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这个是真的牛逼，希望多出点这种数学定理或概念背后的“思想”以及推导，帮助真的很大！！！
突然覺得好老師超重要 .... 淺顯易懂
還真的看懂了...厲害...你和那些數學家真不愧你們的職業
讲的很好，看了那么多'高深'的讲解, 听得迷迷糊糊，玄玄乎乎。就这个听懂了！感谢！！
这么多年终于明白了，大学白读了……好的老师太重要了
确定问题出在老师那吗?
@@yidezhang8480 哈哈哈..一針見血!
90%的问题，都是大学老师只会照本宣科。不会像视频这样讲。 所以学生只能学个形，学不到实！你觉得不是吗？毕竟在中国，有能力的人不一定就能在适合自己能力的岗位上。没能力的人，却能占着岗位占到退休。
啧啧啧
教材老师环境都很重要
为了避免被人嘲笑 我假装看懂并按了个赞
XD
请把高数的公式一个一个全部重讲一遍吧！！ 大学老师+网上巨多的视频课程，没有一个说人话的！
你说的是人话啊
好的资源很多啊 你。。。。你没一个能听明白吗😔
你是想靠科普视频成为数学家吗？差不多得了。还有 黑笔红笔 也很不错。更多就去看书吧
@@de-vv3rc 有没有一种可能是我想表达对作者劳动成果和知识的高度赞扬，只是是没用常见的表达方法而已。
大多老师只讲怎么算，很少讲背后的原理，为什么要这样算，很打消数学的乐趣和积极性。
我们以前的讲师就会照本宣科，把公式直接在PPT上打出来，让大家背。从来没讲过为什么要进行泰勒展开，有什么意义，出发点是什么。也就是从泰勒公式开始，高数课开始变难，睡觉的学生越来越多。。。
很多老师知识不少，但不会教人，悲哀呀
本科学这个完全不知道有什么用，直到开始做研究，发现线性化无处不在
本科的时候，一般几堂课老师就要一本，乃至几本书讲完了。另外，他们还要做科研项目、写文章来挣钱和评职称，本科生又不“干活”，连讲课都认为浪费时间。如果不是学校强行要求讲课，多数有项目的老师，都不会去讲课。
水杯啊
有些抽象的東西，得花時間去了解。短時間就要會，有難度。
f(0)的n阶导数说法有误，应该是f函数的n阶导数在0处取值。
這個真的是講的太好了 我工程數學讀了兩遍都沒理解好 這個視頻看一次馬上就懂了
我也是这样
現在終於知道所學的工數，真的是太清楚太佩服了
這個Taylor series...我大一時學了, 當時完全不明白為什麼好好的一個function要去approximate它... 到了masters 時學Ito calculus, 就覺得"都有一點點小用...還好吧"...讀博時, 到自己寫模型了...發現這taylor series簡直是神器呀, 能解萬千模型! XD
说人话
簡單來說你未讀博沒有寫數學模型的需求你會很少用
足好理解, 就因為好算
牛逼，茅塞顿开。激动地我泪牛满面！！！能在有生之年站在数学家的位置思考并探索很荣幸。
真的好強的教學，牛人，聽君一席話，勝讀十年書，感謝
可以看出，妈咪说当年读书的时候，是个学习很扎实的理工男。
太牛了，这是我听过的最言简意赅，又能听得懂的数学课
真正了解何為大道至簡 受教了🙏
看过最清晰从数学原理上的解释，果然是数学牛人。其实讲数学原理最好先说说历史背景，大牛们在什么应用背景下思考的。如果跳过一般凡人很难理解。
這證明...建立在一開始.... 假設兩函式等式成立 ..結果必然是如此....如何證明兩函式等式成立...才是真的證明泰勒展開式.利用線性代數 和 微積分無窮逼近的概念 即能證明 曲線擬合 在曲線擬合下 .. 假設才能成立.
