慶応志木 正方形の中の正三角形
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- čas přidán 8. 09. 2024
- 数学を数楽にする高校入試問題81
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学校は、明大明治、本郷、洗足学園、山手学院、かえつ有明、法政二などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミー、Z会進学教室で教えていました。（高校受験 大学受験）
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数学を数楽にする高校入試問題81
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そもそも正方形の中に正三角形が内接できるのかという所を考えてしまったが、できるのは当たり前でしたね…
これ余裕じゃんとか思いながら三平方の定理、余弦定理、加法定理を全部使って答え出したけど解説見て自分は数学のセンスないと思った。
これ解ける中学生すげーわ
最後の解法で出てきた比のほうに驚いてる
a^2+b^2＝c^2かつab＝cとなるような数が存在すると感覚的に思えなくて不思議だった
EF=xと置くと、EC=CF=x/(√2)より
BE=a-x/(√2)
また、△AEFは正三角形なのでAE=x
△ABEに対して三平方の定理を適用するとa^2+(a-x/(√2))^2=x^2
x＞0であることに注意してこの式をxについて解くとx=((√6)-(√2))aを得る
見ずに解いたんだけどこれ一番最初の解法だった( ´･ω･`)
全く同じやり方の人がいて安心しました笑笑
2番目と3番目の方法で解きました😉
2番目と言っても補助線の引き方は全く同じですが厳密には式の立て方が少し違います。
正三角形の一辺でAF=bと置くと三角比より
AH=(√3/2)b、HF=HC=b/2となるから
AC(対角線)=AH+HC=(√3/2)b+b/2・・①
また、
AC(対角線)=√2a・・②
①=②で方程式を立ててb=の形に式変形すれば求まる。
３番目については以前に川端先生の他の動画で初めて知って「これは使える！」と思ったので覚えました。
この問題ってこの３番目の15°、75°、90°の三角形の辺の比を求める誘導問題にちょうどいいですね😃
まず、辺CEをxとする。
辺DFと辺BEがa-xとなり、三角形ADFとABEの面積は、
(a-x)✕a✕0.5＝0.5a(a-x)となる。
また、三角形CFEの面積は、
0.5x^2
さらに三角形AFEの面積は、
(x√2/2)✕(x√6)✕0.5＝(√3/2)✕x^2
したがって全ての三角形の面積を足すとa^2になることから、
2✕0.5a(a-x)＋0.5x^2＋(√3/2)✕x^2＝a^2
これを解くとx＝0または(√3−1)a
x＞0よりx＝(√3−1)a
辺FEはxの√2倍より、
辺FE＝√2(√3−1)a＝(√6−√2)a
このようにして解きました。
長文失礼しました。
片っ端からやってます。今回は1番目2番目はやれました。どこの直角三角形で関係をとるか好みを意識しておくと気持ち楽ですね。
おやじが深夜に暇潰すしに拝見しています。２番目のやり方は気が付きませんでした。３番目は知りませんでした。しかし、最初のやり方は直ぐ思いついたので、さほど難問ではないと思いました。
サインコサインとか余弦定理とか加法定理使って解いたとかドヤ顔で言ってる人ら、問題のコンセプト全く理解してないんだろうな。
どやるわけじゃなく、三角比の性質は楽だから使えるときは使います･･･
@@user-wr3qp4be8h だから、それが問題のコンセプト理解してないって事だよ。
@@ikzothefinal すんません
@@user-wr3qp4be8h😂
当たり前と言えば当たり前ですが、丁寧で方向性の分かりやすい式変形ですね。
今日友達にこの問題を出したとき答えを忘れ自分で解いていたのですが、答えが合っていて良かったです。
何処からでもやっつけられる良問、解いてて楽しいですね♪
受験だと策を立てる余裕なくて
(1＋√3i)/2の平方根を考えるかも知れない
ありがとうございました。文字式の醍醐味を味わったニャア～
最後のやってましたw色々解き方あって面白いですね
15,75,90の三角形の辺の比って15と75の三角関数の値としてよく出ますよね。
30,45の倍数の場合よりは少ないですが...
