Video

точнее понял, но не очень

@@ilya_tuna если Вы про интерпретацию целых чисел, то подробнее можно в другом ролике посмотреть czcams.com/video/Rd05TR8-xBA/video.html

вроде я тут уже отвечал на подобный вопрос - можете, если у вас идеальная память, но, честно говоря, без наполнения логики богатым разнообразтем математических теорий прочувствовать ее внутреннюю структуру пракически невозможно.

Что вы подразумеваете пол идеальной памятью? Я думаю, что нужно не только запоминать, а понимать, мой вопрос касался именно этого. Понять некоторые идеи теорий можно и без существенных знаний в математике, я думаю. ​@@reisedurchdiemathe

Я новичок в этой теме, поэтому пытаюсь узнать как можно больше.

идеальная память нужна, чтобы запомнить тот колоссальный объем материала, который есть в этой науке (термины, определения, теоремы), потому что без реального наполнения понятий запомнить их крайне сложно. Вы можете понять какую-то внутреннюю логику, но ее будет недостаточно, чтобы, например, сдать экзамен по матлогике, спасёт только память )) На самом деле мой ответ был завуалированным "нет", без хорошего понимания математики матлогику учить довольно-таки бессмысленно. Как минимум надо знать теорию множеств, понимать высшую алгебру и топологию, желательно освоиться с понятием графа, ну и куда ж без теории чисел, это наше всё. Да, и еще конечно лучше уметь хоть немного программировать, хотя бы на Питоне.

@@0apollon вы про векторное поле говорите, а у меня речь идет про алгебраическое, это совсем другое понятие

@@reisedurchdiemathe Не понял, да вы правы.

хороший вопрос) в принципе - никаким, но тогда он должен иметь идеальную память) а вообще желательно конечно сначала получить опыт доказательств в разных ветвях математики - анализе, алгебре, топологии, то есть это примерно 1-2 курс матфака. этот опыт позволит видеть в матлогике смысл.

Какие книги вы можете посоветовать по математической логике от низкого уровня до высокого, пожалуйста. 😊

1. Верещагин и Шень - весь цикл. 2. Успенский и Верещагин - вводный курс. 3. Мендельсон - введение в матлогику 4. Йех - теория множеств. 5. Клини - математическая логика. 6. Колмогоров и Драгалин - там тоже несколько книжек. 7. П.Коэн - теория множеств и континуум-гипотеза. 8. Самуэль Басс - теория доказательств (это уже топчик) 9. Швихтенберг и Вайнер (тоже топчик) 10. все видео курсы Беклемишева и Яворской (весь спектр сложности).

@@reisedurchdiemathe Спасибо большое! Продолжайте свою работу, желаю вам успехов! 😇❤️

Спасибо за высокую оценку моего труда. Указанную работу я еще не читал, но уже по вашему комментарию понятно, что это некотрые частные случаи подхода. Строго говоря, доказать непротиворечивость арифметики второго опрядка силами ее самой или более слабой теории нельзя - теорему Гёделя никто не отменял. А в ZFC доказать непротиворечивость арифметики любого порядка - задача почти тривиальная. Поэтому современные поиски идут отчасти в поле слабых негеделевых систем. То, что вы упоминаете, скорее, является поиском таких негеделевых систем, которые а) умеют доказывать свою непротиворечивость и б) являются достаточно выразительными для описания более сильных формализмов. В этом же направлении работает Федор Пахомов, он тоже имеет некотрые результаты о формальной теории множеств без аксиомы степени. Можете погуглить. В классическом же смысле, разумеется, мы никогда не докажем непротиворечивость PA хоть 1го, хоть 2го порядка. Вопрос в том, как в будущем изменится подход к определению непротиворчивости или, скажем, так, надежности формальных систем. Например, будем ли мы считать теорию достаточно надежной, если ее язык определен в более слабой системе, умеющей доказывать свою непротиворечивость? Или будет придумана еще какая-то категория теорий, способных давать классические результаты математики (или их аналоги в некотором приближении), но при этом не являющихся геделевыми? Пока здесь все покрыто мраком неизвестности. Насчет способности понять - тут как посмотреть. Алгебраисты, думаю, способны понять, т.к. это рядом с ними происходит. Нематематики - вряд ли, потому что нужен хороший бэкграунд в смысле упражнений с формальным выводом. Одно неизбежно: борьба формального с неформальным будет вечной)) Такова природа человека.

