvons pas concevoir ni appréhender l'infini - nos capacités ne nous permettent pas de comprendre 0.9999 ... et que on en vient à se dire que c'est égal à 1 ?
Est ce que dans "le monde réel" (en science physique par exemple) est ce que 0.999 va vraiment avoir le même impact que 1 ou est ce une conception simplement théorique ? Ou pour le voir différement, est ce que si on remplace dans un "vrai calcul" 0.999... par 1 - est ce que le résultat est juste et vérifiable au dela de la théorie ?
En réalité, dans "le monde réel" si tu tombe sur un nombre avec une infinité de 9 (ou de quoi que ce soit d'ailleurs)...c'est qu'il y a un problème quelque part, on aime pas ça en physique quand l'infini apparait (a la limite, c'est du quasi infini, mais ça reste fini au final, si tu a par exemple 39000000000000000000000000000002 fois le chiffre 9)
De ce point de vue là, le calcul 0.999999.... reste théorique dans le sens ou il ne peut, normalement, pas apparaitre dans le monde réel
Et faire des calcul avec 0.999999.....=1 , vu que c'est, normalement, pas infini en "réalité" ça dépend des cas et de la précision que tu cherche
Si par exemple, tu veut être a 5% près, dire que 0.999+1=2 c'est pas absurde (pourtant, il y a que 3 fois le chiffre neuf)
Mais si tu recherche une précision exacte, alors même 0.9999....= 1, avec un millions de 9, ça passe pas
Oui c'est totalement identique, ce n'est qu'une vue de l'esprit la façon dont on écrit les nombres, ici il s'agit simplement de deux façons d'écrire le même nombre.
@@bbzabstractgames 😂 ben voyons...
Non ; c'est la différence entre les mathématiques (calcul théorique) et la physique (observation du "monde réel")
Les deux sont importants ; les maths permettent les estimations et ouvrent les possibilités. La physique se heurte à la réalité.
Par exemple, ici on nous démontre que 0.999_ = 1. Si c'est vrai, alors 99.999_% = 100% (raisonnement mathématique prouvable par démonstration)
Sauf que 99.99_% de la vitesse de la lumière, ce n'est PAS 100% de la vitesse de la lumière. (et il a été prouvé, par des gens bien plus savants que moi, qu'un corps ayant une masse non-nulle ne pouvait pas atteindre la vitesse de la lumière... éventuellement 99.999_%, mais jamais 100%)
@@Shumbahuur Tu fais réfléchir toi ^^ merci beaucoup :)
En réalité, la seconde preuve n’en n’est pas directement une, le fait que 10x = 9 + x n’est pas si évident que ça.
Il faut passer par l’étude de la convergence de ta série et calculer la limite de ses sommes partielles en n-1 terme qui est la même que celle avec n termes. Elle découle en réalité de la 3 eme démonstration qui elle est explicite.
Oui, 10x=9x+x mais non 9+x.
@@touhami3472 dans le cas de x=0,9999...=1 L'équation 10x = 9+x est vraie
@@jeandy4495 le fait d'écrire 10x=9+x revient exactement à x=1 cela signifie que tu supposes déjà x=1 : dans cette hypothèse 10x=9+x est vraie bien évidemment !!!
Par contre, si tu ne supposes pas x=1, alors, en toute rigueur, 10x=9x+x: 10crayons c'est 9crayons + 1crayon et non pas 9+1crayon
Conclusion 10x=9+x est vraie seulement dans L'HYPOTHÈSE que x=1 donc ne prouve pas que 0.999...=1.
@@touhami3472 je ne suis pas du tout d'accord...
Si x=0.99999999 , 9.99999999999... est bien égal à 9+x sans prendre en compte que x=1
@@skyror4491 10x=9x+1x toujours vraie,
Mais 10x=9+x n'est vraie que x=1 donc delà à conclure que 0.999... =1 me paraît un peu osé, très osé !
C'est mon avis.
Salut j'ai d'autre autres possibilitées pour proive que ce nombre est egale a 1 : 1) un nombre reel x peut forcement s'obtenir en additionnant ou soustrayant un nombre reel y à 1 donc on a : x = 1-y si x1 or 0,9999... =x donc 0,999999 = 1-y y = 1-0,9999...= 10⁻h quand h est egale au meme nombre que x a de decimal. Or x a une infinité de decimal donc y = 10⁻h quand h tant vers l'infini et donc y = 0 Par consequant O,999...=1-0 0,999... = 1 2) il faut essayer d'ecrire 0,999... en fraction car celui-ci est un nombre rationel qui a un nombre de decimal infini mais avec un motif qui se repete. Or nous savons que 0,111... peut s'ecrire 1/9 et que 0,111... x 9 = 0,999... Donc 1/9 x 9 = 0,999... 1/9 x 9 = 9/9 = 1 donc 0,999... = 1 j'espere que tu vas lire ca et que ca te serai utile si tu veut en faire une suite
Bravo. J'ai préféré l'équation. Merci.
la 2ème démo n'est pas très rigoureuse , elle suppose que 0,9999... existe et qu'il se manipule comme un nombre réel
Et la première démonstration n'en est pas une.
Comme quoi beaucoup de choses ne vont pas niveau rigueur 🥲
Pour la première méthode, comment tu démontres qu'il n'y a aucun nombre entre les deux? Sans ça, il me semble que cette méthode n'est pas valable.
Tu peux passer par l'absurde
S’il y a un nombre entre les deux alors il serait forcément égal à : 1-0.00000… avec une infinité de 0 après la virgule
Or, 0.0000…=0
1-0=1 -> on retrouve 1, donc il n’y a pas de nombre entre les deux (à part 0, mais c’est l’élément neutre), donc ce sont les mêmes nombres
@@matonphare Merci.
