なんで球の表面積って円の面積の4倍なの？
Vložit
- čas přidán 16. 07. 2022
- この動画は3Blue1Brownの動画を東京大学の学生有志団体が翻訳・再編集し公式ライセンスのもと公開しているものです。
チャンネル登録と高評価をよろしくお願いいたします！
補足１
「これは本質情報ですが」は元の動画では"Pro Tip"で、これは「ゾンビを倒すには死ぬまで撃つ」のような半ばジョーク的なアドバイスで使う言葉です。つまり100%真面目な文脈ではないです。
補足２
Proof 2について英語ですがRedditの投稿があるのでコメント欄と共にぜひご活用ください。
/ but_why_is_a_spheres_s...
補足３
7分13秒あたりの分子分母が逆なのではというご指摘については、これはスケールダウンのファクターなのでこのままで大丈夫です。つまり、これで長さを割ることになるので「何倍か」を考えると逆数になります。
元チャンネル（英語）
/ 3blue1brown
元動画（英語）
• But why is a sphere's ...
Music by Vincent Rubinetti
Download the music on Bandcamp:
vincerubinetti.bandcamp.com/a...
Stream the music on Spotify:
open.spotify.com/album/1dVyjw...
ちょうど先週数3の授業でやったばかりだから積分だけの証明じゃなくて図形的な証明加えるだけでめちゃくちゃ内容が頭に入ってくる
稀にいる話がとてつもなく上手い先生の講義受けてるみたいだ…
「損はないですからね」とか特徴のあるフレーズがあるのも先生っぽいw
曖昧だった知識が明確なものになるのは気持ち良いっすね…
編集が好きすぎる見てて楽しい
疑問に思ったことを次に説明してくれて、
なんの話だっけって思った時に振り返ってくれて
めっちゃ僕のこと好きじゃん
素人が「おいまてまてなんでそうなるんだよ」ってことをちゃんとわかっててしっかり戻ってくれるのすごく頭がいい人の動画なんだなって感じました
なおラスト４分で一気に置いていかれた模様
Me too
本家が伝えたい数学の面白さを、和訳によって誰でも楽しめるようにするのは素晴らしいことだと思います、本当に感謝
英語ができない日本人にも
私のようながっつり文系人間にもw。
1を10にすることって社会に必要ですよね。
本家のサムネを見かけて、これ翻訳版出してくれないかなあと思っていたうちの一つ。やはりとっても面白かった。投稿ありがとうございます。
これ投稿主が作ってるんじゃないんですか？
@@user-wm3kw1uy7m 概要欄にもありますが、3blue1brownという海外の方の動画を投稿主が有志で日本語翻訳したものですね
動くグラフ、動きと語りのタイミングが合っている、こんな素晴らしい動画はどうやって作れるんだろう。本当に感心します。
本家見た時からずっと待ってた。ありがとう
ただただこの語り口と声が好きすぎてリピートして聞いてしまいます🥺笑
内容は半分もついていけないのですが（おい）、この動画を通して数学って美しいんだなってはじめて感じることが出来ました。素敵な動画ありがとうございます。
視覚的にわかりやすく説明されているのが素晴らしいです。ナレーションもとても分かりやすいです。こんな教育を受けていれば、数学に興味を持つ人が増えるでしょうね(^_-)-☆
素晴らしい 話を聞いていく中で生まれる疑問全てに分かりやすく答えてくれるから置いてけぼりになることがない