@@reisedurchdiemathe Я имел ввиду, что это большое достижение в области конструктивных доказательств. В одной из ваших лекций вы упоминали, что в свое время к теореме о неполноте Геделя с ее диагональным доказательством по языку самой арифметики отнеслись скептически, посчитав этот пример искусственным, не имеющим отношения к каким-либо реальным теоремам, но появление теоремы Гудстейна все изменило, и именно это дало толчок к развитию Генценовского подхода и трансфинитных итераций по Тьюрингу, о которых вы говорили в последних лекциях, и формирования самого понятия теоретико-доказательственный ординал. Наличие примера конструктивной теоремы, которая выходит за пределы доказательственных возможностей теории, ее демонстративное доказательство в рамках более сильной теории, и иллюстрация того самого ε_0 - PTO(PA) это то, что окончательно сменило парадигму в умах большинства математиков. В сущности, как я понимаю, такие иерархии, как FGH или иерархии Харди в совокупности с трансфинитными ординалами сами по себе генерируют подобные теоремы для соответствующих по силе теорий. Но тут есть важный момент - объяснить неподготовленному человеку масштаб рекурсий (размеры чисел) FGH от ε_0 или тех, что создаются в процессе вычисления теоремы Гудстейна - это посильная задача даже в рамках нестрогих научно-популярных математических роликов, нужно всего лишь познакомить с нормальной формой Кантора и понятием фундаментальной последовательности. Но вот рекурсии (размеры чисел), которые создаются вблизи FGH от PTO(Z2), который был получен Arai, настолько мощные и невообразимые, что даже сами математики врятли могут их до конца постичь. Мне кажется только правила записи нормальной формы его коллапсирующей функции должны занимать более 50 стр. И если объяснить скажем функцию Веблена, которая добивает до ATR0, или коллапсирующую функцию Бухольца добивающую до KPω еще можно в рамках лекций и курсов, то дальше начинается непроглядный рекурсивный лес. Предыдущими рекордсменами в этой области были в 80-е Buchholz и Jäger конструктивно создавшие PTO для теорий П^1_1-CA_0 и KPI соответственно, затем в 90-е Rathjen создавший PTO для теорий KPM и KP-П_3-reflection, в 2010-е Stegert проанализировавший теории KP-П_n-reflection (с натуральной и трансфинитной индукцией по n), и вот наконец 2020-е и Arai c PTO для П^1_2-CA_0 и в конечном счете Z2.

Кстати, известен такой замечательный факт: если к РА добавить аксиому Con(ZF), выраженную в языке PA, то данная теория PA+Con(ZF) доказывает совместность ZF (и ZFC+CH)

По поводу сложности и доступности для понимания, думаю, вы правы - современная математика (не только логика) идет по пути стремительного роста сложности доказательств (хотя сами результаты при этом могут оставаться доступными для понимания широких масс - взять хотя бы теорему Ферма и ее доказательство). поэтому результаты, думаю, можно объяснить многим, отчасти прибегая к аналогиям и упрощениям, а вот объяснить доказательство становится все труднее и труднее. да что там объяснить - понять даже самим специалистам в данной области! и тут либо нужны какие-то новые идеи для дальнейшего развития самого языка математики, либо какие-то машинные пруферы, доверие к которым будет выше, чем к человечским доказательствам. Николай Вавилов по этому поводу неоднократно высказывался, что современные математические доказательства - это вопрос доверия к их авторам. И это может быть проблемой математики 21 века. По поводу PTO - если смотреть шире на всю идею (забыв про дремучий лес техники работы с этими понятиями), то я в своих лекциях отмечал (и Лев Беклемишев тоже это упоминал), что само понятие ординала теории, прямо скажем, оставляет желать лучшего, поскольку для той же РА можно определить, с одной стороны, недоказуемый порядок типа ω, с другой стороны - доказуемый порядок длинее, чем ε0. Но оба эти примера в некотором смысле патологические, неестественные. При этом никто не может толком определить, что такое естественный порядок, хотя всякий специалист в каждом конкретном случае легко отличит естественный от неестественного порядка.

