LA PREUVE QUE 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12
Vložit
- čas přidán 17. 01. 2024
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Une démonstration déroutante que je souhaitais vous partager depuis un petit moment... C'est chose faite 😊
L'erreur est d'appeler S une somme infinie, comme si cette somme convergeait, cad qu'elle était un nombre. Cela revient à manipuler +infini comme si c'était un nombre, ce qui est incorrect
Pour être vraiment exact, tu es autorisé à faire certaines opérations algébriques sur l'infini (que tu supposes être + infini) cf arithmétique sur R+^*, mais en revanche tu n'as pas le droit à priori de retrancher une quantité infinie dans une égalité, car ce n'est pas tout le temps bien défini
Enfaite la démo ici montre que SI la somme de la série est finie, alors elle vaut -1/12 mais ce n’est pas une équivalence.
je suis d'accord mais mon probleme c'est que il y a une difference entre une serie et une somme partielle, l'erreur ici c'est de vouloir trouver le resultat d'une serie, ce qui est tellement absurde. Pourquoi vouloir la manipuler comme une somme partielle??
Tu dis que c’est une erreur et pourtant cette valeur est utilisée en physique par exemple avec “l’effet Casimir” et a été mesuré expérimentalement. Finalement est-ce que c’est vraiment une erreur ?
@@sebastienlatchman4990 C'est une erreur dans le domaine des mathématiques "traditionnelles", qui interdit de traiter des sommes infinies divergentes comme si c'était des nombres finis. Néanmoins, il peut tout à fait y avoir des domaines d'applications si on étend ce domaine. Ainsi les nombres complexes permettent de gérer les calculs des courants alternatifs avec la même facilité que les courants continus. Pourtant, racine carré de -1 est une erreur dans les nombres réels.
Il parait qu'un physicien (ou autre scientifique) tentait de démontrer une propriété complexe, dans son domaine, mais qui fût bloqué dans ses calculs, à un moment donnée, par la présence de cette somme infini (1+2+3+4+...) N'ayant plus aucune issue sérieuse, il avait entendu parler de mathématiciens un peu loufoque, qui prétendaient avoir démontré que cette somme était égale à -1/12.
Du coup, foutu pour foutu, il tenta d'utiliser ce résultat, en restant dubitatif, pour terminer ses travaux en physique-chimie, et ainsi parvenir à sa formule.
Or, il s’avère qu'ensuite, toutes les expériences menée, dans la pratique ont toujours validé sa théorie !
Comme quoi, l'Univers est plus complexe et mystérieux qu'on l'imagine :)
L'effet Casimir ?
Oui ce résultat est juste ! :
czcams.com/video/xqTWRtNDO3U/video.html Un mathématicien qui cadre correctement ce calcul et fait une allusion a un autre résultat mathématique encore plus fou.
czcams.com/video/jyQ_hUVI4Gk/video.html Un physicien qui donne une utilisation concrète (effet Casimir) et une abstraite (théorie des cordes) physique de se résultat et démontre ce résultat en remplaçant l'infinie par une suite fini indéterminé très grande.
rien que la somme A on peut à peu pres lui donner la valeur qu'on veut à partir du moment où on admet que l'associativité et la commutativité de l'addition ne volent pas en éclat au passage à l'infini:
A=1-1+1-1+1-1+....
En utilisant l'associativité : A=(1-1)+(1-1)+(1-1)+.... => A=0+0+0+0+0+... = 0
ou encore A=1 + (-1+1) + (-1 +1) + (-1+1).... => A = 1+0+0+0+0+ => A=1
avec la factorisation on peut avoir A=1/2 comme dans la vidéo, mais en cherchant bien on doit pouvoir faire 1/3, 1/4 ou n'importe quoi d'autre !
Bref comme souvent le passage à l'infini fait sauter les propriétés usuelles et il convient de faire attention et de les redémontrer au cas pas cas
ABSOLUMENT : le passage à l'infini ne permet plus d'utiliser les propriétés de commutativité, d'associativité, de factorisation, qui ne sont valables que pour les ensembles FINIS.
Pourtant plusieurs mathématiciens comme Euler, Riemann, Ramanujan ont étudié cette égalité comme l’explique Mickael Launay sur sa chaîne Micmath.
czcams.com/video/xqTWRtNDO3U/video.htmlsi=lfivzpplHnMlv7Ir
Malgré le résultat contre intuitif, la démonstration n’en est pas pour autant fausse.
Cette particularité est liée à un des plus gros problèmes mathématiques non encore résolus : l’Hypothèse de Riemann.
De plus, comme l’explique Mickael Launay, un physicien, dans le cadre d’une étude en mécanique quantique est arrivé à cette somme infinie (1+2+3…).
Il l’a remplacé par -1/12 et le résultat est cohérent des mesures expérimentales. Effet Casimir.
Étonnant …
Pouvez-vous en dire plus ?
Si, cette démonstration est fausse, on peut arriver à montrer que 0=1 avec ce genre de démonstration. Par contre la valeur de la fonction zeta de Rieman en -1 est bien -1/12
Le problème c'est le signe =, ce n'est pas le signe qui convient ici.
@@__-1234 je ne suis pas sur de comprendre. En effet zêta(-1) est bien 1 + 2 + 3… jusqu’à l’infini.
Le résultat serait donc bien -1/12 mais la démonstration est fausse ?
Hors je ne vois pas d’erreur dans la démonstration.
De plus, le signe = ne me choque pas non plus. On écrit bien lim f(x) = 5 par exemple quand x tend vers l’infini.
Pourquoi ne pourrions nous pas écrire somme de n de n=1 à plus l’infini = -1/12 avec le même raisonnement ?
C’est troublant !
@@didierlesaunier2215 En fait zeta(-1) est une série divergente, car zeta ne converge que pour z dont la partie réelle est > 1.
zeta diverge pour tout le reste du demi plan complexe (partie réelle
@@__-1234 Merci beaucoup pour votre réponse.
