Das 100-Türen-Problem - Welche Türen bleiben offen?
Vložit
- čas přidán 22. 06. 2024
- Das 100-Türen-Problem ist eine Knobelaufgabe, die ich gerne 5. oder 6. Kläss'lern im Mathe-Unterricht oder in Vertretungsstunden stelle.
Die Türen-Anzahl "100" wähle ich nur, weil es ein vertrauter Zahlenraum für Schüler ist. Die Aufgabe lässt sich aber leicht verallgemeinern oder auf auf alternative Szenarien erweitern und somit für größere oder kleinere Anzahlen an Türen / Objekten betrachten. Zum Beispiel: "Treffe eine Vorhersage für Tür 625. Ist die offen oder zu?"
Was Fehlt ist die Begründung warum alle und ausschließlich Quadratzahlen eine ungrade Anzahl an Teilern haben.
Dies lässt sich ganz einfach begründen: Wenn a ein Teiler von n ist so ist auch n/a ein Teiler von n. So lassen sich einfach paare bilden, nur wenn für einen Teiler gilt a==n/a, was bei einer graden Wurzel der Fall ist, ist die Anzahl der Teiler ungrade.
Dies ist, wenn man es weiß sehr einfach, wenn man es nicht weiß, muss man aber erstmal drauf kommen.
Eine Primzahl hat zwei Teiler: 1 und sich selbst. Das sind zwei Teiler und damit eine gerade Anzahl von Teilern. Eine andere Zahl hat auch immer 1 und sich selbst als Teiler; aber ggf. auch mehr: 32 zB. hat 1, 2, 4, 8, 16 und 32 als Teiler, als 6 Teiler. Bei Quadratzahlen ist das anders: 36 hat 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 und 36. Die Besonderheit ist die 6, da 6x6 36 ergibt. 6 zählt hier nur einmal. Damit wird die Anzahl der Teiler ungerade.
Super einfache Fragestellung. Wow und das Ergebnis ist schon eine Menge an Arbeit. Obwohl das Ziel da war.
Eine sehr interessante Aufgabe mit hervorragender Erklärung. Vielen Dank fürs posten!😀
Vielen Dank. Das freut mich riesig 🙂
Zur Zusatzfrage am Schluss: 60 ist eine Hochzusammengesetzte Zahl; und es gibt einige Zahlen, die "gleichziehen", bevor die 60 von der nächsten Hochzusammengesetzten Zahl übertroffen wird.😊
Sehr witzige Aufgabe, und wunderbar erklärt.
Dankeschön 🙂
Dass es darauf ankommt, ob die Anzahl der Teiler gerade oder ungerade ist, habe ich mir gleich zu Beginn gedacht. Wo ist jetzt aber der Beweis, dass nur Quadratzahlen eine gerade Anzahl von Teilern besitzten? Genau das habe ich in dem Video vermisst
Ja ich auch.
Ich habe auch eine Erklärung, bin mir nur nicht sicher ob die als Beweis auch ausreichend ist
Jeder Teiler einer Zahl hat einen Partner. Nämlich die Zahl, die rauskommt, wenn man durch den Teiler dividiert. Ist ja auch klar sonst wären es ja keine Teiler.
Beispiel 12 Teiler 1 und 12 sind Partner 2 und 6 sowie 3 und 4.
Bei Quadratzahlen gibt es eine Zahl die ihr eigener Partner ist nämlich die Wurzel. Die Wurzel wird aber nicht doppelt gezählt.
Wenn wir beim Beispiel der 16 Tür bleiben es gibt ja immer noch nur eine 4. Person.
@@Anonym-iv3tz Ich habe eine Weile darüber nachgedacht und glaube, dass du Recht hast 👍
Noch etwas einfacher... Habe die Tür die Nummer n und lässt sich n als Produkt a*b schreiben, wobei a und b verschieden sind, so ändert Person a und Person b jeweils den Status der Tür... Insgesamt ändert sich also durch Person a und Person b der Status der Tür nicht (der eine macht sie auf, der andere wieder zu oder umgekehrt). Dies geht aber nur, wenn a und b verschieden sind, damit Person a und Person b auch verschieden sind. Also bleibt die Tür im Anfangsstatus (also zu), wenn jedes Produkt von n aus 2 verschiedenen Faktoren aus verschiedenen Faktoren a und b besteht.
Gibt es jedoch eine Möglichkeit die Zahl n als das Produkt zweier gleicher, ganzer, positiver Zahlen zu schreiben, also n = c^2, so geht Person c nur einmal vorbei und ändert den Status... Person c geht aber kein weiteres Mal vorbei. Für solche Quadratzahlen wird also durch Person c insgesamt der Anfangsstatus umgeändert und am Ende ist somit die Tür offen, denn jede Quadratzahlen besitzt nur einen Darstellung der Form c^2 mit positiven, ganzen c.
Ich finde die Muster die sich in den Bildern widerspiegeln so Klasse. Von Quadratzahl zu Quadratzahl sind immer zwei Türen mehr geschlossen als bei der vorherigen. Ist ja auch klar, kommt ja von Quadratzahl zu Quadratzahl immer eine ungerade Zahl hinzu. Die sich auch immer um zwei erhöht.
1+"3"=4
4+"5"=9
9+"7"=16 usw.
Oder anders 16+"4" + "5"=25. Also 16+9=25
In dieser Aufgabe kann man außerdem schön zeigen, dass Mathematik nicht unbedingt was mit Zahlen zu tun hat.