Поэтому я думаю, что главный фокус исследований должен заключаться не в поиске очередного "крутого" ординала какой-то теории (это, безусловно, тоже важно, но это уровень кандидатской диссертации и больше напоминает состязания в поисках очередного простого числа). Фокус исследований должен быть направлен на поиск какой-то более внятной концепции того, как вообще мы понимаем математические доказательства и теории, должна ли быть фундированной категория теорий и если да, то как выстроить такую иерархию, каким должен быть язык метаматематики, надо ли его расширять, модифицировать, может быть это вообще должен быть какой-то особенный язык. А может быть мы просто упускаем из виду какие-то альтернативные ZF принципи "овеществления" логики? Может быть с изменением подходов к исследованиям упростится и их понимание, и доступность для более широких масс (в том числе нематематиков). Хотя вся история математики, вроде бы, говорит об обратном.

да, верно. опечатка)

я не специалист по теории чисел, но мне представляется, что мы вообще очень плохо до сих пор понимаем, как связано сложение с умножением в том смысле, что мы не имеем каких-то хороших алгоритмов, хотя бы приблизительных, которые могли бы быстро конвертировать разложение по степеням простых числа А в таковое же разложение числа А+1 (ясно только, что там будут другие простые, т.е. это будет некий переход в ортогональный базис в пространстве простых). Если бы мы научились здесь давать какие-то хорошие оценки, то уже доказали бы теорему Колатца. Так что дерзайте - здесь еще много будет "открытий чудных".

а в метаязыке мы ни в чем себе не отказываем, включая аксиому выбора, если нужно) метаязык использует стандартную математику, и классическая логика тут в самый раз. конечно, некоторые вещи про неклассичесую логику можно доказать используя эту самую неклассическую логику, но в целом на метауровне мы все-таки живем в обычной математике, а всю неклассику изучаем как математический объект. дальше будет видно, что это всего лишь другое описание некоторых алгебр (логика алгебры, если хотите).

это лучше вы у физиков спросите) afaik, скорости света есть две - предельная возможная скорость в теории относительности, и физическая скорость света в конкретной среде.

в данном курсе это встретится в арифметике ординалов, т.е. тоже нескоро) тут ведь все зависит от того, какой конкретно формализм мы рассматриваем (теория множеств или арифметика) и как вводим обозначения чисел, поскольку символы 1 и 2 нужно сначала определить через базовые символы сигнатуры, а потом уже выводить какие-то равенства про них. если же говорить про арифметику, то в курсе математика ка киностранный у меня это находится в 10м ролике czcams.com/video/-d9H6WAdk2g/video.html (правда там нет конкретного равенства 1+1=2, но понять, как его получить, можно именно оттуда)

А мне это доказательство нравится своей алгебраичностью в духе Гильберта, и еще тем, что не требуется использовать рекурсивное определение даже хотя бы вдоль омеги, как в классическом доказательстве. Это его никоим образом не делает сильнее, но придает некоторый шарм истинной математики)

@@reisedurchdiemathe Понятно. Но на всё это можно посмотреть с другой стороны. Алгебраический подход хорош для экономии мысли, но только после того, как сама алгебра имеет неалгебраическую интерпретацию, как это можно видеть на примере группы. В квантовой механике популярен алгебраический подход, но без предположения о модели в виде функционального гильбертова пространства он вырождается в игру с буквами. В стандартном доказательстве рекурсивное определение позволяет ПОНЯТЬ, почему теорема истинна. PS. Что же касается самого статуса определения по рекурсии, то она вообще-то относится к конструктивной математике. Без нее невозможна математическая логика: формулы и термы определяются по рекурсии.