@@didierlesaunier2215 En fait, la démonstration n'est pas fausse. C'est un peu plus subtil que ça. Mais comme c'est assez fouillé, la plupart de ceux qui ont étudié en maths passent à côté du sens de ces calculs et de cette égalité. Les réponses de 1234 ont du vrai, mais il ne cerne pas totalement le sujet et tire donc des conclusions erronées.
ça serait cool d'avoir la suite avec l'explication des faux raisonnements :)
Tout ce qui repose sur le fait d'utiliser une série qui ne converge pas vers un nombre défini comme s' il s' agissait d'un simple nombre, est biaisé.
la faute c qu'on ne peut rien faire avec l'infini, ni additionner ni soustraire ni ajouter un nombre ....ni rien, infinie + infini ne vaux pas 2 infini et infini -infini ne vaux pas 0 aussi infini / infini ne vaux pas 1 ... , donc toute manipulation avec l'infini est fausse
Une tentative d'explication : ce qu'on a montré, c'est que si la somme Sn = 1+2+3+4+...+n admet une limite quand n tend vers + l'infini, alors -1/12 est une valeur possible. Or la suite diverge au sens classique, donc n'admet pas de limite au sens classique. C'est un peu comme quand on résout une équation et qu'on trouve plusieurs valeurs possibles pour x, mais que certaines sont interdites. Ici, une valeur candidate de la limite est -1/12 mais est interdite car la limite n'existe pas. Par ailleurs, voici un autre raisonnement qui permet de trouver une autre valeur de limite possible :
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + ...
S = 1 + (2+3+4) + (5+6+7) + (8+9+10) + ...
S = 1 + 9 + 18 + 27 + ...
S = 1 + 9*(1+2+3+...)
S = 1 + 9*S
S - 9*S = 1
-8*S = 1
S = -1/8
Quand on joue avec des sommes infinies qui divergent, on peut leur trouver à peu près n'importe quelle valeur de limite... puisque ces limites n'existent pas au sens classique de la convergence.
@@julienmarcinkowski1546 Oh, j'aime beaucoup la comparaison avec les solutions candidates des équations !
@Igdrazil
La base du raisonnement est A=1/2.
Pourquoi ne pas écrire A=1-1+1-1+1-1+... =(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+...=0?
Dans ce cas, on aurait un prolongement analytique vers une autre valeur !
Merci pour tes démos passionnantes continue comme ça !!🎉
A mon avis, c'est vraiment pas bien de faire des vidéos de ce style au niveau lycée ou moins ; cette somme n'est qu'un prolongement par continuité de ζ(-1) et ne correspond à aucune réalité. En effet, avant d'effectuer des calculs, il faut s'assurer du domaine de définition utile c'est comme dire que 1/0 =2.
Avant d'utiliser les sommes ∞ il faut au moins s'assurer qu'elles signifient quelque chose. la somme 1+2+3+... ne vérifie pas le critère de convergence donc on ne peut pas la calculer avec les lois d'addition normales, c'est d'abord ça l'important.. faire des calculs à partir de là c'est faire n'importe quoi !
exemple encore plus simple, je vous démontre que 1=0 en deux lignes !
en effet soit N=1+1+1+.....1+1 +....1 jusqu'à l'infini
et alors N=1+ (1+1+1+.....1+1 +....1 jusqu'à l'infini). on reconnait N dans la parenthèse, il vient donc que N=1+N soit que 0=1
Pour être complet "l'égalité" par continuité ζ(-1)=-1/12 est utilisée en physique dans l'effet Casimir (non, pas le dinosaure !) pour calculer l'effet d'une somme infinie de fréquences et évaluer la force entre deux plaques métalliques placée dans le vide absolu (une histoire d'E₂PZ)
Même quand ça converge on ne peut pas faire de calculs "normal", par exemple 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5... = ln 2 et si on veut juste appliquer l'associativité de l'addition en réarrangeant les termes (1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8... = 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 = (1/2) ln 2. Les deux séries sont parfaitement égales à leur résultat mais évidemment 1 n'est pas égal à 2 et donc les séries ne sont pas égales, donc réarranger des termes dans une série infinie, même convergente, ne peut être fait que sous certaines conditions
@@kaviramyead7987 Tout à fait ! On ne peut pas appliquer l'arithmétique de Peano sur de telles sommes. Pour les manipuler il faut d'autres théories dépassant l'arithmétique, qui sont, pour la plupart basées sur la topologie, l'analyse, voire même analyse complexe, ces notions ne sont qu'abordées dans l'enseignement supérieur, ce pourquoi il est assez peu opportun de les traiter à un niveau collège/lycée.... sauf pour rigoler.
Bon divertissement ! mais je suggère de mentioner le terme "paradoxe" dans le titre. Bien sur la sommation par paquet ne peut pas avoir de sens si la serie ne converge pas!
Très belle somme 😂😂 je me souviens d'une démonstration semblable chez micmath où il lui donne une application en physique donc ce n'est pas aussi absurde.
Le prof de maths qu’on aurait tous rêvé d’avoir ❤
Nous oui. Les eleves d'aujourd'hui non. Ils seraient infectes avec lui.
J'adore ces vidéos ou on fait des séries et on explique en parallèle comment calculer une fraction 😂
Le souci tient au fait qu'on a fait des opérations dans l'ensemble [ -infini ; +infini ], alors qu'elles ne sont possibles que dans R=] infini ; + infini [.
Autrement dit : les opérations n'ont de sens qu'avec des nombres finis, ce que n'est pas S.
Non ce résultat est juste ! :
czcams.com/video/xqTWRtNDO3U/video.html Un mathématicien qui cadre correctement ce calcul et fait une allusion a un autre résultat mathématique encore plus fou.
czcams.com/video/jyQ_hUVI4Gk/video.html Un physicien qui donne une utilisation concrète (effet Casimir) et une abstraite (théorie des cordes) physique de se résultat et démontre ce résultat en remplaçant l'infinie par une suite fini indéterminé très grande.