内容は私には難しかったけど、アニメーションがとても芸術的で見ているだけで感動しました。内容もわかったような気になりました。すばらしい！
いい声だしめっちゃ分かりやすい
小学校の算数の教科書で、円周の長さと円の面積の関係の説明のために細かい三角形に分割する話が載ってたのが面白くて印象的だったんだよね
それは積分の学習の伏線になっていて教科書のエラいポイントでもあるわけだけど
球の表面積の話はそんな風に直感的に理解できず10年以上モヤモヤしていたから、この動画に出会えて良かったです
>モヤモヤしていたものが…
ものすごく共感します。この快感って、算数、数学を学んだものしか味わえないんでしょうね。しかも、今はこのようなイメージ動画でかっちりと感覚を直感的につかむことができる。良い時代になったものです。私のような、思いっきし文系の人間にも数学の素晴らしさが味わえますから。小中学生では、2:05まででも、十分に楽しめると思います。
>>それは積分の学習の伏線になっていて
今の教科書がどうなっているかは知りませんが、私の高校時代の数学の教科書では、積分の最初の説明は、「積分とは微分の逆操作です」というような、少々、強引な導入でした。確かに逆操作であることは間違いないのですが、積分という概念そのものに対する説明ではなかったため、「結局、積分って何なんだ」という本質的な疑問が解消したのは、大学に入ってからでした。
私は教育者ではないため、教科書編纂についてあれこれ言う立場にありませんが、積分を教える際、最初はこの動画のように、球の表面積を題材にするのが良いと思っています。
ところで、アニメ Fate プリズマ☆イリヤの中で、美遊が円錐の体積を求める際、小学生であるにも関わらず、積分を用いて問題を解いている場面があります。
そんな凄い小学生はアニメの世界だけだろうと思っていましたが、現実の世界にも、小学生で既に「大学への数学」を購読している児童もいらっしゃるようです。
「小学生には早すぎる」という意見もあるかもしれませんが、発展的な学習として、小学校の算数の教科書の中で積分について取り上げても良いと思います。
微積分を本質的に理解すると、数学の面白さ・凄さに気づかされます。しかし、そこまで数学を理解する前に挫折した人、面白さを知る機会を逃してしまった人が大勢います。これはICTがますます重要になり、数学力が重視されるこれからの時代、日本にとって大きな損失です。
数学の面白さに、可能な限り早い段階（出来れば、進路選択の重要な分岐点となる高校受験や大学受験の前）で気づくことができるような教育を期待したいです。（それが今回の動画のようにyoutube上でも良いでしょうし、あるいは別のプラットフォームでもいいかもしれませんが）
@@user-dq3ht8st5h😂 0:29
@@user-dq3ht8st5h
1.
2πR^2*sinθdθ：積分すると2πR^2[(-cosπ)-(-cos0)]
2．
2πR^2*sinθcosθdθ
3.
2を2倍角の公式で変形
1/2(2πR^2*sin2θdθ)
1の影の面積は角度2θの時の帯の面積の1/2(0
↑が正しい解説だけど、2倍角の公式と偶数番目云々が一般の方々にはハードルが高い。動画が謎掛けで終わっているのは、直感的な説明が無理だったためでしょう。むしろ後半はカットして、かわりに前半の円→三角形の等積変形をきちんと説明して完全な証明にしたほうが美しかったかな。。
9ヶ月前のコメントに失礼します。なぜ2番の答えが、1番の答えにcosθをかけた形になるのか教えていただけませんか？
いくら解いてもcosθではなくRcosθdθになってしまって...