в последующих роликах я как раз пытаюсь рассуждать о том, что разнообразие семантик (и их интерпретаций) очень полезно, т.к. у разных математиков разный мыслительный процесс и система образов, и ваше замечание есть хороший тому пример. я вот как привык когда-то к графам, так и вижу их везде) а кому-то нравятся миры или топосы. Главное, что это все одинаково безупречно работает.

А зачем Вы учили русский?

Потому что истина "сильнее" чего угодно, в том числе и лжи. А кроме того, из противоречия следует все, что угодно, в том числе и истина. Алгебраическую (булевскую) интерпретацию логики нужно воспринимать как модель аксиом логики и не искать тут каких-то сверхидей. Парадокс в том, что эта модель очень удачно и в некоторым смысле единственным образом "оцифровывает" логические правила. И поэтому уже чисто алгебраически получается то, что вы спросили. В самой же логике формулировки имеют вид вроде такого: - если А верно, то А следует из любой посылки: A -> (B -> A), - если А не верно, то из А следует все что угодно: ¬A -> (A -> B), а это уже разрешается булевской моделью, где a->1 и 0-> a при любых a.

вопрос, как говорится, не в бровь, а в глаз)) Очень перегруженные в математике символы. в контексте исчисления высказываний: одинарная стрелка влево-вправо (<->) есть логический оператор "эквиваленция", т.е. это элемент языка ИВ двойная стрелка влево-вправо (⇔) есть логическое "тогда и только тогда" из языка метатеории (т.е. той теории, в которой и средствами которой мы изучаем логику) тождество (≡) означает совпадение в любой интерпретации (при любом означивании), т.е. в случае булевой логики это равенство соответствующих булевых функций именно как функций, и это тоже метатеоретическое высказывание. Про эквиваленцию и тождество формул исчисления высказываний доказывается метатеорема: A≡B тогда и только тогда (⇔), когда формула A<->B есть тавтология.

Добрый день, конспекты я обещал выкладывать на бусти, так что и этот там же прицепил: boosty.to/mathreisender

@@reisedurchdiemathe Спасибо за наводку. Тогда, если позволите, вопрос по теме: 1. Гедель конструирует формулу, которая является примером такой формулы, которая предъявляет неполноту арифметики (формула G). Данная формула саморекурсивна: сама утверждает о собственной недоказуемости. Такой формулой Гедель показал, что в математике возможны утверждения, которые будучи истинными, не могут быть доказаны (это и есть неполнота). 2. Вопрос: я предполагаю, что таким свойством (быть истинными но не доказуемыми) в рамках арифметики могут быть только саморекурсивные утверждения. Так ли это? И еще один момент: я не понимаю операции, когда конкретное натуральное число в один момент используется как код формулы, а в другой - как просто натуральное число. Смотрел лекцию Сосинского, но тоже как-то не понял этого хода: почему так можно делать, как определить, является ли данное натуральное число просто числом или же оно - номер геделевской формулы.

@@anspoetic по поводу пункта 2 - нет, это не так, к счастью (или к сожалению). Есть вполне себе естественные недоказуемые утверждения, например, теорема Гудстейна или принцип червя. Да и в целом если привлечь аппарат рекурсивных функций, можно обнаружить целое семейство недоказуемых утверждений (утверждения типа "функция f тотально определена")