因为大学的教程和老师都比较垃圾。常常前言不搭后语所以学生才学不会
@@maxl2950 同意,他一开始就假设了多项式能拟合可导函数,只是一个求an的过程,并没有证明多项式为什么能拟合一切可导函数
@@user-yi8nf8ng7d 大學老師負責發現問題給別人寫，可不負責解決問題
因為沒有時間解釋... 人家數學牛人好幾年的研究成果 你要在一年的工程數學學會.. 唉不說了 繼續讀工數
我当初考研的记忆口诀：开头一项最好记，三无阶乘四交替，奇偶性质有意义，三是at，t，l，四是at，s，c，l，每个函数的首字母，比如c就是cos（x），l就是ln（x+1）。
谢谢，听你的讲座，25年后我终于明白了关于泰勒级数的由来。知其然必知其所以然。高数教材里有一堆不定积分的公式，不知道能否推导。
昨天学的tayler series, 突然想起来妈咪叔有一集也讲这个，马上回来补习哈哈哈哈哈。（讲得比教授好多了）
太讚了！我之前都是硬背公式，都不知道怎麼來的，害我一直忘，真的很感謝！
喜欢妈咪说的这个讲解，合情合理，清楚明白，懂得了道理，就不用记了
太强了，讲得十分通俗易懂，之前一直觉得遥不可及
說的真的太好了，由衷感謝，終於明白了，原來也沒這麼高深
讲得太好了，浅显易懂，比高数课本上的看似高大上强多了
很开心！！！ 更加清晰透彻地理解了泰勒多项式 非常感谢！
那个“模拟路径”的描述，感觉很好，很直观
路徑部分我的高中物理學老師也是這樣教的，我很欣慰，不過沒有擴展到泰勒級數，畢竟那是數學專業。
妈老师，我发现一处笔误。一般化的泰勒展开式（以任意点a为基准点）应该为g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2*(x-a)^2....您把f(a)误写成f(0)了。
我也 发现写错了
对。写成0后，应该有了一个新的名字，叫麦克劳林
0算是a的特殊点，通式应该是a
朴实、清楚。喜欢您的课。亲切的东北音
这不是北京话？，听不出😂
后面还少了个高阶无穷小，我记得数学分析里面讲这里的公式是有的，大学数学系的，毕业几年还记得的，还有多项式那里高等代数里面第一章就是，讲的非常详细。工科数学的线性代数和高等数学都是应用型的教材，会用就行，老师也不回去给你讲那么深，数学系的是必须讲的，因为给后面大二大三的复变函数、实变函数打基础。
講解十分清楚, 謝謝老師！！！！！！！！
大学时高数老师直接就讲泰勒公式，根本没有什么铺垫。。。完全不明白公式的意义。这个讲的深入浅出，很好理解
微積分修完三年終於懂了...(躺平
非常棒，如果能有更好的可视化工具，那就厉害了。比如 3blue1brown搞的工具
太讚了，完全解惑！🎉
三小 看完直接懂工數，背後思想真的很有幫助
3blue1brown professor Leonard等等 CZcams上高手很多都讲的很清楚 B站上也有很多国内高校老师讲的很好。 不过这个博主的语言十分通俗易懂，一听就明白！
之前一直很迷惑，为什么知道一个点附近的导数信息，就可以完全知道整条数轴上全部的函数信息，诡异的是函数上的其他点距离求导点都非常遥远，现在我懂了
现在回想，泰勒展开是大一上学期就学的，就是微积分开始时候。那个时候对几阶导数都没有物理概念，所以那个时候用妈咪说的方法讲，大家也会是晕晕乎乎的。现在感觉这么容易懂，是因为微积分的概念已经深入思想了，对导数对近似都有物理概念。物理是基础。
真的說得很清楚 以前只知道被 現在這樣理解反而可以不用背了
古人有那麼複雜的頭腦?!泰勒級數的想法,應該是來自多項式的求常數項(上面影片有講到)例如一個多項式:F(x)=a(n)x^n+a(n-!)x^(n-!)+.......a1x+a其各項常式為f^n'(x)=a(n)/n!且x=0時(此式得為馬克勞寧級數,泰勒級數是令自變數x為x-b )=>f(x)=f(0)+f'(x)/1!+f''(x)/2!=..........fn'(0)/n! 所以反推,只要一函數可變多項式,必然可用上式方式求得多項式!!
