Théorème de représentation d'une fonction lipschitzienne par Tristan

Tristan nous propose un théorème haut en couleur qui prouve que toute fonction lipschitzienne u sur R peut être représentée par une fonction g dans L^{infty}(R) dans le sens : u(y)-u(x)=\int_x^y g(t)dt.

[@jean-baptisteroche2788]

Magnifique vraiment, ça fait plaisir de voir de l'analyse sur la chaîne aussi :))
Le développement est splendide et c'est agréable de voir une application "élémentaire" de la théorie des distributions et de gros théorèmes

[@MichelPENSIVY-d9x]

Bonjour
Merci pour ce développement
Quelle est l’utilité, ou plutôt la motivation de cet énoncé ?

[@TristanBulHadrien]

Les fonctions Lipschitziennes sont, en un sens, les fonctions les plus lisses parmi les fonctions non lisses! (Leurs graphes peuvent présenter des pointes par-ci par-là)
En fait, ce développement permet de montrer, entre autres, qu'une fonction Lipschitzienne est dérivable presque partout (les pointes sont vraiment disposées "par-ci par-là" et sont rares): c'est une appli du thm de differenciation de Lebesgue, cf. la vidéo sur les fonctions absolument continues si vous voulez en savoir plus...
Ce résultat de dérivabilité (le thm de Rademacher) est fondamental: il est au fondement de la possibilité d'étudier des objets géométriques hors de portée de la géométrie differentielle: avec des pointes, avec des auto intersections...(graphes de fonctions Lipschitz en gros)
Pour info, il existe un thm de changement de variables (dont la preuve utilise de manière cruciale le thm de Radamacher) quand ce dernier est seulement Lipschitz, ce qui permet d'approcher un objet inoffensif, qui pourtant nous déprimerait dans le cadre de la géométrie diff lisse, avec les techniques de cette dernière. (Quoi de plus inoffensif qu'un carré? Et pourtant...)
Plus généralement, un des interêts essentiels de ce résultat, et donc des fonctions Lipschitz, est de montrer que ces dernières ont des propriétés géométriques ET fonctionnelles très riches: on peut faire avec elles ce qu'on appelle de la théorie géométrique de la mesure (je n'y connais pas grand chose mais c est un très beau sujet et avec des applications très concrètes: pourquoi les bulles de savon se forment de la sorte, en "surfaces minimales"?)
En fait, les fonctions Lipschitziennes sont en gros les fonctions de l espace de Sobolev W^{1,\infty} (le développement fournit une implication: Lipschitz inclu dans Sobolev)
Les espaces de Sobolev sont un des fleurons de l'Analyse Fonctionnelle; entre autres, pour revenir à cette notion de surface minimale, ils fournissent une notion de dérivation et de taille de la dérivée, stables dans les processus d'optimisation qu'on peut tenter lorsqu'on essaie d'atteindre ces surfaces minimales.
(Voir le domaine plus général du Calcul des Variations)
Bon, pas sûr qu'on puisse motiver le developpement comme ça à l'agreg...

[@valentinmassicot1725]

A 6:22 , je ne trouve pas la domination si claire que ça. Il nous faut majorer le taux d'accroissement par quelque chose d'indépendant de h donc majorer le numérateur par quelque chose comme 2 ||phi||_\infty ne fonctionnerait pas. Cependant, on peut utiliser l'inégalité des accroissements finis couplé au fait que phi' est bornée, phi étant C^inf à support compact.