@@user-sr2nd3ce3l
ほとんど合ってると思いますが…
Rcosdθに影のリングの内側の円周である2πRsinθを掛けると影の面積の近似かと思います。
私も覚えていなくて動画を見直しましたよ😄
問5は、輪の数を偶数個に分ければ、下から偶数番目の輪の面積を足すのと上か
ら奇数番目の輪の面積を足すのは同じことだと考えれば分かりやすいかもしれま
せんね。
日本語の表現も発音もかなり自然で、とてと驚きです。助かります。
東大の人が翻訳して話してるからね
凄く丁寧なつくりだなぁ、作者グループの情熱を感じるわ。使ってる数学アニメーションツールも素晴らしい出来のようだな。
これはすごい。めちゃくちゃ分かりやすい。
表面積と影の関係の話が楽しみすぎる
素晴らしすぎる内容で感動しました。
楽しそうに話してくれるから興味が持てて面白く見てました
5:33 「これは本質情報ですが」でニヤッとしてしまった
超スーパー分かりやすいです。こういう直感的なことも理解できると応用が効くのうみそになりそう。
素晴らしい！良い動画を翻訳するのはいい試みだと思います。
本質情報 助かる
疑問に思っていたが
説明が素晴らしい😊✨
数学って楽しい🎶💕
これは凄く爽快感ありますね
こういう授業がいい
「ここからが面白いんだよ」というパートが割愛されてしまう解説動画は多いですが、
この動画は、わかってますねえ。
眠れない日はいつもこの投稿者の動画を見てます
今の高校生って恵まれてるなぁ。
こんなに簡単に解説してくれる「教師」がインターネットの中にタダで存在しているんだもんな。
わかった！ っと思ったらすでにコメント欄にとても良く分かる方がいらっしゃったので、
厳密ではないけど、直観的にわかりやすい説明をしてみます......。
11:39 Q1
球面上の◎の面積を求めるためには、円の半径と、◎の幅がわかればよい。
内側の円の半径は、球を真横(y軸方向)から見て、Rsinθ
だから、その円周は半径に2πをかけて、2πRsinθ
［外側の円の半径はRsin(θ+dθ)になるけど、dθはとてもとても小さいから、あまり気にしなくてよい。4:13 ］
◎の幅はdθ(弧度法による円弧の公式...というか定義)だから、
球面上の◎の面積は
2πRsinθ×dθ= 2πR²dθsinθ
12:08 Q2
陰の部分の◎は、内側の円の大きさは球面上の◎と同じだけど、内側の円と外側の円の間の距離が短い。
7:12 と同じように相似な△を考えると、小さい△は大きい△のdθ倍になっている。
陰の部分の◎の幅、つまり小さい△の横幅は、大きい△の縦幅のdθ倍だから、
Rcosθ×dθ=Rdθcosθ
だから陰の部分の◎の面積は、これにQ1 で求めた円周: 2πRsinθ をかけて、
2πRsinθ×Rdθcosθ= 2πR²dθsinθcosθ。
12:22 Q3
陰の部分の◎の面積は、二倍角の公式を使って
2πR²dθsinθcosθ=πR²dθsin2θ
とかける。
これとQ1 で求めた球面上の◎の面積: 2πR²dθsinθ を見比べると、
ちょうどθを2θに変えて2倍したものになっている。
つまり、陰の部分の◎の面積は、θ(地球で例えると緯度)が2倍になったところの球面上の◎の面積の½ 。
12:44 Q4
北極(x, y=0, z=R)から緯度dθの間隔で地球をスライスして、たくさんの◎にわける。
そして、北極点に一番近い方から1番、2番、...と番号をつける。
Q3 から、
1番目の球面の陰の◎は、緯度が2倍である2番目の球面の◎の面積の½ 。
2番目の球面の陰の◎は、緯度が2倍である4番目の球面の◎の面積の½ 。
3番目の球面の陰の◎は、緯度が2倍である6番目の球面の◎の面積の½ 。
…というふうに関係づけられる。
12:59 Q5
すると、北半球の全部の陰を覆う面積は、偶数番目だけの球面の◎の面積の合計の½ になる。
つまり、円の面積の2倍は偶数番目だけの球面の◎の面積の合計と等しい。
