Эту систему почти никто не решил ➜ 2 быстрых способа
Vložit
- čas přidán 30. 09. 2023
- Решите систему уравнений: (x-1)²+(y-2)²+(z+3)²=9; (x-3)²+(y-6)²+(z-1)²=9.
Предыдущее видео: • Решите уравнение в цел...
Valery Volkov / valeryvolkov
Наш семейный канал: / @arinablog
Почта: uroki64@mail.ru
1-ый способ, с подстановкой в виде среднеарифметического, конечно "классический" и просто им пытаемся решить как обычно такую систему. Но вот 2-ой способ интереснее! Это нужно еще заметить в ур-иях - уравнения сферы, найти их центры, радиусы и увидеть, что сферы соприкасаются, получается, в одной точке. Вообщем - очень круто, что такой канал есть и тут такие интересные задачки решаются! Спасибо и всего хорошего.
Я голову ломал, зачем такая замена, раз количество неизвестных не уменьшилось. Оказалось для упрощения расчётов - после раскрытия скобок и сложения пропадали переменные в первых степенях. Без замены пришлось обратно квадраты сумм выделять.
А вот сферы радиусом 3 заметил сразу.
Кому алгебраический, кому геометрический подход удобнее.
Спасибо.) Получила такое удовольствие от этого ролика.) Оба способа красивы. 🖐
Получил эстетическое удовольствие от просмотра. Премного благодарен
Вы прекрасный учитель! У Вас всё всегда продуманно: и объяснение решения задачи, и запись этого решения. И всегда это сделано перфектно!
Имеем две сферы с центрами (1,2,-3) и (3,6,1) и радиусами 3. Вычисляем расстояние между центрами и обнаруживаем, что оно равно 6. Какая удача! Значит, точка их касания -- середина отрезка между центрами, т.е. (2,4,-1)
устная задачка :)
Валерий, вы супер! Такие простые решения у сложной задачи! Без всякого сарказма: просто блестящее объяснение, в результате чего сложная задача кажется простой! Жаль, что не могу поставить второй "лайк" очень понравилось!
Спасибо за два оригинальных решения.
Прекрасное Решение .Валерий как всегда отличное решение .Оба способы очень интересны .Спасибо Профессор.
А вот попробуйте найти решение системы трех уравнений с неизвестныии x, y, z и известными a, b:
ax=(z-y)^2;
by=(z-x)^2;
(x-a)^2+(y-b)^2=4z^2.
Тут тоже есть скрытая геометрия, но более хитрая!
Сходу видно, что это уравнения сфер и единственное решение возможно, если они касаются друг друга в одной точке.
И точка эта на отрезке, соединяющем центры сфер на расстоянии равном радиусу соответствующей сферы.
Осталось осмыслить первый вариант. Почему решили именно такую замену провести.
UPD: Замену провели, чтобы получить пары вида (a + n)**2 , (a - n)**2. Тогда при раскрытии скобок и сложении мы избавимся от "a" в первой степени - останется только во второй.
В принципе можно было и без замены, но было бы сложнее. После сложения нужно было бы обратно выделять квадраты сумм.
Восхитительно! Обожаю Вас смотреть. Вы с моим учителем привили мне любовь к математике. Спасибо!!!!❤❤
Тоже решал через уравнения сферы.
Интерес представляет также похожий пример, когда сферы пересекаются по окружности и множество решений записывается как функции неизвестных от параметра. И если исходную задачу "почти никто не решил", то страшно представить, что будет насчёт этой)
Тоже подумал о таком примере. Я так понимаю, что в результате мы должны получить уравнение окружности в трёхмерногм пространстве.
Самое первое на что обращвешь внимание - это 3 переменных и 2 уравнения.
В виду этого подталкивает на подход с оценкой возможных значений.
Например один из квадратов с икс в любом случае больше 1, при этом для квадратов с y одно из значений точно больше 4. В итоге для квадратов с z остается один вариант = 4.
Надо это все более аккуратно конечно расписать, но думаю на уровне оценочных суждений должно решаться тоже.
Круто, я сразу не догадался об этом
Здравствуйте! Второй способ пожалуй, самый практичный...-прекрасно показывает содержательную часть задачи.
Я знаю 3-й способ, он быстрее предыдущих: вычесть из первого уравнения второе, далее по формуле разности квадратов преобразовать выражения с х, у, z. В итоге уравнение примет вид (2х-4)+(2у-8)+(2z+2)=0. В результате раскрытия первых множителей получились коэффициенты, поэтому их можно опустить. Решаем систему уравнений 2х-4=0, 2у-8=0, 2z+2=0, отсюда х=2, у=4, z=-1. Ответ: (2;4;-1). И всё на!!!
Я решал вообще по своему. Сначала я раскрыл скобки,вычел по 9 из каждого уравнения,мложил их. В сумме 0. Потом раскрыл всё,начал считать иксы с исками и т.д. Потом вынес общий множитель.Получилось так: х(2х-8) + у(2у-16) + z(2z+4) = -42. Решил,что пусть все пары будут отрицательными,получилось х и у положительные,а z отрицательное. Подбором под каждое число подобрал,верно вышло)
Спасибо большое, второй способ красив
Спасибо огромное вы мой герой
По сути тоже самое,что и первый способ: разбить 9 как 1+4+4, а затем расписать ращности квадратов с левой частью системы. Далее сразу видно будет,что их удобно сложить.
Второе решение восхитительно.