@@anspoetic по поводу кодировки. ну вот это и есть центральный момент доказательства Геделя. В наше время это гораздо легче объяснить, если вы хоть чуть-чуть программист. Вспомните, как выглядит любой файл, если его открыть в hex-редакторе. Это - набор 16-ричных цифр. Причем ОС, когда читает такой файл, умеет его "распарсивать", т.е. дешифровывать, зная алгоритм кодирования. Примерно так же и в арифметике. Все формулы можно закодировать числами, просто приписывая коды буковкам и символам. Ключевые моменты: 1) это кодирование рекурсивное, т.е. полностью погружаемое в арифметику (единственное, чего не знает арифметика - это какой смысл мы придаем начальным кодам шифровки). 2) Это кодирование позволяет рекурсивным же способом расшифровать код и понять, является данное натуральное число кодом формулы (и какой конкретно формулы) или кодом доказательства (и какого конкретно доказательства), либо же оно вообще не является кодом. Более того, это распознавание осуществляется за конечное число шагов. Поэтому возможно написать формулу Proof(z, code(G)), которая, получив на вход число z, за конечное число итераций сообщит нам, является ли z кодом доказательства G, или же не является, т.е. выдаст 1 или 0. Это кстати позволяет нехитрым способом выписать геделвскую формулу, используя программу на ПК (правда, памяти и времени надо очень много). Таким образом получается, что арифметика может рассуждать о своих же собственных формулах, но только она не понимает этого (так же как ChatGPT не понимает, что он вам выдает, хотя вам кажется обратное), поскольку она оперирует натуральными числами. Ровно то же самое происходит в компьютере, когда ОС читает файл, "понимает", что он является исполняемым, и передает дешифрованный код на исполнение. Получается, что с одной стороны у вас есть функция типа def Proof(n):... С другой стороны, вы можете взять ее листинг, рассмотреть его как текст, вычислить номер этого текста и подставить в агумент n этой же самой функции. Получится некий выход, который также можно зашифровать и вновь куда-то передать. Отсюда кстати возникает классическая задача: написать программу, которая печатает свой собственный текст. Это позволяет даже в рамках одной функции произвести все эти манипуляции - функция печатает свой текст, кодирует его и применятеся к этому коду. Да, это выглядит странно, потому что система как бы сама себя анализирует, для чего она должна быть достаточно развитой. Тем не менее, это работает даже экспериментально. С другой стороны, человек тоже себя умеет анализировать. Так что нет ничего странного в том, что он переложил эту способность на логические системы.

@@anspoetic кстати, знаменитая "проблема останова" - это компьютерный вариант теоремы Геделя о неполноте. Из-за неполноты арифметики и, в том числе, универсального компьютера, система не в состоянии по коду произвольной программы определить, зависает она или нет на каком-либо произвольном входе. В отдельных случаях - можно, но тотально - нет. Больше того, если взять конкретную порграмму и конкретный вход, то можно определить, зависнет ли программа. Но создать одну прогу на все случаи - нельзя. Поэтому универсальные компьютеры зависают и всегда будут зависать. Но есть способы нивелировать проблему, если рассматривать неуниверсальные компьютеры, в более бедном языке, где проблема неполноты отсутствует. Этой порблемой, в частности, занимается computer science на стыке с матлогикой.

тут скорее не null, а неопределенность (или суперпозиция состояний). это действительно связано с проблемой останова (как и теорема Гёделя) и показывает (алгоритмическую) неразрешимость некоторых формальных систем. Однако в случае модели про Германию в мире Y все же такой проблемы не будет, т.к. саму-то модель мы строим на конечном графе, да еще в рамках классической логики, поэтому там такая проблема не подразумевается. Но не исключено, что можно придумать какой-то пример с неразрешимым множеством вершин графа (миров шкалы Крипке), и тогда уже сама проверка модели на истинность столкнется с проблемой останова.

@@reisedurchdiemathe суперпозиция состояний, это то, что вы чуть ниже обозначили как аксиому I_n? (Так то понятно, то пример с Германией игрушечный 🙂)

сори, но нет, это было бы нечестно по отношению к слушателям, т.к. философия - это совсем не мое. цена таким видео была бы нулевая.