@@tiper2107 Non, ce résultat est faux, désolé. Car la démonstration est fausse, à cause de ce qui est mentionné ci dessus. Ce qui est vrai, c'est que l'extension de la fonction Zeta de Riemann en -1 vaut -1/12. On peut donc associer -1/12 à la somme 1+2+3.... mais ce n'est pas une égalité au sens arithmétique du terme, ce qui est évident vu que l'un est toujours positif et l'autre négatif. Et oui, c'est très utile en physique, mais il faut comprendre justement dans quel contexte cette association a un sens.
@@__-1234 Je connais pas la fonction zeta donc je comprend pas ton explication pour moi cette égalité est aussi vrais que 0.999999... = 1 ou que i²=-1.
Dans le contexte ou cela a un sens ce n'est pas une association mais une égalité au pire j'accepte que l'on dise que c'est une convention comme √0=0.
edit : J'ai cherché un peu, la convention mathématique n'exprime pas ce "contexte" avec une notation différente de = mais une notation différente de ∑ en rajoutant un R au dessus en l'honneur a son découvreur.
Je pense qu'il fait les calculs sur R barre : R union {-infini ; +infini}. Mais même avec ça, ça me paraît faux x)
@@FuIbion Je n'est pas de caractère pour écrire ∑R. Le R est au dessus signifie somme de Ramanujan, le mathématicien indien autodidacte de génie ayant appris les mathématique avec un seul livre et connu grâce a un autre mathématicien anglais avec qui il échangeais des lettre alors qu'il était enfant et mourrait de faim.
Ce résultat fut déterminé par Ramanujan et est important car il est utilisé dans le calcul de l'effet Casimir et le calcul de l'énergie du vide
Ramanujan avait évidemment conscience que la somme de tout les entiers naturels est infinies, lui a démontré que la sommation de tout les entiers naturels est égale à -1/12
Mais comment peut-on utiliser une théorie fausse pour des choses réelles ?
@@alexissox6 Ça s'appelle l'économie... :)
@@kennethshowers9144 je n'ai pas du tout compris ta réponse
Mea culpa. Les "sciences" économiques sont basées sur une théorie fausse, en ne comptabilisant pas les ressources, et prétendent pourtant s'occuper du réel.
Prolongement analytique de zêta en -1 ?
Initialement on prouve que la fonction zeta, sous la forme de somme des 1/n^s (dans la vidéo s = - 1), est définie pour les nombres complexes s de partie réelle strictement plus grande que 1 (et -1 n'en fait pas partie). Cependant, avec des outils d'analyse complexe, on peut montrer qu'il existe une autre formule de la fonction zeta qui coïncide (est égale) avec la somme des 1/n^s pour les s de partie réelle strictement plus grande que 1 (en l'occurence ici on dit qu'on a un prolongement méromorphe de zeta sur C, en gros c'est une fonction qui prend les mêmes valeurs que la somme des 1/n^s quand s est de partie réelle strictement plus grande que 1 et qui est dérivable sur les complexes sauf sur un certain ensemble que je vais pas expliciter ici). L'erreur provient alors du fait que lorsqu'on calcule zeta(-1), il faut avoir en tête que l'on utilise l'autre fonction (celle qu'on appelle prolongement, et ce prolongement de zeta, lorsqu'on l'évalue en s = -1, on trouve bien -1/12) et pas la somme des 1/n^s vue que cette somme a un sens que si s est de partie réelle strictement plus grande que 1 (mdr sorry pour les répétitions).
Cette somme dans la vidéo ne vaut donc pas -1/12, on dit elle diverge vers +infini (et oui, votre intuition ne vous jouez pas de tours ici). En fait vue que cette somme diverge, il y a théorème en maths qui nous dit pour ce genre de somme, étant donné n'importe quel nombre que vous prenez au départ, on pourra toujours trouver une manière/un ordre d'en sommer ses termes et dont le résultat final vaut ce nombre préalablement choisi, autant vous dire que cette somme ne vaut vraiment pas -1/12. Après, de ce que je sais (ce n'est pas mon domaine), le fait d'attribuer la valeur -1/12 à cette somme est assez naturel en physique et marche plutôt bien... pourquoi ? comment ? je ne sais pas hahaha...
🙂👍. Moi non plus je ne sais pas. Je me dit qu'il doit y avoir un truc que l'on ne précise pas quant on ramène l'anecdote de l'effet Casimir. Par exemple si j'écris 19=7 sans préciser "modulo 12" et que je dit que c'est vérifier par les maths et l'expérience dans le monde. Ou alors que je dit "la somme des angles d'un triangle ne fait pas forcément 180⁰" en oublient de préciser que je ne parle pas forcément de géométrie plane, mais que j'inclus la géométrie sphérique et/ou hyperbolique. Alors ce qui est vrai dans mon affirmation n'est pas ce que je laisse comprendre de cette affirmation.
Peut être mon commentaire que j'avais écrit à l'occasion de cette vidéo vous intéressra. Je fait donc un copier-coller.
On peut prouver que 1+2+4+8+...=-1. pourtant c'est faux. Mais 1+x+x²+x³...+x^n=(x^(n+1)-1)/(x-1). Si |x|
J'ai un problème quand vous ajoutez B à lui même vous ne justifiez pas le décalage de façon logique.
Juste " on peut le faire"
Pour cette explication je préfère la version de Michel Launay.
Mais j'adore vos vidéos qui me permettent de me maintenir en math. Merci
Ni a Ni B, dans un DS de math il aura 0/20
Ahh ça fait plaisir de le voir sur la chaîne celui là !
Effet Casimir, quand même ! Pour un raisonnement défaillant, c'est pas si mal.
En effet et même mathématiquement, ce résultat peut se démontrer plus rigoureusement si on s’efforce à vouloir attribuer une valeur à cette somme
@@hedselh6539 Ce n'est qu'un prolongement par continuité, c'est comme dire que sin (0)/0=1 alors que la valeur n'existe pas.
exquis ! c'était tout simplement un régal ;)
Et pourtant ce résultat fonctionne en physique, notamment pour l'effet Casimir. Mais il est aussi utilisé en physique théorique avec la théorie des cordes (entre autres)
J'allais le dire, tu as été plus rapide.