讲得真好，通透！🙏
媽咪叔能把泰特展開式轉化為引人入勝的精彩小說15分鐘半的影片啪一下~就看完了很享受啊
讲的真好！读大学时候给泰勒展开虐了无数遍。
6刷😅感谢，每次学习都看到都有新的感悟
工科的话可以学习下数值分析会对这种“拟合”有更深刻的认识
不點讚不行，真的有讀通。多講解一些類似的題目吧！謝謝
感謝分享，真的有夠清楚
太神了 學到很多 感謝!!! 一直在想關於級數解最原本的泰勒展開到底是為什麼
课上：”求几阶导数，代入，套公式。能算，硬记吧“现在：“原来如此”
你是哪一届的？我是2005届的
嘿嘿，泰勒展开，早还给老师了，现在都不记得还回去的是什么东西了，哈哈。
高中数学教程没有讲到泰勒公式，只有高中数学奥利匹克竞赛的题目内容和高中物理奥利匹克竞赛的题目内容都提到过泰勒公式。 当然一般泰勒公式在大学数学和大学物理常用
那个 最后的泰勒展开式有点笔误吧 应该是f''(a)不是f"(0)吧～
网课老师为了讲一遍书上的内容，你讲课为了让听众知道这个东西是什么。要不要考虑把考研数学全部过一遍啊，哈哈
此频道第一个给高中生听的视频(误)
小哥，讲的很好，长的还挺帅的
后面的余项更精彩呀，要是能讲一讲就好了，我记得有一个是拉格朗日余项
真的牛，终于懂原理了！😅
老师讲的很清楚！不过有一个小问题：不知道理解a_n的通项可否理解为“对n次项求导才能得到n阶导”？感谢！
12:33 平移的说法不能理解。函数的平移是只改变自变量的，但是当泰勒展开式取值不一样的时候，系数也改变了呀，就像是 y=3(x-1)^2 不是y=2x^2仅仅通过平移就能得到的。
的确，麦克劳林是泰勒的特殊情况，但从前者似乎不能靠坐标平移直接导出后者。
@@jackietang2976 对呀，我觉得不是平移
讲的很好，但是最后的泰勒展开式一般式里有个小错误，应该f(a)的各级导数，不是f(0), 希望后期做一个余项的视频
（（附註 13:47的地方
f(0)就是馬克洛琳級數了但其實平常運算上使用馬克洛琳級數的機會很高
沒寫錯，是前面的f(a)要改成f(0)
@@user-bu5jj4zb2x 展開點在哪都搞不清楚，不懂別亂教= =
超級直觀，大推
终于明白了，对空导弹的跟踪算法，需要高阶导数运算，原来就是类似于泰勒展开的拟合。等到导弹和飞机的航迹拟合上了，呵呵！
哪里有讲这方面的视频啊
看凤凰军机处，有位空军嘉宾提及，早年空军招高中生，至少能理解导弹的高阶导数运算。当时似懂非懂，现在给妈咪小哥一说，就明白了。
航空航天用线性代数比较多
恐怖分子路过
別把數學弄那種地方比較好⋯⋯
非常感谢，讲的很清楚，当时高数学的一锅糊
你好，你讲得很好，比大学老师讲得好多了。请问你一个问题，你视频中的板书是用什么软件做的呢？写字这么方便流畅。谢谢！
哥說的真的太好了吧
超喜欢妈咪叔的视频 😊
很有意思，希望有更多關於數學的作品
媽咪說太棒了！！
謝謝老師!!酷
牛逼, 我終於搞懂了
那個筆刷的部分建議改成固定粗細不要感壓
找了一堆视频没看懂 你好棒哦
讲得很好！请问下 讲课用的笔是用的什么工具呢？哪个朋友知道的话请告知下
NB这个视频说的清楚！
g(x)的Taylor展开，最后写成了f(0)及f函数的各阶导数在0处值的表达，是不是可以一开始就换成f(x)等于blabla。不要额外增加函数，增加理解难度。
簡單易懂👍
太好了，感觉打开了新世界的大门，以前我是在学什么呀
后面最后通式那里的第n项括号里面应该是a，小问题
谢谢你的视频！
天啊超級無敵讚 已訂閱
太牛了！！！感謝分享！相見恨晚
要是大学老师都这样讲，世界就美好多了
超清楚的解說
謝謝分享!