@@matonphare oui mais ça ne veux pas dire que c'est les memes nombres
@@user-ud5wg1qp3c c’est une preuve par l’absurde. Supposons que 0.999…≠1
⇒ 1-0.999…≠0
⇒ ∃ x ∈ R, 0.999… < x < 1
Or il n’y a pas de nombre entre les 2 (d’après commentaire précédent). Contradiction
Donc par démonstration par l’absurde 0.999…=1
En toute honnêteté, je ne suis pas vraiment d’accord avec la preuve, je répondais juste au commentaire qui comprenait pas la démonstration. Mais effectivement, j’aurais pu préciser que si y’a pas de nombre entre le deux alors ils sont égaux.
Y’a pas vraiment d’erreur dans le raisonnement avec cette preuve, le problème c’est juste assumer que 0.999… existe, parce que s’il existe, y’a plein de façons de démontrer que c’est égal à 1.
Après démontrer l’existence se fait très simplement, et dès que tu montre que la limite converge alors t’as directement qu’elle est égale à 1.
T'as totalement raison !!
J'aurais tendance à considérer que les deux positions sont vraies. D'abord 1/3 est un nombre rationnel et ne peut s'écrire sous la forme d'un nombre (0,33333... n'est pas un nombre mais comme 3,14159 une approximation) mais seulement d'une division. Ensuite il semble qu'il il n'y a pas stricte commutativité 3 * 1/3 ou 1/3 *3 vu que 1/3 est une division et non un nombre entier. Il ne s'agit pas d'une simple multiplication mais de deux opérations. Ainsi dans 1/3*3 il faut d'abord faire la division indéfinie, et ensuite une fois l'opération finie (c'est à dire jamais), multiplier par 3. En revanche dès lors que la multiplication passe avant la division alors on a ce résultat de 3/3 =1, qui est un entier car 3 est divisible par 3. 0.9999... serait donc un nombre algébrique.
Sinon il y en a une très simple ça prend 30 secondes. On sait que 1/3 peut s'écrire de la forme 0,33333...
or 0,99999... = 0,33333... x 3
et 0,33333... = 1/3
donc 0,99999... = (1/3) x 3 = 1
C´est celle que je connaissais aussi. Prof, d´après vous elle est valable?
Sauf que 1/3 n'est pas = à 0.3333... 1/3 = 1/3
Définis "On sait que 1/3 = 0.333..."
C'est exactement équivalent de montrer que 1 = 0.999... et que 1/3 = 0.333... mathématiquement parlant.
Ça n'a donc pas de sens de partir de 1/3 = 0.333... pour montrer que 1 = 0.999...
@@patricedeporter523 Non. 1/3 et 0.333... sont bien égaux.
Je pense que tu ne sais juste pas comment on definit correctement les "..."
Tellement convaincu par les démonstrations que j'ai téléchargé la vidéo pour la montrer à mes élèves. Merci Professeur
ce qui montre un flagrant manque de recul de votre part ...
Puisque tu es si convaincu, pourquoi 10x=9+x au lieu de 9x+1x?
Pourtant il est plus évident et plusconvaincant que d'écrire :
10x=9x+1x .
Vaut mieux ne pas montrer ça aux élèves, il manquera éternellement un morceau, 0.99999..... sera toujours plus petit que 1
Le meilleur exemple de mauvais prof est celui qui conseille ses innocents élèves de regarder les "démonstrations" vues sur youtube.
@@touhami3472 ça existe ça ??? l'IUFM est sensée former des profs autonomes (wikipédia et youtube ne peuvent venir qu'en support annexe, et contextualisés si besoin, pas plus)
Les démonstrations en maths se font tjs in situ, avec question des élèves lors des passages difficiles.
Dans le cadre d'un calcul non linéaire ca poserais donc pas de problème de remplacer 0,99999999 par 1?
Je trouve ça étrange mathématiquement qu'il soit autorisé de jouer avec l'infinie comme. Ça. Lui soustraire des nombre et retrouver l'infinie derrière.. dans ce cas si x=infinie alors x=2x et si on simplifié on a 1=2
Il existe la technique du 1/3 ×3 = 1 et aussi 1/3 = 0,333.... Donc 0,33... ×3 = 0,9999
idem avec 1/9 X 9.
Sauf que 1/3 n'est pas égale à 0,333... mais tend vers 0,333...
@@FB-xp6ii ah bon et bien merci de l'info
@@pacomereynaud8279 Son information est mauvaise.
Il ne s'agit pas de croire le premier venu en commentaire qui n'y connait rien.
1/3 et 0.333... sont bien égaux.
La vraie difficulté en maths c'est de bien définir ce que signifient ces fameux "..."
Comme dans 0.333... ou dans 0.999..., ce que ne fait pas Hedacademy, d'où le manque de rigueur.
Si je peux en revanche apporter une réelle précision sur ton premier commentaire :
En maths c'est strictement équivalent de montrer que 1/3 = 0.333... que de montrer que 1 = 0.999...
Ça n'a donc pas de sens de partir de 1/3 = 0.333... pour montrer que 1 = 0.999...
@@Kerlyos_ Je lis vos commentaires et vous avez raison de dire aux autres que 1/3 = 0,3333… Or, cela étant vrai, si je dis 1/3+1/3+1/3 = 1 alors 0,333… + 0,333… + 0,333… = 1
Ce qui fait que 0,999… = 1
Donc je ne comprends pas pourquoi vous affirmez que cela est « insensé » de démontrer que 0,999… =1 de cette façon.
