ものすごく難しい積分
Vložit
- čas přidán 12. 09. 2024
- こんにちは！マルチーズ先生です。とても難しいと思います。
【マルチーズ先生のやさしい東大数学】
高校レベルから大学レベルまでの、面白そうな数学の問題を、週3回、火曜・金曜・土曜の19時配信予定。
数学パズル講師 マルチーズ先生
地元の県立高校を卒業後、東京大学理科いぬ類に入学。犬として初めて、東京大学大学院工学系研究科を卒業。現在は、大学入試問題過去問、積分問題、図形問題その他について、高校レベルから大学レベルまで幅広く扱い、youtubeで動画配信中。趣味は散歩とフリスビードッグ。
![Kyoto University's famous integer problem [Instant kill with technique].](http://i.ytimg.com/vi/QZMmqpuufcg/mqdefault.jpg)
動画時間26:26秒で、I1の計算が5:20で終わったからもう察しついたよね、うん。無理☆
そうおっしゃらずに、最後までご視聴いただけると嬉しいです。。。
ベータ関数・ガンマ関数大好き侍なので、そこに落とし込みました。
以下の積分公式があります。
∫[0,∞] t^(s-1)/(1+t) dt = B(s,1-s) = Γ(s)Γ(1-s) = π/sin(πs) ...(★1)
最左辺と最右辺をsで微分すると、
∫[0,∞] t^(s-1)ln(t)/(1+t) dt = -π^2 cos(πs)/sin^2(πs) ...(★2)
（左辺の計算では、積分と微分を入れ替えました）
では、問の積分にうつります。
x=2tと置換すると、
2^(-2/3)ln2 ∫[0,∞] t^(-2/3)/(1+t) dt + 2^(-2/3) ∫[0,∞] t^(-2/3)ln(t)/(1+t) dt
1つ目の積分は、上記の(★1)で s=1/3 としたもの。2つ目は、(★2)で s=1/3 としたもの。
こんな感じで求めました。
めちゃくちゃ難しい
∫[0,∞]{1/(1+t^3)}dtの計算でキングプロパティみたいなテクニックが使えるのは新しい発見でした
有難うございます！
超難問っていうか、、、ｼ.......ｼﾗﾅｲｯﾋﾟって感じだった笑
16:38
絶対収束ではなく、一様収束ではないんですか？
あと最近級数を示す時、フーリエ級数展開にハマってますねw
自分もフーリエ展開は美しいので好きです
すごーい😮
有難うございます！
バーゼル問題はsinxをマクローリン展開する方法と、物理の光の強さと距離の関係から求める方法しか知らなかった
そしてフーリエ級数展開での求め方聴いてもピンとこない我が数学力の無さw
いくつか方法がありますね。自分としては、フーリエ級数展開の方法が、一番スッキリしました。
@@マルチーズ先生のやさしい東大数 いろんな解法があるのが数学の面白さですね
答えを見たらそこまで難しい問題ではないけど、解法があまりにも技巧的すぎる……！すごい。
初見で解ける気がしないな。
無限和に変換 → ∫とΣを交換のパターンは結構ありますね。バーゼル問題を使う問題もそれなりに見るような。。。
@@マルチーズ先生のやさしい東大数
確かにこのチャンネルでは、『ゲキムズ積分⇒無限和の降臨』の流れはよく見る気がします。
今回も面白かったです。
11:37 において
上から2行目の式の{}内の符号の順番は
+,+,-,-
ではないでしょうか。
良く気づきましたね！ミスしてしまいました。。。
@@マルチーズ先生のやさしい東大数
ご返信ありがとうございます。
また、
15:48 において
上から2行目の式の∑の後のnはすべてkですね。細かな指摘ですみません🙇♂️
@@Le__CZcams 有難うございます。良く気づきましたね！
とりあえずx=t^3と置けば根号を消去できそうだという考えで進めてみたけど、その先は自分の力ではどうにもならなかったことに気付いた。
根号を消す発想は良いと思います！
留数定理
サブカルの積分の世界！
皆んな、東大数学にはこのレベルは、出題されんからな！笑
はい、大学入試では登場しないレベルトなります。
これよりもっとめんどくさい、という事ですか？
なるほど……。わからん。
スミマセン。。。
難すぎワロタ😂
その通り！
やさしい東大数学…？
難しい問題を、なるべくやさしく解説することを目指しております。。。
なるほど～
有難うございます！
積分の基本問題ですね。マーチ理工系レベルかな。
難しいというよりめんどくさい。時間内に完答するのはしんどい。
え?
マーチのやつには解けないな
マーチの学生、予想以上に数学できない