Alors ça fonctionne mais on a d'autre moyens que les additions de sommes infinie de prouver que ce résultat peut avoir du sens.
Une façon claire de voir que les additions terme a terme de sommes infinies comme pratiqué dans cette vidéo sont une mauvaise pratique, c'est que ça peut conduire à des résultat inconsistants.
@@uther2603 Tout dépend des règles qu'on utilise. Rien ne dit que *tout* système de règles est incohérent.
Ah quand meme ça a une application ? ^^ . Mais alors c quoi l'effet Casimir ? Si on admet vraiment de la somme d'entiers positifs vaut -1/12,alors on devient un dynosaure orange ??? ;).
@@vincentdescharmes7897 L'effet Casimir est la force qui attire deux plaques parallèles conductrices de courant (non chargées) et placées dans le vide, l'une vers l'autre. C'est assez étrange comme phénomène.
La physique quantique explique ceci par la fluctuation du champ quantique électromagnétique.
Pour mieux comprendre, je conseil de se renseigner sur la théorie quantique des champs.
Enfin, cette somme infinie que l'on appelle une somme de Ramanujan donne effectivement des résultats cohérents dans le calcul de ladite force. Les mathématiciens n'expliquent pas encore totalement pourquoi ça fonctionne. Plusieurs théorie ont été cependant proposées.
Prochaine vidéo sur le prolongement analytique de la fonction zeta de Riemann... Niveau collège, large !
Une autre manière de voir les choses : czcams.com/video/jyQ_hUVI4Gk/video.html
Si je me souviens à peu près de mes cours d'analyse de L2, si on veut essayer de trouver une valeur à A = 1 - 1 + 1 - 1 + ... il faut plutôt écrire
A = Σ( ( -1)^n ) et ensuite déterminer si la série converge. C'est une série alternée car on peut l'écrire Σ( (u_n)*( -1)^n ) avec (u_n) de signe constant (u_n = 1 pour tout n). Comme u_n est constant et différent de 0, (u_n) n'est pas décroissante vers 0, donc la série ne converge pas donc on ne peut pas lui attribuer de valeur limite, donc A est une forme indéterminée, et là par contre j'ai un doute mais je crois qu'on peut dire que la série a 1 et -1 pour valeurs d'adhérence car lim u_n = L avec L différent de 0 donc les valeurs d'adhérence sont L et -L (1 et -1).
@anoomage petite erreur, les valeurs d'adhérence sont 1 et 0. Tu peux le remarquer par si n est impair sa va être égal à 1 et 0 si n pair.
@@HououinKyoumaSG oups ! J'ai bien fait de bifurquer en info
Les valeurs d'adhérence de u_n sont bien 1 et -1. Les valeurs d'adhérence de A_n sont 0 et 1 (ou -1 si le 1er terme est (-1)^1)
On ne peux pas soustraire 2 séries valant +∞
Explication: prenons: S= 1+2+3+4+5+6+... comme dans la vidéo
Et calculons S-2S+S :
S= 1+2+3+4+5+6+...
-2S= -2 -4 -6 -8-10 -...
+ S = 1 +2+3+4 +....
En additionnant en "colonne" on obtient donc: S-2S+S = 1+0+0+0+0+... = 1
Or S - 2S + S = 0 (logique c'est comme x-2x+x)
Donc 1=0.
Autrement dit, il y a une absurdité dans les hypothèses: On a supposé dans la raisonnement qu'on peux manipuler des séries infinies comme on veut, mais ce n'est pas le cas.
Nul part, le raisonnement n'a été "on peut manipuler les séries comme on veut"
1-2+1 = 1 ? J'ai du mal à suivre d'où sort ton 1.
De mon côté, en additionnant en "colonne" j'ai bien 0+0+0+0+0+0 ...
Déjà avec A il y a un problème, le fait de de dire A = 1 - A est faux. Si on extrait un "1" puis on rajoute la suite complète de A, alors l'égalité n'est plus juste, il faut équilibrer et rajouter un 1 aussi de l'autre côté.
Avec B, il y aussi un problème, on ne peut pas décaler l'addition sinon on pourrait aussi la décaler de 2 crans, ou de 3... et le résultat serait totalement différent en calculant 2B, on aurait par exemple : 2B = 1 - 2 + 4 - 6 + 8 .... ou 2B = 1 - 2 + 3 - 3 + 3 ....
En fait avec ce genre de manipulations on peut arriver à toutes sortes de résultats avec cette suite, S = -1/12, S = 0, S = 349....
Je l'attendais celui là ^^
5:00 et si on décide arbitrairement comme pour calculer B à partir de A de décaler vers la gauche ? S - B = 1 + 1 + 5 + 9 + 1 + 13 ... Alors ?
-1/12 est une valeur mathématique différente de la limite de n(n+1)/2 quand n tend vers +∞ (=+∞).
Très très fort mon prof !
Awesome ❤
-1/12 est égale à l'intégral (de x=-1 à x=0) de f(x)= x(x+1)/2
Ce qui me dérange le plus c'est que l'on parte du principe que A = 1/2.
Si on groupe les termes différemment, par exemple 2 à 2 en partant du 1er, on obtient que A =(1-1)+(1-1)+(1-1)..... donc A = 0
Et si on groupe les termes 2 à 2 en partant du 2éme, on obtient que A = 1-(1+1)-(1+1)... donc A = - ∞
Dans ces 2 cas, la démonstration ne tient plus.
Donc comment peut on se baser sur un choix arbitraire pour décider quelle est la valeur de A
En regroupant les termes à partir du deuxième, ça fait A = 1-(1-1)-(1-1)-(1-1)... = 1. Pas - ∞
Pour faire simple, le problème de ces regroupements, c'est que tu as besoin de "finir" un regroupement pour que ce soit valable. Donc dans le premier cas tu pars du principe que la somme se fini par "-1", et dans le deuxième cas qu'elle se fini par "+1". Hors, elle ne se fini ni par -1, ni par +1 : elle ne se fini pas, elle est infinie.