En fait, c’est seulement être conséquent. Ce qui signifie que si 1/3 = 0,333… alors ce raisonnement suit son cours pour dire que 0,999… = 1. Donc cela n’est nullement insensé mais cohérent.
Question. Si, en suivant la logique de la démonstration de la vidéo, on admet:
a) 0,999...9 = 1
b)1 = 1,000...1
Les 2 expressions valent 1. Cela veut-il dire que : *0,000...9 = 1,000...1* ? Ou *11* ? 🤯
0.999...9 est un nombre fini est n'est donc pas égal à 1.
1.000...1 est égal à 1+1/10^n et n'est donc pas égal à 1 non plus.
@@Warcraft_Traveler *...* est une notation de ma part pour dire infini justement 😔. J'indique juste ce qui précède et ce qui conclu. C'est pertinent pour le cas 1,000...1 sinon il reste d'être confondu avec 1,000...0 donc 1
@@pandaroux9465 si le nombre est infini, il ne peut pas être "conclu" comme vous le dites.
@@guillaume589 Vous n'avez rien compris 😑
Je reste dans l'esprit de la vidéo, de la suite de 9 du *0,99999...*. L'infini est une notion fondamentalement abstraite. On *tend vers* l'infini.
Il y a 2 options :
- Soit tu contestes la vidéo et par conséquent ma logique (qui en découle).
- Soit tu admets la vidéo comme postulat de départ et ta contestation est hors de propos.
@@pandaroux9465 J'ai très bien compris la vidéo. Les deux cas sont différents, dans un cas on parle de 0,9999... avec le motif 9 qui se répète à l'infini, dans votre cas on parle du motif 0 qui est répété mais pas à l'infini car il y a un 1 après. Par conséquent on ne peut pas dire que 1,000000...1=1
Je connaissais pas la première non plus, c'est vrai que c'est malin !
Mais ducoup, on ne pourrait pas aussi faire une équation où on divise 0.99999 par 3 ce qui nous donne 0.33333... soit 1/3 qui est égal à x/3 donc (1/3)*3 = 1 = x ?
Sinon super vidéo !
très chouette vidéo
maintenant petite question : est-ce que dire que 1 = 9/9 = 9*(1/9) ; or 1/9 = 0.111111... ; donc 1 = 0.99999..., c'est une preuve suffisamment rigoureuse ?
Il reste un problème dans votre raisonnement selon moi, comment montrer que 1/9 = 0,11111111...
le montrer ?
ben jsp prenez votre calculette et tapez 1:9, ou bien posez la division vous même, comme en primaire hahaha
aucun problème là dessus, 1/9 est bien égal à 0.11111..
@@dinoobuzzati La calculatrice n'est pas une preuve mathématiques.
Dire "Bah c'est facile il suffit de faire la division comme en primaire" non plus.
En primaire on ne fait pas de division infinie.
Montrer que 1/9 = 0.1111... revient en fait strictement à la même chose que de montrer que 1 = 0.999...
Donc partir de là n'apporte rien.
@@Kerlyos_ merci chef :)
Il y a aussi cette démonstration d'une très grande simplicité que mon prof de maths de terminale m'a montré : 1/3=0,3333333... donc 3x1/3=0,99999... or 3x1/3=3/3=1 donc 0,9999...=1.
Et merci pour cette autre sympathique vidéo.
Mais pour prouver que 0.3333333 = 1/3 il faut utiliser une de ces méthodes
Non 1/3 n'est pas = à 0.333... 1/3 = 1/3 car après 0.3333... x. 3 = 0.9999...
@@pascalwicht5272 Absolument pas, il suffit de faire la division : diviser 1par 3
@@Alexandre-qi8kz Qu'est-ce qui t'autorise à réaliser une division infinie cela dit ?
Pour "prouver" que 1/3 = 0.333... il ne suffit pas de dire avec aplombs "Bah on fait juste la division" comme si c'était évident.
Désolé cette démonstration n'est pas correcte , vous avez introduit un calcul incomplet ,je vous laisse le soin de trouver l'erreur ( on a affaire un nombre avec une infinité de décimales et c'est ça le hic )
Merci pour les vidéos, une très simple à expliquer également, c'est avec les fractions :
1 = 3/3 = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.333... + 0.333... + 0.333... = 0.999...
Je l'avais appris comme ça au collège à l'époque. 😋
Oui c'est aussi la méthode que je préfères :-)
Petite question qui a son importance : dans Z, trouvez moi un nombre qui va entre 0 et 1 ? dois je en conclure que 0 = 1 ? :)
Non. L'idée apportée ici est qu'on ne peut pas trouver deux voisinages (disons d'intervalles ouverts) qui contiennent respectivement x et y qui soit disjoints. Forcément ces deux intervalles vont se recouper. Donc d'un point de vue topologique (une discipline qui s'intéresse à la notion de continuïté) x et y sont « collés » et dans notre cas identique. Dans Z je peux trouver un voisinage de 0 (l'intervalle ouvert ]-1, 1[) et un voisinage de 1 (l'intervalle ouvert ]0, 2[) qui sont disjoints. Donc ce ne sont pas les mêmes points. L'espace R a des propriétés que n'a pas Z sur les intervalles. Notamment R n'est pas discret mais continue. Tu peux remarquer que tout intervalle ouvert de R non nul (approx. un voisinage d'un point donc) contient une infinité de points. Et c'est ce qui empêche de transformer la proposition sur les voisinages de la même façon que ce qui est fait dans la vidéo.