いい問題。
やはりわざわざ正三角形、正方形がでるということは角度を利用して考えるということなんだろうな。
面白い問題ですね！解説も分かりやすい
ありがとうございます😊
一辺を1として解き、その答えをａ倍します。解き方ですが、CE＝x,
BE＝1−x,AE＝√2xで⊿ABEで三平方の定理を使います。
まず、三角形の1辺の長さをどの文字で示すべきかで小一時間
辺なのでx≠0と思いx使った面積の等式立てて両辺xで割ってやりました
中一の時、全く同じ問題を自作して解いたことがあったからこの動画見つけてめっちゃびっくりした
意識してなかったけど試験に出されるような問題だったのか
それは賢すぎる
数学０点だったオッサンだけど最近数学が楽しくて、ケーキ三等分問題を見た時に｢端から三等分出来ないかな？｣と思い付いて、３６°より小さい事が解ってカルダノまで使って｢ほとんど３０度じゃん･･･｣と気付いた自分は賢くない･･･
最後の75度の三角形インターネットで中学生の知識で解けるように証明しているサイトがありました
なんやわからへんけど。動画と説明はまだ見ていません。
正三角形の辺の長さを都合によりL＝2と置 きます。
右下の直角三角形とそれを分轄した直角三角形と正三角形の関係から、正方形の斜辺は1＋ｓｑｒ3
よって、1/2*(1+sqr3)^2=a^2。(1+sqr3)^2=2*a^2
（実は2＋sqr3=a^2として大混乱してしまいました。）
a=(1+sqr3)/sqr2 =(sqr6+sqr2)/2 ⇐： 1/a=2/(sqr6+sqr2)=2(sqr6-sqr2)/4 、 a=2/(sqr6-sqr2)
∴L=2=(SQR6-SQR2）a
ついでに⇐：のことから、cos15 °＝（sqr6＋sqr2）/4
あれ次の検算で L=Rにならなければどうしよう。
もしcos15 °＝a/R=（sqr6＋sqr2）/4 なら R=4a/（sqr6＋sqr2）＝a(sqr6-sqr2)。ホッです。
混乱のあとには、迷いが残りがちだ。
15 75 90初めて知りました。これは30年以上前には聞かなかったな。
角度１５度の出し方はこうなんだ。正三角形と正方形がすでに補助線ですね。
いい問題ですね！そして解説がすごく分かりやすかったです。
個人的には三つ目が好きですね。
EF=√2CFが成り立つのでそこからも正三角形の辺をaより導き出せますね。
今までの動画で、75度、15度の直角三角形の比を覚えていたから、3番目しか思いつかんかった。
2番目の解き方でやりました.
ただ, 有利化というのを忘れてました.
『分母にルートがあったらなんかやった気がする...』
くらいにしか覚えてなかった...
2番目の解で、AH の長さを求めて2/√(3)倍してましたが、ACの長さを求めてそれを2倍する方がルートの掛け算が1回少なくなるので近いと思いました。
I dont mean to be so off topic but does someone know of a method to get back into an instagram account??
I stupidly forgot my password. I appreciate any help you can offer me
@Zion Dakota Instablaster ;)
@Watson Karter i really appreciate your reply. I got to the site on google and I'm in the hacking process now.
Looks like it's gonna take a while so I will reply here later when my account password hopefully is recovered.
いやはや参った参った、解説の前半みてわかったつもりでいたけど、なんとなくわかりづらいと思っていたら、また見かけたので最後までみたら自分の考え方に出くわして納得しました。大変失礼しました！
普通に15°のち直角三角形の比を知ってれば解ける問題ですね
志木を余裕もって受かるやつは15度75度90度の比はまず覚えてるだろうから瞬殺だな
こんな汎用性のない知識、高校入って加法定理を習ってからでいいと思うけどなあ…
汎用性がない、と言いながら高校受験によく出ますから...