C’est normal que le résultat soit absurde. C’est une série infinie dite divergente et d’ailleurs pour la série 1 - 1 + 1 - 1 .. si on considère qu’il y’a un nombre paire infini de 1-1 la somme donnerait 0 et si il y’a un nombre impair infini de terme tu as 1. Tu obtiens plusieurs résultats différents suivant la façon dont tu attaque la somme
Oui effectivement même si dire que l'infini est "pair ou impair" n'as pas vraiment de sens puisque c'est même pas un nombre l'infini :/
B=1-2+3-4+5-6....
1-2=-1
3-4=-1
5-6=-1
et ainsi de suite.
Donc B est une somme infinie de termes égaux à -1.Donc B; c'est moins l'infini.
A=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1...
1-1=0
Donc A est égal à une somme infinie de terme nuls. Donc A=0.
je connaissais déjà cette démonstration mais à chaque fois que je la vois mon cerveau explose...
Cela doit cacher quelque chose de profond (en particulier concernant l'effet Casimir en physique pour ceux qui connaissent) à moins qu'il n'y ait un loup quelque part. Pour ma part, je bug, mon cerveau se refusant à consentir que cette somme ne diverge pas, ne tend pas vers plus l'infini ....
On peut prouver que 1+2+4+8+...=-1. pourtant c'est faux. Mais 1+x+x²+x³...+x^n=(x^(n+1)-1)/(x-1). Si |x|
@@chimondavidnaouri6762
Merci pour ta superbe explication. j'y vois un tantinet plus clair désormais ! 🙏👍
@@fabrice9252 avec plaisir 😊👍
Bonsoir 🙂.
J'ai fait une vidéo dans laquelle j'explique pourquoi dans certaines séries divergentes on ne trouve qu'une seule valeur possible(contrairement à 1+2+3+4+... Il y a quelqun qui a fait 2 vidéos ou il trouve -1/8. J'ai fait des vidéos ou je trouve encore autre chose. Je donne le lien de ces différentes vidéo dans la description de ma vidéo). Je précise d'avance que ces séries sont réellement différentes de ces valeurs, malgré que par calcul on arrive pas à trouver autre chose. J'explique tout ça dans ma vidéo.
czcams.com/video/GA08gl6jlD4/video.htmlsi=FXThuEhNMP1E3kQo
Ne vous arrêtez pas aux 7 première minute de la vidéo. Car la vraie démonstration(celle qui explique pourquoi on arrive pas à trouver autre chose) commence à partir de la 7 ème minute.
Explications très limpides .Merci à vous de nous instruire contrairement à certains profs qui sont assez doués pour nous démotiver par des démonstrations alambiquées.
Cette somme n'est pas si absurde que ça parce qu'elle ressort exacte dans un phénomène de la physique : l'effet Casimir, l'énergie du vide. Dans l'équation du physicien Casimir apparaît un facteur sous la forme de la sommation de tous les entiers naturels et aboutit à une énergie infinie pour le vide entre deux plaques conductrices sauf si on remplace ce facteur par -1/12. Et le résultat du calcul correspond au résultat obtenu en laboratoire. Pour nous, cette manipulation mathématique ne semble être qu'un jeu de tour de passe-passe mais la nature en a apparemment décidé autrement.
Bien explique merci
Franchement j’ai rien compris pour le coup j’ai juste continué à regarder parce que j’aime bien ton énergie 😂
Les sommes A et B sont divergentes donc pas de valeurs possibles !
C'est faux. Les séries divergentes ont des valeurs. Mais comme les profs en parlent (ou les connaissent) rarement, les explications ne permettent pas de bien comprendre ce qui se passe.
@@algebrilleexceller3455 "ont des valeurs", je dirais plutôt "on peut y associer des valeurs" non ?
@@__-1234 Oui cest vrai, meme si par abus, les 2 ont le même sens.
On fait pareil pour une série convergente : on parle de "sa" valeur; alors qu'on en lui associe une.
@@algebrilleexceller3455 Oui, tout à fait , je n'avais pas pensé à cela
Ce qui me titille quand même, c'est que la valeur d'une série (des entiers naturels) soit plus petite que la série alternée des ces entiers naturels🧐. C'est pas logique. Passons le fait que le résultat soit une fraction.Mais bon, on n'est pas à un paradoxe près quand on touche à l'infini 🥸 Limpide comme toujours, merci 👍
Par Micmaths pour trouver B on a fait B-A qui fait B donc 2B=A
Merci pour cette vidéo. Du coup...
- Que penser du mathématicien qui a mis cela le premier en avant ? Un charlatan, ou bien juste quelqu'un voulant nous faire une sorte de démonstration par l'absurde ?
- Une telle addition (sans parler du résultat) est-elle valide en mathématiques ?
- Du coup, quel serait le résultat correct ? Une impossibilité ? Un nombre infini ?
Numberphile vient de sortir 2 nouvelles videos coup sur coup sur le sujet!
czcams.com/video/beakj767uG4/video.html
czcams.com/video/FmLIGN8ZGdw/video.html
Tout le monde est d'accord avec -ou a admis- cette démonstration.
Toutefois : d'où proviennent A et B ?
Personne ne l''explique jamais, et franchement, dans le genre sorti du chapeau, ça se pose là.
« Pourquoi "1-2+3-4…" ? » et « Pourquoi "1-1+1-1+1…" ? »
Je n'ai pas encore vu de réponses à ces questions dans les vidéos qui proposent cette démonstration, mais peut-être n'ai-je pas cherché aux bons endroits 🤔🤗
On ne peut pas manier des infinis comme des réels donc il est impossible par exemple de faire l’opération que tu as fais avec A car un infini n’est pas forcément égal à un autre infini (renseignez vous sur les limites par exemple pour comprendre mieux)
Ces expressions sont en réalité ce qu'on appelle des séries numériques divergentes, on ne peut donc déterminer leur valeur. Il est donc absurde de dire qu'elles valent 0, 1 ou 1/2, vu qu'il y'a une infinité de termes, même si les calculs faits sont tout à fait cohérents. Mais bon, je ne m'aventurerais pas trop là-dedans parce que c'est niveau bac+2/bac+3.