好想重新上一次大学。。。
数学是美妙且精彩的，但也是复杂和抽象的，如果没有跟实际应用联系起来，而是直接学习，往往会觉得莫名其妙，弄这些干啥？当失去意义的时候，学习就不再有兴趣和动力了。
我覺太淺，可以說拓撲，或迫近法的太空電腦技術!
说的好
牛逼，一听就懂，学校里真的越听越晕
Great job
英雄出少年，真讚
教得好!!
我觉得，还是宇哥讲的好
13:52 是不是写错了？ 就不是 f‘（a）的一阶导至N阶导吗？怎么又变回f’（0）了？谢谢
是a, 写得像0了
厲害阿這個很好懂
謝謝你
东北口音很亲切
通熟易懂
这个是真的牛逼，希望多出点这种数学定理或概念背后的“思想”以及推导，帮助真的很大！！！
突然覺得好老師超重要 .... 淺顯易懂
還真的看懂了...厲害...你和那些數學家真不愧你們的職業
讲的很好，看了那么多'高深'的讲解, 听得迷迷糊糊，玄玄乎乎。就这个听懂了！感谢！！
这么多年终于明白了，大学白读了……好的老师太重要了
确定问题出在老师那吗?
@@yidezhang8480 哈哈哈..一針見血!
90%的问题，都是大学老师只会照本宣科。不会像视频这样讲。 所以学生只能学个形，学不到实！
你觉得不是吗？
毕竟在中国，有能力的人不一定就能在适合自己能力的岗位上。没能力的人，却能占着岗位占到退休。
啧啧啧
教材老师环境都很重要
为了避免被人嘲笑 我假装看懂并按了个赞
XD
请把高数的公式一个一个全部重讲一遍吧！！ 大学老师+网上巨多的视频课程，没有一个说人话的！
你说的是人话啊
好的资源很多啊 你。。。。你没一个能听明白吗😔
你是想靠科普视频成为数学家吗？差不多得了。还有 黑笔红笔 也很不错。更多就去看书吧
@@de-vv3rc 有没有一种可能是我想表达对作者劳动成果和知识的高度赞扬，只是是没用常见的表达方法而已。
大多老师只讲怎么算，很少讲背后的原理，为什么要这样算，很打消数学的乐趣和积极性。
我们以前的讲师就会照本宣科，把公式直接在PPT上打出来，让大家背。从来没讲过为什么要进行泰勒展开，有什么意义，出发点是什么。也就是从泰勒公式开始，高数课开始变难，睡觉的学生越来越多。。。
很多老师知识不少，但不会教人，悲哀呀
本科学这个完全不知道有什么用，直到开始做研究，发现线性化无处不在
本科的时候，一般几堂课老师就要一本，乃至几本书讲完了。另外，他们还要做科研项目、写文章来挣钱和评职称，本科生又不“干活”，连讲课都认为浪费时间。如果不是学校强行要求讲课，多数有项目的老师，都不会去讲课。
水杯啊
有些抽象的東西，得花時間去了解。短時間就要會，有難度。
f(0)的n阶导数说法有误，应该是f函数的n阶导数在0处取值。
這個真的是講的太好了 我工程數學讀了兩遍都沒理解好 這個視頻看一次馬上就懂了
我也是这样
現在終於知道所學的工數，真的是太清楚太佩服了
這個Taylor series...我大一時學了, 當時完全不明白為什麼好好的一個function要去approximate它... 到了masters 時學Ito calculus, 就覺得"都有一點點小用...還好吧"...讀博時, 到自己寫模型了...發現這taylor series簡直是神器呀, 能解萬千模型! XD
说人话
簡單來說
你未讀博
沒有寫數學模型的需求
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足好理解, 就因為好算
牛逼，茅塞顿开。激动地我泪牛满面！！！能在有生之年站在数学家的位置思考并探索很荣幸。
真的好強的教學，牛人，聽君一席話，勝讀十年書，感謝
可以看出，妈咪说当年读书的时候，是个学习很扎实的理工男。
太牛了，这是我听过的最言简意赅，又能听得懂的数学课
真正了解何為大道至簡 受教了🙏
看过最清晰从数学原理上的解释，果然是数学牛人。
其实讲数学原理最好先说说历史背景，大牛们在什么应用背景下思考的。如果跳过一般凡人很难理解。
這證明...建立在一開始.... 假設兩函式等式成立 ..結果必然是如此....