また、偶数番目だけの球面の◎の面積の合計と奇数番目だけのそれは等しい。
［◎の幅、つまりRdθはとてもとても小さいから、隣り合う球面上の◎の面積は等しい。
……さすがに苦しいかな？］
ゆえに、円の面積の4倍は球面全体の面積と等しい。
本家を見て面白い物を小中学生の子供に見てもらっていました。
翻訳版、めちゃくちゃ嬉しいです！
昔からアメリカの教科書の方が読んで楽しく、理解しやすいですね。このシリーズは貴重。
専門的な事しか言ってないのに直感的に分かりやすく動画構成してるの普通に凄い。
ただ分かりやすく伝えることだけを考えてるのではなく、数学というエンタメをなるべくそのまま伝えるようにしてるのが個人的にめちゃくちゃ好感持てました。
中学で、世界地図についての説明を受けた時全然納得できなかったのですが、よく理解できました。
中学生に球の面積や体積の公式を教えるときに、微積分を使わずに教える方法に苦慮していたのですが、とても参考になる動画だなと思いました。
神動画やん
めっちゃおもろい
我々には積分という便利な道具があるため、表面積を出すことは容易いが
その結果を円の面積と繋げて考えるというのは他のことでも大事な姿勢だと思う。
5:54 ここで使われている映像表現のような、変数の変化による視覚的な変化を自身の頭の中でイメージする能力、つまり何かが変化した時、伴って変化する全てを含めた全体像を連続ししたビジュアルとして捉える能力は、学習の早い段階で獲得しておくことで非常に役に立つと思います。
実際、中学受験をするような小学生の一部は、すでにこうした能力を身につけ始めていて、あらゆる問題を解決する際に、問題の裏に隠された「こうなったらこうなる」を見つけだすのが非常にうまいのです。
数三の習ってようやく証明できるようになった時は勉強してきてよかったって思った
俺みたいなひん曲がった性格の「それがなんでそうなるの？じゃあなんでそれが？…以下略」を、納得できるまでとことん突き詰めてくれる素晴らしい動画でした。
こうゆう動画見つけると数学やってて良かったって思える
楽しい
😅
非常にありがたいです！
ミラーボール作ろうと思ってたんで助かる。
長方形を赤道付近が正方形で端っこほど細長くなるようにカットして９０度傾けて貼っていけばいいわけね。
こう言ったコンピュータグラフィックスを使った説明は視覚的分かり易さの究極と思います。
滅茶苦茶面白い
数学でいろんなアハ体験が出来る所も数学の面白いと思う所だと思ってます
まず4πR^2を円の面積の4倍と思わなかった
わかってから式見ると「当たり前じゃん」
ってなりますけど最初はそんな気付けないですよね
すばらしい・・・・ 試験のない数学はとっても美しいし、好奇心をかき立てる！
この人いい…
内容理解してながら話してるのめちゃいい…
声が良い
計算はさっぱりわからんけど、数学は面白いと思う
一応考えてみました。
Q1：輪の円周は2Rsinθ
Q2：影の面積は2Rsinθcosθ
Q3：3番目の影だったら6番目の影の半分
Q4：2n番目の輪っかの面積は、円のn番目の影の面積の倍(よって偶数番目の面積は円の面性の倍)
Q5：非常に細かく分割すると、奇数番目の輪っかの合計と偶数番目の輪っかの合計が等しくなるため、球の面積は4πR2
”2Θの球面上の帯の面積と、Θの球面上の帯の面積の投影面積が、伴って変化すること”の感覚的な理解が難しかったので、2パターンのイメージ方法を考えてみました。
パターン1（比例による理解）
Θの球面上の帯の面積はz軸からの距離に比例するのでsin(Θ)に比例．①
その投影面積はさらにcosΘに比例するので、sin(Θ)cos(Θ)に比例，つまりsin(2Θ)に比例．②
①から，2Θの球面上の帯の面積はsin(2Θ)に比例．③
②と③から、2Θの球面上の帯の面積は，Θの球面上の帯の面積の投影面積に比例する．
パターン2（増減による理解）