Первое не понял как к нему прийти
Две сферы с одинаковыми радиусами могут пересекаться по окружности или касаться (окружность вырождается в точку). Так как задачка для школьников окружности в пространстве ожидать не стоит. Значит касание. А это посерединке между центрами. Проверяем эту точку (2,4,-1). Подошла!
Я вот что-то не уловил - а он сказал где-то, что это диофантово уравнение и что оно должно решаться в целых числах?
Или я что-то не понял?
Согласен
Предлагаю для решения нелинейную систему уравнений:
X +Y. +Z. =1/2
X^3+Y^3+Z^3=1/2
X^5+Y^5+Z^5=1/2
В excel посчитал такие значения.
-0,623489802
0,900968868
0,222520934
А вот аналитически слаб оказался. Складывал, вычитал строки. Идей не не появилось.
Ну это слишком жестко решать
Можно из 1го выразить х
И подставить во 2е и 3е
Далее решить 2е куб ур-е относительно у
И подставить в 3е
Ну и далее чисто в калькулятор, т.к. системы >4 степени аналитических решений не имеют
@@user-ig8de5jf6h Используя теорему Виета приходим к кубическому уравнению
t^3-1/2t^2-1/2t+1/8=0.
Ответ: cosπ/7, cos3π/7, cos5π/7.
Moжно убедится без калькулятора, используя формулы суммы степеней тригонометрических функций, непосредственной подстановкой, что ответ верен.
Аналитически решить не смог.
(0,900968867902419; 0,222520933956314; -0,623489801858733)
(0,900968867902419; -0,623489801858733; 0,222520933956314)
(0,222520933956314; 0,900968867902419; -0,623489801858733)
(0,222520933956314; -0,623489801858733; 0,900968867902419)
(-0,623489801858733; 0,222520933956314; 0,900968867902419)
(-0,623489801858733; 0,900968867902419; 0,222520933956314)
Сразу же решила вторым способом, как увидела координаты центров сфер😊
Первый способ слишком муторный.
Подскажите пожалуйста в каких случаях применяется 1 способ?
Решил по первому способу. Второй способ - бомба.
Следовало бы написать, что мы ищем только вещественные решения.
2) красивое решение!
Хм... у меня почему-то сразу ассоциация - две сферы, радиусом в 3 и точки пересечения сфер достаточно просто находятся. Одна точка только... дальше просто.
А если расстояние между центрами окажется меньше суммы радиусов? Опять частный случай.
Почему в 1 способе находили среднее арифметическое? На что опирались?
Второй способ клевый
Второй, конечно, интереснее, но первый легче и я бы пошел по нему
Я так понимаю, что если уравнение имеет одно решение, значит две сферы касаются друг друга?
По сути оба варианта это одно и то же
Почему при суммировании уравнении мы получили 0, а не 18?
Потому что слева 1+1+4+4+4+4, а справа 18. После чего 18 и 18 сокращаются и справа остаётся 0.
@@user-tw7oo5jy7c понял, благодарю
Недостаток обоих решений - они требуют нестандартных идей. Все решается гораздо проще, без выдумывания хитрых подходов, обозначив a b c выражения в скобках в первом уравнении. Сразу ясно, что a b c < 3. Раскрываем скобки во втором ур-и, вычитаем первое и получаем a +2b+2c = 9 далее очевидный перебор вариантов.
Вы хорошо и доступно всё объясняете, но зачем так "фейковать", что почти никто не решил задачу. Если никто не решил (смотря кто решал), может не надо выдумывать задачи, которые почти никто не смог решить. Но учиться всегда надо.
х=а+2 у=b+4 z=c-1
2а+4b+4c=0
-(-2a-4b-4c=0)
4a+8b+8c=0
a+2b+2c=0
x-2+2y-8+2z+8=0
x+2y+2z=2
x=2-2y-2z
(1-2y-2z)²+(y-2)²+(z+3)²=9
(-1-2y-2z)²+(y-6)²+(z-1)²=9
(-4y-4z)+(y-2)²-(y-6)²+(z+3)²-(z-1)²=0
(-4y-4z)+4(2y-8)+4(2z+2)=0
-y-z+2y-8+2z+2=0
y+z-6=0
y=6-z
(1-12+2z-2z)²+(-z+4)²+(z+3)²=9
121+z²-8z+16+z²+6z+9=9
2z²-2z+137=0
4(1-274)=4(-273)
z=(1+-√(-273))/2
y=(11-+√(-273))/2
Проверим
(1-2y-12+2y)²+(y-2)²+(6-y+3)²=9
121+(y-2)²+(-y+9)²=9
121+y²-4y+4+y²-18y+81=9
2y²-22y+197=0
4(121-394)=4(-273)
y=(11+-√(-273))/2
x=2-2y-2z
х=2-(11+-√(-273))-(1-+√(-273))
х=-10
z=(1+-√(-273))/2
y=(11-+√(-273))/2
x=-10
А проще приравнять каждый член, т.е (x-1)^2 =(x-3)^2 и т.д. Те же самые корни получим
Задачи ради задач. Мало реальных процессов можно описать такой системой уравнений. При этом первый способ решения совсем безумно-случайный. Второй - более адекватный возможным решениям производственных технических задач.
"Задачи ради задач" тренируют навыки поиска решений. Нестандартные задачи такие навыки формируют. Мозг, натренированный подобными задачами, способен генерить чудные идеи.
@@olegfirsov1981 не заметил какого-то поиска. Применен стереотип для решения определенного придуманного типа задач.
z= -5 тоже подходит!