@@BenoitFraikin merci pour ces explications. Il faut donc bien préciser dans quel ensemble ou donner ces détails forte utiles ;)
0,5 LOL 😂
@@lolocool6701 renseigne toi sur l'ensemble Z avant de répondre s'il te plaît
A savoir que ce n'est pas possible dans l'ensemble Z 😀
Toujours pas... Même si les propositions 1 et 3 commencent à me convaincre.
Pour la 2, non ; lorsque l'on définit x = 0.99999_ la valeur est fixé !
c'est le problème avec les termes "infinis" ; on pourra argumenter qu'ils sont "infinis" ... mais une fois fixé (attribué à une identifiant), ils "perdent" leur infinité ; si on multiplie x par 10, alors il existe un autre nombre "infini" qui possède plus de 9 en décimales que 10x.
Bref, ça reste joli et je comprend l'extase mathématique que ce genre "d'anormalités" procure à ceux qui jouent avec ça...
Mais j'ai trouvé un contre exemple (physique) :
la vitesse de la lumière ("C") ; si 0.9999_ = 1, alors atteindre 99.9999_% de C équivaudrait à atteindre 100% de C
Sauf que la courbe d'accélération d'un proton par rapport à sa vitesse est asymptote à C (c'est à dire sans jamais pouvoir l'atteindre).
Pour un corps ayant une masse non-nulle, il faudrait une énergie infinie. (de la même manière que 0.999_ = 1, on peut "prouver" que 0.00_1 (une infinité de zéro suivis d'un 1) = 0... mais non)
Donc 0..999_ = 1, c'est joli pour les maths mais pas pour la physique ;)
La démonstration n°2 est la plus compréhensible, mais aussi très peu rigoureuse malheureusement...
Très problématique la 2 effectivement...
Pour la première démonstration, reste à prouver que le fait qu'on ne peut pas intercaler de nombre permet de conclure que les 2 sont égaux.
Si on résonne en nombres entiers, on ne peut rien intercaler entre 0 et 1, pourtant ces nombres ne sont évidemment pas égaux.
J'ai préféré la 2ème, j'ai toujours adoré les équations, mais j'avoue que la première m'a beaucoup plu aussi, toute simple, évidente, mais il fallait y penser.
Donc suivant le premier raisonnement, dans ℕ, 2=3 parce qu'on ne peut rien intercaler entre ? J'avoue que je suis pas turboconvaincu sur ce coup 😆
Le premier raisonnement ne fonctionne que sur des ensembles denses. Q et R sont denses par exemple, N non.
Un ensemble est dense lorsqu'il a la propriété d'avoir toujours l'un de ses éléments entre deux ses éléments.
Ce raisonnement est faux dans N, mais vrai dans R. De la même façon que i² = -1 n'est vrai que dans C ;)
Ah je me suis dit la même chose sur la première "preuve". Je n'ai jamais entendu cette définition du nombre différent parce qu'on peut en intercaler d'autres entre.
Et puis, même si je comprends où il veut en venir, son explication de dire "si tu prends n'importe quel nombre et bien moi j'ajoute un 9 et je suis plus grand" ne tient pas, car du coup à mon tour j'ajoute aussi, etc... et ça ne s'arrête pas (bah oui, pourquoi il pourrait ajouter un chiffre après ma proposition et pas moi après la sienne ?)
Le principe des "..." pour ajouter des 9 est facile, alors sinon je l'utilise aussi et je choisi ce nombre "1 - 0,000...1" qui devrait pouvoir s'intercaler entre le sien et 1.
Ou alors je prends "son nombre + (1 divisé par l'infini)" ou "1 moins (1 divisé par l'infini)", du coup je suis toujours entre son nombre et 1 🙂
@@olivierhenriques oui mais du coup tu es = à 0,999… donc ton jeu serait infini 🤯
C'est la preuve qu'il y a un problème avec les maths. Il faut trouver un nouveau système.
Car sur tu enlève 0,000000000000...0000000001 a 1 . Ce n'est plus 1 mais autre-chose. Tu ne peut donc pas avoir une infinité de 9 après la virgule. Où place tu 0,00...01 pour avoir 0.999...?
L'infinité n'est qu'une hypothèse car si on dit que 1 soit un siècle ou une unité astronomique tu arrives vite a quelque-chose que personne ne peut décrire, plus petit que les zeptosecondes pour le temps et le zeptomètre ou yoctomètre ou pour les distances.
Tu peux aussi partir de l'égalité suivante : 1/9 = 0,111111111.... tu multiples par 9 de chaque côté et voilà. Certes, ce n'est pas élégant, mais je pense que c'est une belle preuve intuitive et qui ne demande aucun outil sophistiqué
Bonjour,
Je ne suis pas en accord avec les deux premières méthodes. Contrairement à la 3eme, vous ne montrez même pas si le nombre que vous écrivez existe. La seule manière propre de l'écrire c'est sous forme de la limite de la suite comme dans la troisième méthode. C'est a partir de ce moment là où on peut se dire que l'on peut effectivement utiliser les opérations courantes. Avant d'avoir prouvé cela, comment pouvez-vous dire que multiplier par 10 va donner ce nouveau nombre? Que se passe-t-il au bout? La limite de la suite vous l'indique.
La première démonstration est pour moi la pire. Ce n'est pas parce que vous ou moi n'arrivons pas à trouver de nombre entre les deux que celui-ci ne pourrait pas exister. Il faudrait prouver qu'il n'existe effectivement pas proprement.
Cordialement
Exactement. Ce type de vidéo est catastrophique.
Surtout avec l'influence qu'il a en France, notamment auprès de profs... Je suis sidéré.