Eh eh… le résultat paraît complètement absurde, mais pourtant dans certain concept en physique où l’on met en jeu la somme des entiers naturels et qu’on utilise le résultat démontré ici, et bien ça marche … cela montre bien que notre façon d’appréhender les concept infinis peuvent quelque fois nous jouer des tours …
Tu dis que cette somme est fausse. Mais comment se fait-il alors qu'Henrick casimir ai utilisé ce résultat dans une de ses études en mécanique quantique, et que par l'expérience, ce qu'il a démontré par le calcul en remplaçant 1+2+3+...=-1/12 soit entièrement cohérent ?
Je pense plutôt que cette somme n'est pas fausse dans tous les domaines des maths. En effet, il y a des personnes qui refusent l'axiome du choix par exemple pour développer certains penchant mathématiques. Pourquoi ici on ne serait tout simplement pas dans une autre branche des maths ?
On peut prouver que 1+2+4+8+...=-1. pourtant c'est faux. Mais 1+x+x²+x³...+x^n=(x^(n+1)-1)/(x-1). Si |x|
Si je me souviens bien le résultat -1/12 est utilisé en physique dans les calculs du vide quantique et de l'effet Casimir.
Mais du coup tu dis pas a quel moment c est faux
À aucun en particulier. C'est plus subtil que ce qu'il a dit en intro
le problème est surtout dans A = 1-1+1-1...
Le résultat est 1 si le dernier terme est +1, 0 si le dernier terme est -1. Or, il n'y a pas de dernier terme (somme infinie), donc A n'a pas de valeur. Donc si on joue sur ça, on peut avoir 1/2
Mais on peut prouver les 3 valeurs (1/2 déjà fait)
Pour A = 1
A = 1 + (-1 + 1 -1 + 1...)
A = 1 + ( (-1+1) + (-1 + 1) + ...)
A = 1 + 0 = 1
Pour A = 0
A = (1-1) + (1-1) + (1-1) + ...
A = 0 + 0 + 0 + ...
A = 0
A n'a pas de clair valeur, si on fait une limite bah... y en a pas. Car ça alterne entre 0 et 1, on peut dire qu'en moyenne on a 1/2
C'est faux parce que les axiomes utilisés au départ (commutativité, associativité) ne sont pas légaux pour les suites infinies. Ces axiomes produisent des résultats incohérents.
Pour obtenir une valeur il faut définir le bon système d'axiomes: Complet et cohérent, ce qui est, de plus, impossible à prouver.
@@claudeBgf Ce que vous dites est faux sur plusieurs points
@@algebrilleexceller3455 : Développe, qu'on s'instruise!
Enfin.... On dévoile l'ineptie....... On m'a toujours dit qu'on ne somme pas les l'infinis comme on veut....
L'infini c'est long!!!... surtout vers la fin !!!!
👍😎🏁🐆
Le génie Indien Raman a bien démontré cette série et d'ailleur elle porte son nom
Démonstration par l'absurde :
On suppose que la série 1-1+1-1+1-1+.... est convergente et que sa somme A existe.
D'après votre démonstration, A=1/2.
D'autre part,
A=1-1+1-1+1-1+...
A=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...
A=0+0+0+....
A=0
donc 0=1/2 ==> contradiction.
Donc la série 1-1+1-1+1-1+..... ne converge pas, et sa somme n'existe pas. CQFD.
Je suis fasciné par tous ces experts en mécanique quantique et en théorie des cordes dans les commentaires
Nan mais franchement, vous avez vu 1 vidéo de sciences étonnantes et vous parlez comme des doctorants en physique quantique 🤣🤣
2:15 pour moi, on est déjà faux ici.
Certes, ça ressemble à 1-S, mais seulement parce qu’on ne considère qu’une partie de la suite.
Dans la parenthèse, on a en fait une somme qu’on peut noter X, avec X=-1+1-1+1…
En re déroulant :
1+X=S ( et donc implicitement X = S-1)
1-(-X)=S
En remplaçant X par S-1 , on obtient
1-(1-S)=S
1-1+S=S
Soit S=S.
CQFD, ça ne nous apprends donc rien sur S, mais au moins, c’est juste 😂
Paradoxalement ce n’est pas si débile et c’est utile en physique quantique.Bravo d’avoir osé l’île aux enfants et nous avoir présenté ce brave Casimir
Exact. Il y a une vidéo de ScienceÉtonnante à ce sujet.
Mickaël Launay (normalien en maths) avait fait exactement la même démo sur sa chaîne il y a quelques années.
En effet, dommage d'avoir réduit ça a une simple "absurdité"
Autant j'adore les maths, autant je n'arrive pas à admettre cette absurdité.
Comment en ajoutant des entiers positifs on peut concevoir un résultat négatif.
Les mathématiciens ont vrillé quelque part à un moment donné
on parle d'un résultat concret à partir du facteur "Infini" qui est une valeur fictive. l'infini' à mon sens n'existe pas et si on l'insérer malgré tout dans un calcul, il en résulte une ineptie
Dans ce type de démonstration, il faudrait à la fin indiquer aussi le raisonnement faux qui amène à l'erreur
Et si on prend A = 1 ou A = 0 ? C'est aussi valide ?
Factoriser par négatif c'est mon conseil préféré. Si on rajoute un emoji coeur ❤❤❤ on peut remplacer N dans somme de N par un coeur
Le plus bizarre c'est que cette égalité semble fonctionner en physique théorique (Effet Casimir ) et permet la résolution d’équation dans le domaine quantique (théorie des cordes).
je crois que c'est ça qui me fume le plus le cerveau ! en "magouillant" tu peux demontrer que 1+1=1 mais là, intuitivement tu te doutes que ça peux pas etre ça mais le -1/12 ressort regulierement comme par magie dans des trucs ou on ne l'attend pas
Mais du coup ne serait-ce pas la même chose que de dire : 1 + 2 + 3 + 4... = 3,14 oh magie, mon opération fausse mène comme par hasard au nombre Pi que l'on retrouve dans tous les cercles de la nature ! Ça veut dire qu'on a le droit de remplacer une somme des i de 1 à n par Pi !