如何證明兩函式等式成立...才是真的證明泰勒展開式.
利用線性代數 和 微積分無窮逼近的概念 即能證明 曲線擬合
在曲線擬合下 .. 假設才能成立.
因为大学的教程和老师都比较垃圾。常常前言不搭后语所以学生才学不会
@@maxl2950 同意,他一开始就假设了多项式能拟合可导函数,只是一个求an的过程,并没有证明多项式为什么能拟合一切可导函数
@@user-yi8nf8ng7d 大學老師負責發現問題給別人寫，可不負責解決問題
因為沒有時間解釋... 人家數學牛人好幾年的研究成果 你要在一年的工程數學學會.. 唉不說了 繼續讀工數
我当初考研的记忆口诀：开头一项最好记，三无阶乘四交替，奇偶性质有意义，三是at，t，l，四是at，s，c，l，每个函数的首字母，比如c就是cos（x），l就是ln（x+1）。
谢谢，听你的讲座，25年后我终于明白了关于泰勒级数的由来。知其然必知其所以然。高数教材里有一堆不定积分的公式，不知道能否推导。
昨天学的tayler series, 突然想起来妈咪叔有一集也讲这个，马上回来补习哈哈哈哈哈。（讲得比教授好多了）
太讚了！我之前都是硬背公式，都不知道怎麼來的，害我一直忘，真的很感謝！
喜欢妈咪说的这个讲解，合情合理，清楚明白，懂得了道理，就不用记了
太强了，讲得十分通俗易懂，之前一直觉得遥不可及
說的真的太好了，由衷感謝，終於明白了，原來也沒這麼高深
讲得太好了，浅显易懂，比高数课本上的看似高大上强多了
很开心！！！ 更加清晰透彻地理解了泰勒多项式 非常感谢！
那个“模拟路径”的描述，感觉很好，很直观
路徑部分我的高中物理學老師也是這樣教的，我很欣慰，不過沒有擴展到泰勒級數，畢竟那是數學專業。
妈老师，我发现一处笔误。一般化的泰勒展开式（以任意点a为基准点）应该为g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)/2*(x-a)^2....您把f(a)误写成f(0)了。
我也 发现写错了
对。写成0后，应该有了一个新的名字，叫麦克劳林
0算是a的特殊点，通式应该是a
朴实、清楚。喜欢您的课。亲切的东北音
这不是北京话？，听不出😂
后面还少了个高阶无穷小，我记得数学分析里面讲这里的公式是有的，大学数学系的，毕业几年还记得的，还有多项式那里高等代数里面第一章就是，讲的非常详细。工科数学的线性代数和高等数学都是应用型的教材，会用就行，老师也不回去给你讲那么深，数学系的是必须讲的，因为给后面大二大三的复变函数、实变函数打基础。
講解十分清楚, 謝謝老師！！！！！！！！
大学时高数老师直接就讲泰勒公式，根本没有什么铺垫。。。完全不明白公式的意义。这个讲的深入浅出，很好理解
微積分修完三年終於懂了...(躺平
非常棒，如果能有更好的可视化工具，那就厉害了。比如 3blue1brown搞的工具
太讚了，完全解惑！🎉
三小 看完直接懂工數，背後思想真的很有幫助
3blue1brown professor Leonard等等 CZcams上高手很多都讲的很清楚 B站上也有很多国内高校老师讲的很好。 不过这个博主的语言十分通俗易懂，一听就明白！
之前一直很迷惑，为什么知道一个点附近的导数信息，就可以完全知道整条数轴上全部的函数信息，诡异的是函数上的其他点距离求导点都非常遥远，现在我懂了
现在回想，泰勒展开是大一上学期就学的，就是微积分开始时候。那个时候对几阶导数都没有物理概念，所以那个时候用妈咪说的方法讲，大家也会是晕晕乎乎的。现在感觉这么容易懂，是因为微积分的概念已经深入思想了，对导数对近似都有物理概念。物理是基础。
真的說得很清楚 以前只知道被 現在這樣理解反而可以不用背了
古人有那麼複雜的頭腦?!泰勒級數的想法,應該是來自多項式的求常數項(上面影片有講到)
例如一個多項式:F(x)=a(n)x^n+a(n-!)x^(n-!)+.......a1x+a
其各項常式為
f^n'(x)=a(n)/n!且x=0時(此式得為馬克勞寧級數,泰勒級數是令自變數x為x-b )=>f(x)=f(0)+f'(x)/1!+f''(x)/2!=..........fn'(0)
/n!