C'est pourtant loin d'être la première vidéo de ce genre là...
Finalement il fait de la désinformation à son échelle.
Et bien entendu il ne lit que les commentaires qui le félicite sans prendre la peine de lire les critiques.
Pour quelqu'un qui fait des maths c'est triste.
Preuves contestables
Elles sont toutes fausses
Ca a à voir avec la résolution des paradoxes de Zénon sur le mouvement?
incroyable jamais j'y aurais pensé
Mon opinion c'est que c'est inexact, désolé. Faut arrêter de faire n'importe quoi avec ces fameux "..." à la fin des opérations ou des nombres, c'est juste une vision de l'esprit.
Le 0.999999... s'obtient par conversion d'une fraction en nombre décimal, or l'ensemble des nombres fractionnaires contient l'ensemble des nombre décimaux mais pas que. Donc, il y a des nombres fractionnaires non convertibles en décimaux... parce qu'en fait ils n'en sont simplement pas.
Alors, voyons les fameuses démonstrations:
1- La première démonstration n'a simplement pas de sens logique. Je prends une analogie: Si j'ai deux maisons jointives je ne peux rien insérer entre, et pourtant la première maison est différente de la seconde. Avec des maths? Simple, on prend l'ensemble des entiers: On ne peut insérer aucun entier entre 3 et 4 donc 3=4? -> démonstration erronée. Et pour celui qui me sort "hé, tu limites aux entiers": Ben oui, mais dans la vidéo on limite aux décimaux, c'est pareil.
2- La seconde méthode part du principe qu'on peut "moduler" les différents infinis. Quand on multiplie x par 10 et qu'on prétend qu'on a le même nombre de "9" à droite de la virgule, on pose un axiome qui ne peut pas être démontré, puisque dans toute multiplication de réel par 10 on obtient un chiffre de moins après la virgule décimale.
3- La troisième méthode ressort les fameuses opérations infinies, et la convergence montre que la résultat tend vers 1 mais en aucun cas qu'il vaut 1.
Bref, pour moi c'est faux: 0.9999... ne peut pas valoir 1, parce que 0.9999.... n'est tout simplement pas un nombre décimal, encore moins un entier: C'est la représentation imagée de ce que donnerait une conversion approximative.
C'est exactement comme dire que 1/3 = 0.333.... : Ben non, désolé: 1/3 est un nombre fractionnaire non convertible en nombre décimal et 0.3333.... n'est de toute façon pas un nombredécimal, c'est juste une vue de l'esprit. On peut spécifier une précision souhaitée pour la conversion et donner un nombre de chiffres après la virgule qui corresponde, mais un nombre terminé par "...." n'est pas un nombre décimal, il est donc mathématiquement illicite de le manipuler comme tel.
Du reste, on peut "démontrer" exactement l'inverse: Tout nombre décimal commençant par "0" sera strictement inférieur à tout nombre décimal commençant par "1": 0.xxxxxx < 1.xxxxxxxxx
Quel que soit le nombre de décimales et la valeur de ces décimales. Donc, si 0.9999xxxxx est < 1 il ne peut pas être égal.
Exactement, en fait, comme les fameuses "démonstrations" des opérations infinies, c'est le même travers.
Merci bien pour votre démonstration !
Vous avez oublié de préciser à la fin de la vidéo que malgré ces "preuves", 0.99999... n'est pas égal à 1 😂😂
C'est ironique ?
@@dams321 non pas du tout , 0.9999.... n'est vraiment pas égal à 1. c'est un prof donc il le sait très bien
@@ssimou19600 C'est quand même dommage de regarder une vidéo qui te montres de 3 façons que ces deux nombres sont bien égaux mais d'affirmer en commentaire, sans argument, que les deux ne sont pas égaux.
@@Kerlyos_ si vous voulez des arguments il suffit de lire des commentaires plus bas , y a de belles discussions sur le sujet. sinon, et pour résumer , il suffit de comparer les 2 nombres pour comprendre que c'est pas du tout la même chose: 1 est nombre entier, défini alors que 0.9999... est infini, et divisible par 3 (si on suit la logique du prof) 0.999... est plutôt un nombre qui tend vers le 1 sans jamais l''atteindre.
dans les calculs, faire des opérations avec des nombre qui se terminent par des … n'est jamais une très bonne idée il suffit de diviser 1 par 3 puis multiplier le résultat 0.333.... par 3 pour retrouver le fameux 0.999..., alors que tout le monde, devant cette opération, 3x1/3 barre les deux 3 et garde le 1 comme résultat .
On peut aussi le justifier comme ceci :
1/3 = 0.33333...
1/3 *3 = 0.999999...
1 = 0.999999...
Oui sauf que montrer que 1/3=0,333... est plus difficile que de montrer que 1=0,999...
C'est donc plus que hasardeux que de commencer par ça.
La première démonstration me laisse un peu perplexe. Si je prends la liste des nombres naturels par exemple, je ne peux rien intercaler entre 1 et 2, et pourtant je ne peux pas écrire 1=2. Je me trompe ?
Une propriété des nombres réels ce que pour des nombres réels x et y distincts, il existe toujours un nombre réel entre les deux (par exemple, (x+y)/2). Or cela ne fonctionne pas pour les nombres entiers
Si j'ai bien compris l'idée, peut-on dire que 1 = 1,0000....00001
👍👍👍👍
Bravo !!
Non parce que le 1 serait infiniment loin il ne sera jamais là
Bah non, 1,0000...0001 n'a pas une infinité de décimales.