@@julieng5776 mais non pas pi, vas y franchement, prends le nombre d'or, ça vendra du reve ^^ bon, apres, bon courage pour la demonstration qui tient un minimum la route mdr
Ce n'est pas une égalité, plutôt une association. Arithmétiquement un nombre positif n'est pas égal à un nombre négatif.
@@__-1234 C'est bien une égalité. Et cette égalité ne dit absolument pas qu'un nombre positif égale un nombre négatif
Il me semble que ce résultat a été utilisé dans les travaux de Mr Casimir, travaux portant sur l'energie entre 2 plaques infiniment proches. Du coup résultat valide ou pas ? ^^
Toute la preuve résulte sur le fait que la première série diverge, mais ce qu'il y a d'intéressant c'est les sous-sommes appelées A B qui sont des sommes semi convergentes, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à termes réels est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, ou bien tende vers plus ou moins l'infini.
Il en résulte que dans ℝ, toute série inconditionnellement convergente est absolument convergente (autrement dit : toute famille sommable est absolument sommable).
Exactement , c'est impossible
C'est pas vrai ... et tu le sais , y a un décallage interdit grace à ( ou dans ) l'infini.... mais qui le sait ?
Une somme de positis ne ne peut pas être négative :)
Merci à Srinivasa Ramanujan d'avoir fait ce genre de magie , même si il s'abère que ce -1/12 sauve des expériences de physiques , c'est farfelu
A et B ne sont pas convergentes, donc les opérations sur ces séries ne sont pas légales... sauf si on utilise une sommation de Cesaro, auquel cas A = 1/2 et B = 1/4.
Mais même avec une sommation de Cesaro, S n'est pas convergente, donc dans tous les cas les opérations sur S (genre S-B=4A) ne sont pas légales
Tu confonds "nécessaire" et "suffisant". Voilà pourquoi ta conclusion est fausse
On me souffle que la somme diverge et dix verges, c'est énorme ! 😂
C'est parce que les séries étudiées ne sont pas absolument convergentes
Ceci dit en utilisant des nombres complexes dans la fonction zêta on peut arriver à ce résultat nn?
Avec les mêmes manipulations, tu peux montrer que ça vaut n'importe quoi comme 1/8 par exemple du coup le raisonnement marche pas. Cependant, si on passe par des calculs avec la fonction zeta, on peut observer qu'il existe un lien entre -1/12 et cette somme mais à aucun moment ils sont égaux. Petite pensé pour Ramanujan qui, malgré son faux raisonnement, a réussi à percevoir qu'il existait tout de même un lien entre cette somme et -1/12. Ce mec était définitivement un génie.
Eh bien justement, son raisonnement n'était pas faux. La preuve dont vous parlez n'utilise pas les "mêmes" manipulations, mais des manipulations analogues supplémentaires, ce qui provoque l'absurdité. Si vous vous en tenez *strictement* aux propriétés visibles de la vidéo, je vous mets au défi de trouver une autre valeur que -1/12
@@algebrilleexceller3455 Les manipulations ne sont pas les mêmes, certes, mais pourquoi la somme des entiers serait-elle différente de 1 + 9 + 27 +... si la commutativité de l'addition est quelque chose de vrai? Je crois plutôt que l'ont parle d'une mathématique différente de l'habituel. Une mathématique ayant ses propres codes. Une mathématique qui accepte que 1-1+1-1+1-1+...=1/2. Cependant, dans le cadre de la mathématique habituelle, cette égalité ne peut pas fonctionner. Pour que ça marche, il faut étendre les fondements. Pas simplement dire que c'est acceptable. Il faut supposer des vérités que les mathématiques habituelles n'accepte pas.
Ramanujan l'avait fait dans l'autre sens :
S - 4 x S = B et B + 3 x B = 1
Alors que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ... = +∞
La somme infinie des nombres positifs et négatifs est egal à zero.
Si on veut démontrer la véracité de l’hypothèse de Riemann, est-ce qu’on peut se permettre de dire que ce résultat est faux ? 🤔🤔🤔
Pourtant cette somme valant -1/12 est la logique conséquence de prolongement analytique sur le plan complexe…. résultat vrai, mais raisonnement faux.
C’est magique, les maths !
Tu oublies de dire qu'on peut tout à fait définir un algèbre dans lequel ces manipulations seraient légales. Et c'est d'autant plus intéressant que ça a des applications pratiques vérifiées dans la nature.
Pourtant la somme des entiers naturels égale à -1/12 trouve un sens physique dans l'effet Casimir.
A = 0 ou 1. B tend vers - infini . S tend vers + infini
Il est intéressant de faire l' inverse : partir de (moins 1/2) et parvenir aux 3 suites infinies.
Et on peut conclure que (moins 1/2) est donc le résultat de ces 3 suites infinies. Et se poser la question d'une démonstration à venir : tous les nombres peuvent-ils être, comme (moins 1/2), le résultat d'addition de suites infinies ? Si oui, combien ? Lesquels ? Y-en-a t-il une infinité ?
Et c'est un nouveau problème du siècle à venir. Car si on le résout, on pourrait apporter une explication non négligeable à l'effet Casimir.🤔
tu pourra faire la somme des 1/n
"Intuitivement", on sent qu'on se fait arnaquer quand on commence à "décaler" les sommes infinies pour faire du terme à terme qui nous arrange :
Pour moi, à 3:10 par exemple, c'est foireux : 2B vaut 2 - 4 + 6 - 8 + 10... et non 1 - 1 + 1 - 1 (donc A) comme indiqué à 4:00
Donc je pense que la bonne question à se poser à ce moment-là c'est : a-t-on le droit de faire ça ??