Добрый день, сконструировать/построить - нет, НО определить/доказать существование - да. Например, можно доказать существование неизмеримого по Лебегу множества, а также существование вполне упорядочения любого множества. В том числе, как вы правильно пишете, можно доказать, что существует элемент произвольного прямого произведения непустых множеств, т.е. АС позволяет доказать, что это произведение не пусто. Но она не даст конкретного алгоритма построения всех этих сущностей. Мотивом введения этой аксиомы, скорее всего, было доказательство леммы Цорна, когда математики поняли, что бесконечный выбор является существенной предпосылкой для леммы Цорна и, более того, АС ей эквивалентна. Тогда и стали изучать эту аксиому. До этого момента она считалась само собой разумеющимся логическим принципом. В ZF мы можем "построить", но лучше сказать "определить" декартово произведение любой системы множеств, главное, чтобы эти множества были проиндексированы тоже множеством. Но доказать, что это произведение не пусто, не сможем без АС (кроме конечного случая). Обычно принято считать, что счетная форма аксиомы выбора (или, скажем, аксиома детерминированности из той же оперы) - довольно безобидная и нужная, т.к. позволяет доказывать теоремы матанализа, но не приводит к патологическим примерам. "Получать" множества, недоступные в ZF, она начинает с первых же бесконечностей, например, существование сходящей последовательности в ограниченном множестве вещественных чисел (сильная форма теоремы Больцано--Вейерштрасса) недоказуемо без аксиомы выбора, т.к. опирается на теорему о существовании счетного подмножества в произвольном бесконечном множестве.

про категорную семантику не берусь что-то утверждать, но есть топологическая семантика, которая в некотором смысле эквивалентна семантике Крипке. постараюсь ее рассказать в будущем.

Отлично, вы своим постом подтвердили мое высказывание, что не всех устраивает математическая импликация) Потому что в математической логике формула ((p➔f)∧(b➔g))⟶((p➔g)∨(b➔f)) является тавтологией, что несложно за пару минут проверить вычислением (хоть по таблицам, хоть в Питоне). Далее вы очень длинным текстом привели таблицу истинности математической импликации. Не вижу тут никакого противоречия. Я говорил лишь о том, что написанное математически часто интерпретируется в бытовом понимании не математически. А поскольку математика стремится охватить все возможные интерпретации и способы мышления, люди ищут другие системы правил, которые могут применяться в конкретных ситуациях. Замечу также для слушателей-математиков, что в интуиционистской логике импликация имеет тот же смысл, что и в классической, поскольку разница лишь в аксиомах для отрицания. Но в целом она получается чуть-чуть слабее, чем классическая. Есть и другие системы неклассической (математической!) логики, например, такие, в которых посылка и следствие должны быть существенным образом зависимы через хотя бы одну свободную переменную. Работы в этом направлении ведутся разными математическими школами, и поэтому нельзя считать, что существует какая-то одна православная импликация, высеченная в камне. Однако есть общепринятая классическая математическая импликация, как база для построения других.

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​@@reisedurchdiematheформула то тавтологична, но, ещё раз, ничего странного она не порождает, т. к. вы не можете одновременно быть и в Париже и в Берлине! А читаете по смыслу, как буд-то так и происходит: (если я в Париже, то я во Франции) и (если я в Берлине, то я в Германии), делая вместо союза "и" словестную паузу... Тем самым подразумевая "или". Но если "или", то это уже не та формула, а если все таки "и", то вы с самого начала высказываете ситуацию, не менее абсурдную чем получается во второй формуле... Примерно та же ситуация возникает с импликацией, когда читают "Если, то", замалчивая три остальных ситуации (непременно входящие в смысл "Если, то"), которые на самом деле могут означать, как импликацию, так и эквиваленцию или конъюнкции (или даже причинность), порождая нарушение закона тождества. Но контекст, то не все понимают... А самое интересное, что и сам говорящий, незаметно для себя иногда делает подмену смысла Поэтому, в следовании второй вормулы из первой ничего адсурдного, на самом деле, нет! Также, как и в том, что "Если снег чёрный, то Москва столица России". Это показывает только порочность разговорного языка с его сокращениями смыслов, который будет коверкать любую логику. Чтобы этого не было надо вместо разговорного языка взять другой, но это и означает - перейти на язык логики. Т. о. для интерпретации предложений логики высказываний достаточно самой логики высказываний. На счёт других импликаций это понятно. Что можно искать взаимосвязь между высказываниями в структуре предложения, что логика высказываний не рассматривает. И такие импликации не могут ей противоречить. А вот если создать другую логику на том же уровне абстракция, как и логика высказываний это уже другое дело. Но тогда надо брать другие или особые объекты (например, не предложения) и другие виды значений этих объектов (например, не истину и ложь, или не только истину и ложь). Ну и вводить другие (особые) правила отношений первого вида объектов ко второму.