Θの球面上の帯は、Θが0°から180°まで増加するにつれてz軸からの距離が増加してから減少するため、面積も増加してから減少する。
Θの球面上の帯の投影面積は、Θが0°から90°まで増加するにつれ、z軸からの距離は増加し続ける(0→R)が幅は減少し続ける(RdΘ→0)ので、かけ合わせるとこちらも増加してから減少する。
これらを対応付けると、2Θ(0°≦Θ≦90°)の球面上の帯の面積と、Θ(0°≦Θ≦90°)の球面上の帯の投影面積は、どちらも増加してから減少するといえる。
個人的にはパターン1で考えてたら式としてはわかったけどイメージができなくて、パターン2でなんとなく考えてからパターン1の三角関数の考え方を組み込んだら大分感覚的に理解できるようになったと思います。
できれば球面上の帯とその投影面積の対応やそれらがどんな増減をするのかをアニメーションやグラフで動画にしたいところですが、残念ながらその技術力がないので誰か作ってください笑。
あと、10:16の翻訳バージョン限定(?)のメタツッコミ面白くて好きです。
素晴らしい解説。公式丸暗記じゃなく何故そうなるのか…を理解すれば暗記が知識となる…を実感。だから数学は面白い。
すごい動画だ。
翻訳が完璧なんだろうなぁ。
それに、元動画をしっかり理解していないとできない芸当だ。
ゆっくり見てるから全部見れてないけどおもろ！！
ちなみに、同じ材質で球体と長方形の物体を用意したら同じ重さになるんかな？
やっぱこのチャンネル面白いわ
だいぶ聴きやすくなった💕
論理も語り口もグラフィックも、美しいの一言に尽きますね。
編集がすっごい
こんなにわかりやすいのに自分の中の直感と乖離していて混乱します
すごすぎる
すげー！
ヒャッハー新しい数学だァー！
ご覧のように、数学は人を狂わせる力を持っています。なので数学は危険なのです。
学習意欲高めなゴロツキおるやん
理系はこうでないと
うp主と性格が真逆なコメ残すの草
世紀末《球》世主伝説
こういうのを見ると、
数学余計に好きになるわ笑
これで納得できる人はべつにそれでいいと思う
語呂合わせみたいな感覚で
死ぬほど分かりやす過ぎて死んだ
算数の話をしていて「理解できた！」と思ったら、終盤急に高等数学になった感じだけど、面白かった
この人の動画ってちょうど中３までの知識で理解できるよね
表面積を積分したら体積になることに気づいた時の感動は忘れない。
自然な日本語の中に時々香る異国詩情
これを高校の時に考えに考えて自分の頭で理解した時に、それが受験の助けにもなりました。
思ったけどこの翻訳してる人はこの数学を理解するのはもちろん、翻訳するために英語も得意じゃないといけないし、それを分かりやすく伝える為に国語もできないといけない…
ハイスペックすぎん？笑
気になって概要欄見たら、納得できる名前があったよ笑笑
理系と文系の頂点みたいな動画やな
直感的理解気持ち良すぎだろ！！！
なにこの最高の役立ち動画、映像もさることながら声も聞き心地よく素晴らしい
数学者の頭の中って、こんなイメージなんでしょうね。柔軟で、滑らかで、整理されたかんじ。
CGのクオリティーも高いですね。私もこう言う映像作りたいです。
これ前英語版を見てなんとなくしか分からなかったけど日本語版あったんですね
Dimensionsシリーズ並みに分かり易い素晴らしい動画だ…
こういう動画のコメント欄は全く荒れなくていいなぁ
そこ？w
めっちゃおもろい…
ここ2〜3年の学生って恵まれてるよな。CZcamsで検索したら頭のいい人たちがこんなことまで解説してくれるんだから。公式が覚えられなかった人たちって多分何でこの公式になるのか分からないから覚えられなかったのかな？
恵まれてるからこそ、最近上位勢がサイボーグ化してて、それより下の人にとっては辛いんよ...。（例:数オリのハードル上昇）