C'est très intéressant ! Cependant j'aurais aimé que tu expliques un peu plus profondément l'erreur et pas simplement dire c'est l'infini donc il faut faire attention à ce type de raisonnement.
C'est parce qu'il n'y en a pas vraiment et que c'est plus subtil que la vidéo le laisse paraître
Je crois que Mic Maths avait fait la même erreur, en faisant l'opération 1-(1+2+3...) on somme une S(n) avec une S(n+1) @@algebrilleexceller3455 donc on manipule la somme à l'infini avec "à l'infini +1"
@@stanislasquellec516 L'infini est L'infini +1 sont exactement pareil....ce que vous dites est archi-faux mathématiquement
Non ce n'est pas ce que je voulais dire. Si on fait des opérations sur des suites, il faut le faire pour la même valeur de n. Par exemple S(10) que l'on va multiplier ou soustraire par B(10) et pas B(9).
En ré-écrivant S on arrive à écrire S=S+1
alors qu'en fait ce qu'on a serait plutôt S(10) = 1+S(9) ; donc les sommes S qu'on obtient comme ça ne sont pas "les mêmes". Si on fait le calcul en colonnes, c'est comme additionner deux lignes mais en décalant les colonnes de l'une.
@@algebrilleexceller3455
Ce n’est pas si faux que ça
Ce résultat correspond à la valeur de la fonction Zêta pour (-1)
Et cette valeur remarquable, contre intuitive fonctionne bien
Ca meriterait d'expliquer les faux raisonnements: comme A = 1/2 alors que A ne converge pas, donc les operations sur A sont indefinies.
Comment sait-on que les propriétés des opérations restent les mêmes lorsque l'on manipule des infinis ? En particulier avec ce genre de raisonnement il est possible de montrer que cette somme vaut absolument tout est n'importe quoi. Vous voulez surement faire référence au fait que la limite quand x tend vers -1 de ζ(x)=-1/12 ce qui est vrai mais pour cela on suppose que ζ est holomorphe, supposition que vous ne faites pas...
Ce sont des sommes d'infinis différents : on ajoute un infini avec 1 + ce même infini, donc ce n'est pareil.
Quelque soit le nombre de termes, l'ensemble des solutions de A est (1,0) et rien d'autre. On peut également parler du domaine de définition de A qui ne comporte que ces deux éléments.
Donc 2A vaut 2 ou 0 donc si on divise par 2 on réobtient A=0 ou A=1. On apprenait ça en math moderne en 3ème. Tout le reste n'a plus de sens car c'est faux dès le début.
Voir la vieille vidéo de micmath sur le sujet qui donne une interprétation assez différente !
Que les mathématiciens considèrent que ce soit une erreur de faire cela je peux le comprendre par contre tu ne peux pas dire (littéralement) que c'est une absurdité. Cf l'effet Casimir qui prouve que cette relation a un sens même si c'est effectivement très perturbant...
Pour ceux qui se posent la question : la première erreur est qie la valeur A n'existe pas. Ce n'est pas 1 ou -1 ou 0 ou 1/2, ce n'est rien du tout. On peut le démontrer en faisant appel à la définition de la limite et remarquer que peu importe la valeur l réelle, la suite (a_n)_n = (-1)^n n'est jamais contenue dans l +/- 1/4 par exemple. Par conséquent (a_n) diverge et la série somme(a_n) = A diverge aussi.
Ceci seul suffit à faire tomber la preuve, mais il y a d'autres arguments fallacieux dedans aussi : notamment le fait qu'on n'a pas commutativité et associativité dès lors qu'une série diverge.
Pourtant votre affirmation est totalement fausse mathématiquement.
La valeur A n'est juste pas la limite des sommes partielles. Le fait que la limite des sommes partielles n'existe pas ne signifie pas qu'aucun objet mathématique "raisonnable" ne puisse donner un sens à ces calculs. Or, il se trouve que c'est justement le cas. Cela s'appelle la sommation des séries divergentes.
@@algebrilleexceller3455 C'est ce qu'on appelle le prolongement analytique, mais hélas si l'on se permet de commuter et associer les termes d'une suite divergente, dans la mesure où elle ne converge pas absolument, alors lors de la sommation, on peut se retrouver à dire n'importe quoi (de la même façon, en réarrangeant les termes différemment, on peut démontrer qu'il est possible d'atteindre n'importe quelle limite qu'on souhaite), d'où mon commentaire initial. Vous n'avez pas tort, mais vous ne me donnez pas tort non plus.
@@alexandrezeddam7817 Votre (1er) commentaire est faux sur plusieurs points (avec certaines répétitions d'erreurs ds le dernier):
1) "A n'a pas de valeur". C'est faux. Et ce n'est pas que une histoire de prolongement analytique, c'est un peu plus profond que ça.
2) On a pas utilisé la commutativité, ni l'associativité mais la linéarité et la stabilité (ou translativité) ainsi qu'une simplification particulière de 0. Ce que vs dites sur les 2 premières est correct, mais ça n'a juste rien à voir ici. Et il est facile de démontrer que chaque propriété appliquée à la série comme il le fait est tout à fait légitime.
3) La preuve faite ici n'est donc pas fausse. Elle est correcte; mais comme elle est mal comprise/interprétée, tout le monde dit qu'elle est fausse, alors que non.
il n ya pas le droite que faite des operations dcomme la soustraction avec des objets qui est n e'est pas des nombres , comme arbre et arbre , chaise et chaise , ... et comme finalmenete infini et infinie (l'infini ce n'est pas un nombre)
Hehe micmath avait déjà fait une démonstration si je ne me trompe pas
Cette vidéo de Science Étonnante m'a pas mal éclairé sur ce résultat étonnant: czcams.com/video/jyQ_hUVI4Gk/video.html ! Finalement rien de faux, ni d'absurde... juste la merveilleuse complexité de notre Univers, et des Mathématiques qui le décrivent !
On est pas censé parler en limites quand on manie les infinis ?
Sinon ya le prolongement de la fonction zeta
Bs .les séries qu on a diverges tout simplement .
C'est coool