ゲームの廃人を見た気分になるっす。まあ、汎用知識なんぞは余裕なんでしょうが、よくそんなとこまで記憶として備えてるもんだ、と口では褒めながらスンッてなります
メネラウス的な。
中学生は左上から対角線引いたりゃ十分なんだよ（ふんぬ
パッと出たのは二個目。
三個目は知らないと出ないけど
知っとけば楽やなぁw
3番目の裏技的な解法ですが、
記述式の場合でも使って大丈夫なのでしょうか？
いわゆる三角定規の比1:1√2 や1:2:√3 は周知の事実で当たり前(証明することなく公式)のように使われますが、この90.75.15の比も記述式では当たり前のように証明することなく「この直角三角形の辺の比は〜なので、答えは〜になる」のように使って問題ないのか気になります。
問題大有り
3番目は円周率計算でパイの範囲を狭める手計算の途中（3.1～3.2の計算を出してく過程）で覚えてしまうんじゃないかな？
・三角関数の加減定理
・代数方程式とピタゴラス定理の組み合わせ
どっちが早いかな？
二つ目の解き方のとき√3/√3+1じゃなくて、1/√3+1でいけるっすよね～
BE+EC=a から強引に計算しました。BEは三平方、ECは直角二等辺三角形より、求める長さxとaで記述できます。
折角解の公式使うなら偶数公式使った方がいい気がするなぁ
慣れれば約分しない分間違いも減るし
数学楽しいですね。ありがとうございます。ただ、何の役に立つのか？とも。複雑な気持ちです。
受験で役に立ちます笑
自分は受験生とは全くかけ離れた歳なのに何でか急におすすめに出てきた。
興味本位で解いてみたら答えの形が違ってた（模範解答よりだいぶブサイク）んだけど、これはどこか間違った or この形での解答でも問題ないのかどっちだろう。
頭の良い優しい人教えてくださいまし。
やり方としては、解説２に近いんだけど、↓のような感じ。
√2a = √3/2AE + 1/2AE
= AE (√3 + 1)/2
AE = √2a * 2 / (√3+1)
= 2√2a / (√3+1)
寝る前に普通に計算途中なだけじゃないかということに気付きました。
あー、年取ると頭が固くなるのは嫌だ。
4:√6+√2:√6-√2使えたら一瞬だなぁと思ったけど、これ高校入試だと15度の直角三角形の辺の長さの比って証明なしに使用可でしたっけ？記述問題では裏技使えないのじゃなかろうか
これ公立で出たら泣きます。
立教新座ででた問題だw75 15 90使いましたね
cos15°の値を求める誘導問題として見たら面白いですね...
cos15で解いたら秒ですね。
愛知県公立高校入試で似た問題が過去にありましたね。
加法定理でごり押してcos15°を出してしまった。
15度、75度などのnπ/12はもはや有名角
この問題を解説してほしい！
というリクエストは可能ですか？
可能でしたら、2012年立教新座高校大問3を解説してほしいです。
リクエストは厳しいです。
問題は、単純に面白いなって思った問題、サムネイルしやすいものを選んでます。
@@suugakuwosuugakuni やってやれよ笑
それじゃ需要ないね
三角形ADFと三角形ECFから、DF＝tとおくと、a^2+t^2=(a-t)^2+(a-t)^2が、成立。これから、t=(2ー√3)a 、よつて、AF＝(α^2+t ^2)^(1/2)＝(√6ー√2)αとなりますね。BE=DFです。これで、四番目の解になります。
3つ目のやつ
AB×BE＝４
なので
a（ルート６ールート２）
でもいけるね
高校受験だからcos15°は使えないんですよね・・
現中3ですけど4:(√6+√2):( √6-√2)はこのレベル受ける人だったら覚えてる人多いですよ〜
メネラウスチェバ方べきヘロンとか、時短に繋がるやつは覚えさせれられます🥺
ごめんなさいそもそもcos15って
4:(√6+√2):(√6-√2)で合ってましたか？間違ってたらごめんなさい🙏