@@Serg_svs пишите формулы или математические термины, чтобы был предмет для обсуждения, пример с парижем - это всего лишь иллюстративный прикол, он не имеет отношения к матлогике от слова совсем, т.к. у матлогики научная семантика - всегда теоретико-множественная. да, и, к слову, "на том же уровне абстракции" существует много разных исчислений.

​​​​@@reisedurchdiemathe вы высказали мысль о том, что импликации и та формула, которую вы указали может порождать утверждения, которые противоречат здравому смыслу. Я вам показал, что это не так. Противоречия со здравым смыслом порождает неверная интерпретация импликации и этой формулы, а не они сами. Таким образом никаких противоречий со здравым смыслом в логике высказываний, на самом деле нет. Следовательно, противоречия здравого смысла, не могут быть основанием для поиска других логических систем. Значит либо эти основания ошибочные, либо заключаются в чем-то другом. Для того, чтобы это понять не нужны формулы. Нужно просто правильно интерпретировать логические выражения. Более подробно выразить мысль я уже не смогу О том, что могут быть разные логики на том же уровне абстракции - это очевидно. Это следует из того, что я об этом говорил. Их можно сколько угодно придумать. Например возьмём в качестве объектов утверждения, в качестве их значений: истину, ложь, хорошо и плохо. В качестве правил отношения, например, следующее: утверждение либо, истинно либо ложно. Если утверждение ложно, то оно плохо, если истинно, то либо хорошо, либо плохо. Вот вам и новая логика, на том же уровне.

да, конечно, опечатался) все покомпонентно делаем

При подстановке формул вместо переменных не требуется, чтобы формулы были истинными. Более того, часто мы подставляем вмето переменных вовсе не тавтологии. Например, при замене C/A вместо переменной C подставляется формула A, которая может быть как истинной, так и ложной. Подстановку нужно рассматривать строго как программистскую функцию замены подстроки на какую-то строку во всех ее вхождениях. Истинность (A→A) возникает ровно тогда, когда эта формула оказывается под чертой вывода как самостоятельная формула.

Ясно, спасибо! @@reisedurchdiemathe

спасибо, заодно и я изучаю) ибо нет лучше способа что-то понять, чем попытаться объяснить другому))

Как раз недавно разбирали на занятии этот же вопрос. Я попробовал объяснить ситуацию так: мы можем рассматривать некоторую минимальную теорию множеств, достаточную, чтобы с ее помощью определить операции со строками (грамматику и вывод). Имея такую теорию, мы можем построить логику первого порядка, а в ней определить теорию множеств. Таким образом у нас получается замкнутая самоподдерживающаяся система понятий, в которой нет первичных понятий - мы можем стартовать как с множеств, так и с грамматики, которые взаимно друг друга могут обосновать. Теория множеств при этом может быть выбрана такой, чтобы у нас не было сомнений в ее использовании, например, такая, которая умеет доказывать свою непротиворечивость (пример такой теории открыт Федором Пахомовым буквально недавно). Искать же какой-то условный понятиный "первород" - это как раз бесполезное занятие, т.к. каждый раз мы вынуждены будем ссылаться на неопределяемые понятия (например, на конструкции разговорного языка или на какую-то физическую реализацию формализма). Поэтому считаем, что МЛ и ТМ взаимно обосновывают друг друга и вместе являются фундаментом всей остальной математики.

на второй вопрос не ответил) начать лучше с Теории множеств, имхо. Можно даже с наивной. Цель: наработать ТМ-интуицию, а затем понять необходимость аксиоматического подхода.