Nach Lösung des Problems erweitert man die Anzahl der Türen auf 400, 10.000, 1 Million und unendlich viele.
Schüler sollten jetzt erkennen, dass die Zahl 100 in der Aufgabenstellung überflüssig ist. Die Lösung sieht für jede Anzahl von Türen identisch aus, obwohl es die Schüler natürlich verwirrt hätte, wenn man die ursprüngliche Aufgabe mit 10.000 oder 1 Million Türen gestellt hätte.
Diese Aufgabe ist doch wirklich eines der schlechtesten Beispiele, dass Mathematik nicht unbedingt Zahlen behandelt. Dies ist ein Paradebeispiel für das Konzept von Teilbarkeit und damit Zahlentheorie.
@@hdbrot Die Aufgabe benötigt keine Zahlen, sondern nur einen algebraischen Ring (siehe Ring (Algebra)).
Weiterhin, wie erwähnt, ist die Größe oder gar die Endlichkeit des Ringes unerheblich.
Im Schulrechnen wird man so sehr auf "Zahlen" konditioniert, dass nicht mal die Existenz von Konzepte unterhalb von Zahlen (Halbgruppe, Gruppe, Ring; Körper sind dann erst Zahlen, wie man sie gewohnt ist) bekannt sind.
Werden diese in der heutigen Zeit benötigt: Ja, für so was wie Fehlerkorrektur und Kryptografie.
@@frankklemm1471Die Aufgabe verwendet nicht einmal einen Ring, sondern nur die natürlichen Zahlen. Und auch wenn diese keinen Ring und auch Körper bilden, sind es trotzdem Zahlen. Ich verstehe ferner nicht, wie man in einem allgemeinen Ring dieses Spiel mit den Türen spielt, wobei jede Tür für ein Ringelement steht. Das geht doch erstmal nur, wenn jedes Element nur endlich viele Teiler hat. Im Ring der komplexen Zahlen teilt jede Zahl außer 0 jede andere Zahl. Ist die Tür, die zu 1 + i gehört jetzt offen oder geschlossen, nachdem man für alle komplexen Zahlen einmal alle Vielfachen geöffnet bzw. geschlossen hat?
Dass die Anzahl der Türen nicht relevant für die mathematische Erkenntnis über die Teiler von natürlichen Zahlen, heißt nicht, dass danach keine Zahlen mehr vorkommen. Die Aufgabe selbst dreht sich ja weiterhin um nichts Anderes. Es ist aber sehr wohl ein Beispiel dafür, dass man mathematische Aussagen oft von einzelnen Beispielen zu umfassenderen Aussagen verallgemeinern kann. Das ist wohl, was hier eigentlich gemeint ist.
Schöne Geschichte. Ich hab das mal Python für mich machen lassen. Dabei ging es mir so wie man es von Mathematikern sagt: Die verbringen soviel Zeit damit Wege zu finden dass sie nicht rechnen müssen, das sie es längst ausgerechnet hätten :-)
Man kann jetzt allerdings ziemlich viele Türen von ziemlich vielen Männchen auf und zu machen lassen. Hier sind es 1000 Türen.
haus = []
for i in range(1, 1001):
haus.append([i, 0])
t = 0
nt = 1
for k in range(len(haus)):
for i in range(len(haus) // nt):
if haus[t * nt - 1][1] == 0:
haus[t * nt - 1][1] = 1
t += 1
else:
haus[t * nt - 1][1] = 0
t += 1
nt += 1
t = 1
offene = []
for ot in haus:
if ot[1] != 0:
offene.append(ot[0])
print("Offene Türen: ", offene)
Viele Grüsse Boris
Ich kann den Code zwar nicht beurteilen, aber... genial. Finde ich super 😁
@@minicles Sie können den Code in einen Python Online Compiler kopieren und laufen lassen. Dann kann man ihn auch leichter lesen.
Und hinter den Türen sind Zitate aus "Asterix erobert Rom"
Warum haben nur Quadratzahlen ungerade Anzahlen von Teilern?
Jeder Teiler einer Zahl hat einen Partnerteiler. Multipliziert man beide Teiler so ergibt sich die Zahl.
Zum Beispiel: nimm die Zahl 18. Die "Partnerteiler" sind 1x18, 2x9 und 3x6.
Bei einer Quadratzahl gibt es jedoch einen Teiler ("die Wurzel"), der sich selbst als Partner hat. Nimm die 16. Die Teiler sind 1x16, 2x8 und 4x4... Aus diesem Grund hat eine Quadratzahl nur eine ungerade Anzahl an Teilern. Die 4 wird nur einmal gezählt...
Wer kennt nicht das Problem, das alle erstmal durchs Haus rennen und die Türen öffnen und schließen? Aber ich habe DIE Lösung: Schlüssel!
Bei einer Schulhausübernachtung ist das ein durchaus realistisches Szenario...
@@minicles OK, dann mache ich ab jetzt auch überall die Türen auf oder zu, je nachdem in welchem Zustand sich die Tür befindet.
Gib‘s keine Erklärung leider außer Statistische Zahlen
1=offen 0=geschlossen: Tür 1 bis 100: 1001000010 0000010000 0000100000 0000010000 0000000010 0000000000 0001000000 0000000000 1000000000 0000000001
Das nennt sich Tür, nicht Türe.