@@Bruno-fp4jl ca retourne la tête l'infini :)
Je suis ton raisonnement, mais du coup si le 1 n'est jamais là, on retrouve 1,000000... donc 1
Tout comme le dernier 9 n'est jamais là dans 0,999....
ça reprend ce que Hedacademy dit en première partie de vidéo.
Tu peux me donner des milliards de 0 avant un autre chiffre, exemple 1,000 [7 milliards de 0] 0001
J'ajoute un 0 et je gagne avec 1,000 [8 milliards de 0] 0001 (puisque je peux ajouter autant de 0 que je veux.
Enfin, si j'ai bien compris le concept.
1ere demonstration - faux
2eme demonstration - faux
3eme demonstration - juste
En quoi la deuxième est fausse ?
en quoi la première est-elle fausse ?
@@GileadMaerlyn I’ll faut d’abord demontrer que la serie infinie converge avant de faire des manipulations mathematiques
@@FrancisZerbibj’allais le dire merci
Gg mec
Attention à ne pas confondre le principe de limite avec celui d'exactitude.
D'accord pour vulgariser les maths, mais faites attention à ne pas dire n'importe quoi
Il n'a pas dit n'importe quoi.
Deux nbres qui sont égaux malgré que leur différence est NON nulle !!!!
Ainsi que leur quotient est différent de 1 !!
5 = 5 car 5 - 5 = 0 ou bien 5 / 5 = 1, mais cette fois ci ...
Oui mais finalement ça fait du sens :
On a 1 = 0,9999... Si tu fais 1-0,9999... tu obtiens 0,000...001
Mais avec le même raisonnement tu peux dire 0=0,000...001 et donc 1-0,999... = 0 (cohérent avec 1 = 0,999...)
@@niluje94
Autrement dit:
tout nombre périodique , de période 9 est un nombre décimal !!
Ex : 4,999...; 17,23999.... etc
buena demostracion
Il y a quand même plusieurs problèmes dans ces démonstrations, pour la démo 1, si vous vous autorisez à rajouter 9 à chaque nombre que je trouve, je peux faire la même chose, je rajoute toujours un 9 à votre nombre et j'ai bien nombre entre 0.999....et 1, le paradoxe de Zénon en somme !!! Pour la démo 2 vous utilisez le développement décimal impropre d'un nombre périodique pour le multiplier, or s'il est qualifié d'impropre ce n'est pas pour rien, on ne peut faire de calculs justes avec ce développement justement parce qu'il est impropre à cela entre autre. Pour la démo 3, il y a quand même une entourloupe, subtile certes mais quand même : pour vouloir être concis ( à raison ) vous avez omis d'écrire littéralement la suite géométrique que vous utilisez pour décrire 0.999......, le problème c'est que cette suite est définie dans R, par conséquent on ne peut calculer, bien qu'elle soit convergente vers 0, sa valeur finie en +l'infini tout simplement parce que +l'infini n'appartient pas à R !!!! Il faut comprendre que Limite ne vaut pas égalité stricte justement parce que la suite convergente considérée n'est pas définie en +l'infini. C'est tout le problème de l'égalité 0.999....=1, si mathématiquement, le raisonnement est juste, il fait fi en revanche de toutes les ambiguités concernant d'abord le développement décimal impropre d'un nombre périodique et ensuite la réalité de ce qu'est une limite !!!!!! Il faut bien comprendre que dans l'égalité 0.999....=1 on parle plus d'équivalence entre 2 notations mathématiquement ambigues que d'une égalité au sens strict et physique du terme, nuance donc. Si je voulais caricaturer, je dirais que 1kg de plume pèse la même chose que 1kg de plomb mais ils ne sont pas de même nature........la subtile différence entre égalité et équivalence !!! Cordialement
T'es Génial
Juste une petite question pour le premier raisonnement si on considère que 0.9999... est un nombre, est-ce qu'on peut considèrer que 0.0...01 est un nombre aussi? car il s'intercale entre 0.9999... et 1
Pour la troisième preuve, je manque de notions et je n'ai pas compris. Est-ce qu'il y a d'autres vidéos qui vont plus dans le détail?
Une série géométrique est la somme à l'infini des termes d'une suite Géométrique
Ici la suite que je vais nommé :
"Un" et définie par
Un = 9 * 1/10^n
Ainsi, la série Géométrique que l'on obtient est donc la somme de n=1 a n=+infini des Un
Ensuite l'idée d'une série c'est qu'il tend vers quelque chose en l'infini, que l'on peut mathématiquement qualifier d'égalité en l'infini, on appelle ça converger. Ainsi la série des Un en l'infini Converge vers 1, et donc 0,9999... La série géométrique en l'infini utilisant la suite Un est égale à 1
Sinon je te conseil d'aller chercher sur Math et tiques qui devrait proposer des choses sur les séries
Et pourtant la 3ème est évidente car cette suite géométrique et ... la base de la représentation décimale des nombres.
C'est comme Jourdain pour la prose on en fait tous les jours sans le savoir.