球の中心軸方向に向かって光(点の集まり)を当てたら円柱、球の表面が光の束によって切り取られる部分の当てられた光の点の数が等しいから、これを360°同じことをすれば直感的に球の表面積と円柱の側面積が等しいことが分かる
円の面積からより円周から導いたほうが積分に関連してると思うけど確かにその疑問は誰もが一度は思ったことがあると思うから
ありが投稿ざいます。
電子工学科で無線工学系の問題をやるときによく「球の表面積」が出てきましたね。
一様に帯電した球のから離れたところにある点Pにおける電界強度を求める的な奴だったお思います。
無線技術士の資格試験の勉強で問題を解いていた頃を思い出しました。
積分と言えば、小学生の時に三角形の面積の公式の「底辺×高さ÷２」が、長方形を対角線で切り取ると同じ三角形が二つあるので長方形の面積を「２」で割るというのはビジュアル的には理解できたのですが、なぜか「２」がピンと来ていなくて、その存在にモヤモヤしていたのですが(なぜモヤっていたかは自身でも不明)、その後積分を学ぶ段階で三角形の面積が一次関数Ｙ＝ａＸの定積分(及びＹ＝－ｂＸの定積分との和)の結果と知った時に「この２か！」とこれまた変な所で納得したのも思い出しました。
和訳にして労様しました、本当に感謝します。僕のような日本語専攻生にとっては、一石三鳥の動画ですね（日本語、英語、数学を同時に勉強できますから）。
そして、ほかの日本語を学ぶ中国人に、この吹き替え版の3blue1brownの動画を紹介したいですが、中国ではCZcamsを訪問するのはちょっと難しいので、国内で自由に訪れるサイトにうｐしたいですが、よろしいでしょうか。
もちろん、元のURLと元のチャンネルなどはちゃんと書いておきます、そして、商業などの不正の目的に使いません、ただ個人の趣味としてシャアしたいですけど:)。
高等数学のように元々難しい学問を、しかも他言語で理解するのはさらに難しいでしょうね。それでも、数式だけなら(ほぼ)世界共通の表記方法。(もっというと、概念だけなら宇宙共通！)加えて、我々東アジア文化圏には漢字という共通した文字文化があります。これらを駆使してこれからも学問に励んで下さい。加油！
@@kazsteinkreis8570 はい、頑張りますㄟ(≧◇≦)ㄏ
最後の物体表面積と影の法則は立方体の1面でも凹みがあったら凹みは影に反映されないから凹みが無いのが条件だな。あと丸めたティッシュとか光が当たらない所がある物体もだめそう。
数学弱者向けタイトルから繰り出される数学強者向けレクチャー好
シンプルでとてもきれいですね。
円周 円面積 球表面積 球体積 2πr πr^2 4πr^2 4/3πr^3 は rで積分した様な関係になってる
微積学んだとき1時間くらいかけて導き出せてめっちゃ気持ちよかった
結局、小中学校では円に関係する面積なり表面積なりは求められないといけない(義務教育として、国民全体の学でないといけない)という側面があるような感じ。小学生の頃はさっぱり理解できず(そもそも数学センスなかったし)中学で微分の定義式までは勉強したけど独学で、その後は非常に重苦しい内容だった。けれど極限の考え方がしっくりくるようになって、数学好きになったかも。だから先生によっては微積を小学生でも教えていいような気がする。
導入からもうワクワク
同じことだけど、コンピュータグラフィックスで確認しても同じ結果が出ると思う。円のシワの面積を性格に計算する必要があるけど。なんとなく
すっご
か、か、感覚で聞くのよ…私
空間的4次元を虚数軸の１つと仮定して考えると円筒は4次元目の軸が最大の長さを持つときに3次元スクリーンに投影された形。球は4次元目の軸が最小値になったときに3次元スクリーンに投影された形とも取れますね。
距離の2乗に反比例して互いに影響度が少なるのは、重力や磁気学で表現されますがそれは4次元目の空間軸の性質の結果だとも思うのです。まるで4次元目は実体化したくない意志を持っているように閉じる方向で安定するのです。その辺球やπが表す秘密と美しさがあると思うのです。