и да, и нет. в доказательстве предъявляется неконструктивный способ построения модели. неконструктивность его заключается в использовании аксиомы выбора, когда мы для истинных формул с квантором существования предъявляем свидетелей. то есть, в целом там идея такова, что нужно набрасывать элементы подструктуры с помощью перебора истинных в исходной модели формул: сначала мы включаем константы, а затем идем по истинным формулам, и в зависимости от их структуры набрасываем свидетелей этих формул (если не хватает констант). ну и поскольку у нас формул счетное множество (в случае конечного или счетного алфавита), то мы вынуждены делать выбор счетное число раз, для чего и нужна аксиома выбора. для обычных математиков это конечно странный способ - мы по сути вытаскиваем объекты из формул. но если формулы тоже считать объектами исследования, например, истинностными функциями, то почему бы и нет) вот здесь можно посмортеть подробнее: czcams.com/video/QyYVECT-lww/video.htmlsi=OlOsu1HV_nq-mykE&t=1897

Хм.. боюсь, из-за несчетности этого множества могут возникнуть отличия, т.к. оно получится не изоморфно обычному Q

@@reisedurchdiemathe Тут вряд ли счётность играет решающую роль. Для первого подпространства (порождённого B) мы можем использовать автоморфизм не "-x", а любой "переворачивающий". Для второго (порождённого C) в каком-то смысле мы воспользовались "существованием дырки" - возможностью разбить всё множество на 2 таких, что они не пересекаются, но оба не содержат минимального и максимального элемента (в целых и действительных это не прокатит). Поэтому (кажется), кроме Q есть другой достаточно широкий класс с аналогичной решёткой. Причём скорее всего я был неправ и этот класс существенно шире.

@@alexanderspeshilov839я имел в виду, что если бы множество было счетное, то мы могли бы свести все к Q из-за счетной категоричности (Q,<) , но возможно Вы правы, т.к. для несчетных плотных без концов линейных порядков мы можем найти счетную элементарно эквивалентную подструктуру в силу теоремы Л-С, тем самым сведя вопрос к изоморфной Q структуре, и тогда вроде бы никаких принципиально новых подпростраанств (помимо порожденных B, C и S) появиться не должно... однако беглый поиск в интернетах не дал ответа не зря Алексей Семенов говорит, что в этой обалсти непочатый край работы)

@@reisedurchdiemathe У вас очень интересные и понятные лекции (с оговоркой про входной порог, конечно). Я сравниваю с тем, как у нас на ММФ НГУ это давали в 1996-1998 годах. Я тогда вообще не понял ни что такое решётки, ни что такое ультрафильтры (и то и другое в Логике было). Как-то сдал, конечно, но понимание не возникло. Сейчас смотрю ваши лекции и понимаю, что буквально пары примеров и конструкций не хватало в лекциях для наглядности. Самое грустное, что на матфаках это часто считается "не багой, а фичей", ну типа "мы же тут труъ математиков готовим, пусть прогрызают". У меня жена кфмн, так я ей через 20 лет после университета некоторые вещи на пальцах объяснял, когда она в вуз пошла преподавать (чтобы она и сама поняла, и могла студентам не математикам объяснить).

@@reisedurchdiemathe И ещё. Если кажется, что эта дискуссия про то, насколько универсальна такая решётка - это некая абстрактная непонятная непрактичная ерунда, то, возможно, это только кажется. Я вот задумался о том, какие модели с ">" будут обладать такой решёткой вот из каких соображений. Большинство существующих лидирующих СУБД базируются на "реляционной" "алгебре" (которая не совсем реляционная и не совсем алгебра и уж точно не является полноценным фундаментом для СУБД, но это другая история). В этих СУБД очень важны свойства отношения ">", потому что именно оно позволяет строить эффективные структуры поиска (индексы на B-tree). Причём аналогом "рациональных чисел" в данном случае скорее являются строки, точнее классы эквивалентности строк - они в СУБД "всюду плотные", тогда как числа даже с плавающей точкой с точки зрения сравнения ближе к целым (даже если забыть про конечность).