En clair il dit que 9999 = 10000 - 1 etc ou plutôt pour la représentation décimale, mais c'est pareil (il suffit de diviser par 10000), 0,9999 = 1 - 0.0001 etc
soit 0,99...99 = 1 - 0,00...01 = 1 - 1^n+1
j'aimerai quand meme qu'on m'explique comment 2 nombres peuvent être égaux, quand l'un et rationnel (1) et l'autre est irrationnel ( 0.9999). On peut en effet faire des tas de demonstrations avec les mains, faire de l'arithmétique avec des nombres qui incluent des ...mais si on va par la on peut aussi dire ceci: soit une suite Un telle que U0=0.9 et Un+1= Un + 9/10^(n+2). Soit une suite Vn telle que quelquesoit n Vn=(Un + 1)/2. On a évidement quelque soit n Un
0.9999.. est bel et bien rationnel
@@brunon554 en fait non. un rationnel est une classe d'equivalence de couple d'entiers dont le rapport est égal ( par exemple 2/3, 4/6,6/9.. représente un rationnel ) dans cette classe le couple dont les elements sont premiers entre eux est souvent celui que l'on utilise.(2/3 ici ). En de termes plus simples un rationnel doit être le quotient de deux nombres entiers. or il n'y a pas de couple de nombres entiers dont le rapport est 0.999..., ce qui est vrai d'ailleurs pour tout nombre decimal se terminant par une suite infinie de 9. Aucun de ces nombres n'appartient donc a Q. Par contre l'inverse est vrai, tout rationnel dans sa representation décimale est toujours périodique partir d'un certain rang.
@@flexeos Un nombre rationel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient de nombres entiers.
Soit x un nombre entier, et composé de n chiffres. Dans ce cas, il est possible d'écrire un nombre y plus petit que 1, et dont les décimales sont la répétition successive de x.
On a alors y = x / [(10^n)-1]. x est positif, 10^n aussi. De même que 1. y est alors un nombre rationnel.
Exemple, x = 1415. y = 1415 / [(10^4)-1] = 1415 / 9999 = 0.141514151415....
Exemple 2, x = 99. y = 99 / [(10^2)- 1] = 99 / 99 = 0.999999... (et d'ailleurs 99/99 = 1, d'où le fait que 0.999... = 1)
Et ceci peu importe x, que ce soit 9, 99, 999 etc...
Donc 0.999... est rationnel
@@brunon554 bien sur 1/9=0.1111..., 2/9=0.2222..., etc. mais 9/9=1 et pas 0.9999... . Evidement si on pose comme axiome que quelquesoit le chiffre x, x/9=0.xxxx c'est plus facile d'arriver au résultat ;-) mais je ne vois pas par quel algorithme on pourrait diviser 9 par 9 et arriver a 0.999... . c'est d'ailleurs la base de mon argument. Pour arriver a 0.99999... il faudrait faire par exemple 9* 10^n/(9*10^n + 1) avec n qui tend vers l'infini mais alors ce ne serait plus des nombres appartenant a N donc le résultat serait pas rationnel.
Merci vraiment
EXTRAORDINAIRE ! J'ai préféré la deuxième.
Moi aussi 😉
Si j’ôte un à 0,9999… j’obtiens un résultat négatif. Si j’ôte un à 1, j’obtiens un résultat nul. Puis-je conclure que les 2 nombres de départs sont égaux ? Ou encore, dans le même esprit que le point 1 : si deux nombres ne possèdent pas le même chiffre des dizièmes (fonctionne aussi avec celui des unités ou de n’importe quelle autre décimale) alors peuvent-ils être égaux ?
Tu n’obtiens un résultat négatif que si tu prouves d’abord que 0,999… est strictement inférieur à 1 (ce qui est faux puisqu’on peut montrer l’égalité) !
@@Jadoremario pour moi il s’agit d’un axiome. Un nombre qui commence par 0,… est nécessairement inférieur à un.
@@hiheapuka7172 ce n'est pas dans la liste des axiomes mathématiques :)
Je vous suggère de regarder les axiomes de la théorie des ensembles.
@@imhungry7926 mea culpa dans ce cas :D
En troisième (1975) mon prof de math nous l'avait "prouvé" , je l'ai repris le lendemain , sa démonstration était fausse et il l'a reconnu .
Alors la somme du mathematicien indien Ramanujan doit être vraie:
1+2+3+4+5+6+ ……..=- 1/12 !!!!
Des jeux de presentations
Lol, la suite de terme général 9/10ⁿ tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Ce qui signifie que ça n'arrive qu'à un certain rang et plus on se rapproche de cette limite, plus ce rang a tendance à être de plus en plus éloigné. On ne peut donc pas dire de manière systématique que ces deux valeurs se valent tout simplement parce qu'à part en l'écrivant comme une série géométrique, il n'y a aucun développement décimal qui corresponde exactement à 1.
Petite question je suis eleve de 3 eme et en testant la propriete (1er terme /1-raison) avec 2+4+8+46+32 ca ne marche car le résulat serai-2 et je ne vois pas comment la somme de nombres entiers naturels donnerai un nombre negatif . Merci pour la reponce
C'est effectivement pas censé être le cas... Mais... Quelle est ta raison si 32 arrive après 46?
Une variante de la première approche consiste à soustraire 0,9999999...de 1,0000000 = 0,0000001, cette différence pouvant être réduite à l'infini => 1 = 0,999...
vous vous contredisez .. 0.1^∞ TEND vers 0, mais ne l'atteind pas. 0.1^∞ est donc strictement positif, donc on a bien 1 =/= 0.9999 ....
@@handyEliot Bonjour, peut-être ma formulation n'était pas assez claire. On devrait pas être choqués de voir 0,999... = 1. Or, il s'agit strictement du même nombre sous des formes différentes, comme dire IV = 4. Personne n'est offusqué de voir 0,333... = 1/3. Or, si nous multiplions les deux termes de cette égalité par 3, ce qui ne change pas l'égalité, nous avons : 0,333.. X 3 = 1/3 X 3 => 0,999... = 3/3 => 0,999... = 1. Ce que nous voulions démontrer.
@@Carlos-qz7ul Personne ne s'offusque d'une erreur, cela reste une erreur :)
1/3 ne peut s'écrire précisément que comme cela, 1/3 !