高橋さんありがとうございます
cos15°は(√6＋√2)/4ですね
高校の数学なら60°と45°から導き出せます
@@HighBridge0622
高校受験してないから知らなかったけど、ヘロンとか大学入試でも使わないのに覚えるのかよ。。。
志木の数学って何点とれれば安全圏なんですか？
65点くらいですかね。。。
(90°-60°)÷2=15° 15° : 75°: 90° = √6-√2: √6+√2 :4
AE=a×4/(√6+√2) =4a(√6-√2)/(√6+√2)(√6-√2)=(√6-√2)a (√6-√2)a
サムネ見て最初の「対称性から」のとこどう説明するのかなって思って開いたからちょっと残念
△ABE≡△ADFと△AEH≡△AFHより、
AHがAC上にあるため、この図形はACに対して対称とか？
15 75 90は覚えろって言われたわ(早稲アカ生)
受験生は、覚えておいた方が得ですね！
学校の授業でやりました！
DF=xとおきました。
働きすぎやないかい？
三角関数を使うのが一番簡単
AB=BC=CD=DA=a,CE=CF=x,BE=DF=y,AE=EF=FA=zと置いて、
a=x+y
a^2=z^2-y^2
z=x√2
これをzについて解いてもいける！と思って解いたら、
z=(√4a^2+2)-√2
になりましたが、どこが間違っているでしょうか？
文字の置き方は問題ないので、計算をミスしていると思います。実際に計算したら答えが出ました。
それぞれの式をaとzについてまとめると、
z^2+2√2az-4a^2=0となり、これをzについて解けばz=(√6-√2)aとなるはずです。
さすがに難関高校の数学入試問題。やりがいありますよ。
チャンネル登録者めっちゃ増えてんじゃん！笑
😊
AEの長ささえわかってしまえば、あとは受験算数の知識で解けるね。
66才が毎日過去動画やってます。時々ドジってますが。
「解説ありがとうございました。辺比覚えま～す。」😊
加法定理知ってれば瞬殺ですね(笑)
僕は最初に正三角形の一辺の長さを√2とおいて根性で解くというズル技で解きましたwww
ほんとなあ。。。何のために先人たちが「三角比」を発明したのかと。数楽ってそういうことじゃねえのかと。これ解かせるならむしろ中学校で三角比教えろよと。何考えてんだ慶應志木。
ムニムニしい
サムネでプロメアかとおもった
辺BEをCで表してABEを三平方の定理で表して計算したらややこしくなってしまった。
FECも直角二等辺三角形になるのは分かってたんだけど・・・
(´Д｀)ﾊｧ頭が固くなってしまったなぁ・・・
15度75度の三角形など高校ですら教えてもらってなかったわ。
(√6-√２)：(√6+√２)：4か・・・この比を定義した人凄いな！
毎回視聴してて思うのですが、音声が非常に小さい。改善を。
音量上げろよw
AC上にHがあるのをちゃんと言わないと中学生わからないんじゃないのかな
草³はえる
申し訳ないけどこれを三角比暗記して解くような奴は数学のセンスないわ。
メラネウスとか中学範囲での小手先の技術を必死に覚えて高校受験してるやつって高校数学のセンスの壁にぶち当たって大成しない。
そもそもこのレベルを受ける人は範囲外の暗記に頼らずとも解ける力はそれなりについていて、あくまでも制限時間内に効率良く点を取るための手段として使うのでセンス云々ではない。
@@user-fm9ho9mw3p 「今回の問題」の話だが？
少なくとも今回の問題は計算量大したことないんだから短縮の為に15°75°使う理由もないしドヤ顔で加法定理習ってるでしょとか言ってる中受エアプのコメント供に対して言ってる。実際計算量の推定もできずに15°75°見て反射で比を使っちゃうような受験生は応用効かずに慶應志木落ちてるでしょ。そんな簡単なとこじゃない
高校数学もセンスいらないんで大丈夫でしょう