所以反推,只要一函數可變多項式,必然可用上式方式求得多項式!!
讲得真好，通透！🙏
媽咪叔能把泰特展開式轉化為引人入勝的精彩小說
15分鐘半的影片
啪一下~就看完了
很享受啊
讲的真好！读大学时候给泰勒展开虐了无数遍。
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不點讚不行，真的有讀通。多講解一些類似的題目吧！謝謝
感謝分享，真的有夠清楚
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课上：”求几阶导数，代入，套公式。能算，硬记吧“
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你是哪一届的？我是2005届的
嘿嘿，泰勒展开，早还给老师了，现在都不记得还回去的是什么东西了，哈哈。
高中数学教程没有讲到泰勒公式，只有高中数学奥利匹克竞赛的题目内容和高中物理奥利匹克竞赛的题目内容都提到过泰勒公式。 当然一般泰勒公式在大学数学和大学物理常用
那个 最后的泰勒展开式有点笔误吧 应该是f''(a)不是f"(0)吧～
网课老师为了讲一遍书上的内容，你讲课为了让听众知道这个东西是什么。要不要考虑把考研数学全部过一遍啊，哈哈
此频道第一个给高中生听的视频(误)
小哥，讲的很好，长的还挺帅的
后面的余项更精彩呀，要是能讲一讲就好了，我记得有一个是拉格朗日余项
真的牛，终于懂原理了！😅
老师讲的很清楚！不过有一个小问题：不知道理解a_n的通项可否理解为“对n次项求导才能得到n阶导”？感谢！
12:33 平移的说法不能理解。函数的平移是只改变自变量的，但是当泰勒展开式取值不一样的时候，系数也改变了呀，就像是 y=3(x-1)^2 不是y=2x^2仅仅通过平移就能得到的。
的确，麦克劳林是泰勒的特殊情况，但从前者似乎不能靠坐标平移直接导出后者。
@@jackietang2976 对呀，我觉得不是平移
讲的很好，但是最后的泰勒展开式一般式里有个小错误，应该f(a)的各级导数，不是f(0), 希望后期做一个余项的视频
（（附註 13:47的地方
f(0)就是馬克洛琳級數了
但其實平常運算上使用馬克洛琳級數的機會很高
沒寫錯，是前面的f(a)要改成f(0)
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哪里有讲这方面的视频啊
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簡單易懂👍
太好了，感觉打开了新世界的大门，以前我是在学什么呀
后面最后通式那里的第n项括号里面应该是a，小问题
谢谢你的视频！
天啊超級無敵讚 已訂閱
太牛了！！！感謝分享！相見恨晚
要是大学老师都这样讲，世界就美好多了
超清楚的解說
謝謝分享!
好想重新上一次大学。。。
数学是美妙且精彩的，但也是复杂和抽象的，如果没有跟实际应用联系起来，而是直接学习，往往会觉得莫名其妙，弄这些干啥？当失去意义的时候，学习就不再有兴趣和动力了。
我覺太淺，可以說拓撲，或迫近法的太空電腦技術!
说的好
牛逼，一听就懂，学校里真的越听越晕
Great job
英雄出少年，真讚
教得好!!
我觉得，还是宇哥讲的好
13:52 是不是写错了？ 就不是 f‘（a）的一阶导至N阶导吗？怎么又变回f’（0）了？谢谢
是a, 写得像0了
厲害阿這個很好懂
謝謝你
东北口音很亲切
通熟易懂