Si vous commencez à vouloir donner une notation décimale, 0.333... vous négligez le reste de la division.
Cela prouve qu'il y a une perte quelque part entre 1/3 et 0.333...
Et oui, on ne manipule pas l'infini comme ça, et pourtant en voulant écrire 0.333... puis le multiplier vous manipulez l'infini, et c'est illicite.
Car sinon, avec la même règle de manipulation, je prouve 1=2, 1=9, etc etc.
La seule manière exacte de manipuler un nombre est de passer par une notation finie, identifiable.
Les 3 points de supensions devraient être la marque d'une hésitation, d'un temps d'arrêt mais le principe du bonimenteur est de parler vite, trop vite...
J'ai une question :
Il n'y a pas un symbole mathématique qui me permet de dire que j'ai deux fois plus d'affinités de 9 après la virgule que dans ?
Je ne comprends la deuxième démonstration car même si elle est très bien démontrée, pour moi, 8x ne peut pas être égale à 9. Peut être que je me trompe mais je n'arrive pas à comprendre et je reste bloqué la dessus
merci beaucoup
Moi j'ai une solution super simple c'est juste tu prends 1/3 c'est 0,333333...
Et puis 0,33333.. * 3 = 0,999999....
Sauf que 1/3 * 3 = 1
Donc 0.99999 = 1
J'aime bien la 3me solution mais on peut tjs appliquer la formule d'orgine. On verrait que 1/10 puissance infini tend vers 0
Je sais pas si je prend trop de racourcis, mais pour la démonstration je fais: 0.9999... = 9x0.1111... ; 0.1111.... = 1/9 donc 0.9999... = 9x 1/9 =1
Perso, j'ai une quatrième explication:
1/3*3 = 3/3 donc 1
Cependant on sait que 1/3 = 0,33333333... donc 0.33333...*3 = 0,99999999...
Donc 1/3*3 = 1 = 0,9999999...
la 3eme selon mon opinion est la seule démonstration crédible puisque il y'a des points de suspension après le nombre 9 ca serait pas un nombre (0.9999...) mais une limite quand n tend vers l'infini
Il transforme une équation/un problème qui devrait se calculer en 4 dimensions, en une équation/un problème qui se calcule en 3 dimensions, d'où le fait qu'il tombe sur le résultat faussé 0,999...=1
Salut j’adore ces démonstrations juste ce qui me dérange c’est le égal parceque on est d’accord pour dire que 0.999…
Je dirais que la deuxième est fausse, car si on multiplie 0,9999... par 10 et avec y le nombre de 9 après la virgule, on aura 9,9999 avec y-1 nombre de 9 après la virgule. Même si c'est une infinité la soustraction ferait 8,9999....91 et donc 9x est différent de 9. Après je suis ouvert si vous voulez me contredire.
On peut poser y étant le nombre de 9 après l’infinie mais il y en a une infinité et en math tu peut pas faire infini-1, mais sinon les 3 preuves sont toutes fausses de toute façon
Aux réticents et ceux qui disent qu'on ne peut additionner, multiplier etc des infinis :
1/3 = 0,333333333... à l'infini
Or 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 donc = 1
Je trouve les 3 preuves aussi intéressantes les unes que les autres :)
Mais je suis sceptique sur la première ... 2 nombres contigus (je ne sais pas ce que ça vaut pour l'ensemble des réels sachant qu'il y a une infinité de valeurs entre deux nombres ...) sont différents tout en ne permettant pas d'intercaler un nombre, non ?
Christophe.
Et la 2ème aussi : 0.9999999.. = 1 ??
x = 0.999...
10 x = 9.99...
10 x - x = 9.99... - 0.999... = 8.99...1
9 x = 8.99...1
x = 0.999...
0.999... plus petit que 1
Qu'est-ce que tu appelles deux nombres contigus ?
@@Kerlyos_ , tu as tout à fait raison de poser la question car je voulais dire "consécutifs" et non "contigus". Et cette notion de consécutifs s'applique clairement sur l'ensemble des entiers (4 et 5 sont deux entiers consécutifs), mais je ne suis pas sûr qu'on puisse parler de 2 nombres consécutifs dans l'ensemble des nombres réels. Mais ce que je voulais surtout remonter c'est que je ne suis pas sûr qu'on ait le droit de dire que 2 nombres sont différents si et seulement si on peut intercaler un nombre entre les 2, puisque dans les entiers, 4 et 5 sont différents et on ne peut pourtant pas intercaler un nombre entier entre les 2.
@@ChristopheKumsta Pour répondre à ta question la notion de nombres consécutifs sur les nombres réels n'a aucun sens.
Comme sur les nombres rationnels ou même les nombres décimaux d'ailleurs.
La propriété que Hedacademy utilise sans le dire n'est en effet pas valable pour les nombres entiers, ça va de soit.
En fait le but de la méthode 1 c'est qu'on peut comprendre que 0.999... c'est le plus grand nombre de l'intervalle ouvert ]0;1[, or on ne peut pas par définition trouver un plus grand nombre dans un intervalle ouvert, le nombre qui s'en rapproche le plus est la borne supérieur du plus petit intervalle fermé qui contient ]0 ;1[, qui est [0;1].
Pour le coup les séries c'est plutôt en deuxième année de licence , perso je suis en L2 physique et on les as faites il n'y a pas longtemps
en prépa c'est en première année
On peut le voir aussi avec : 1/3 = 0,33333... Donc 3 * (1/3) = 0,99999... Or 3 * (1/3) = 1. D'où 0,99999... = 1
La deuxième preuve est simple à comprendre et c'est évident.