Video

Sehr gerne. Es freut mich, wenn dir mein Video geholfen hat!

Mir ist nicht ganz klar, weshalb du mit i+1 erweitern möchtest, aber ja, es gibt oft mehrere Wege und statt dem im Video beschrieben hätte man z.B. auch die Identität a_(n+1) = i*a_n +1 zeigen können und versuchen, aus dieser etwas abzuleiten.

Tatsächlich sind derartige Aufgabentypen im späteren Verlauf des Studiums eher selten. Aber die Aufgabe hier schreit quasi nach Binomischer Formel wie viele andere, die als Quotient dargestellt sind.

Es freut mich, dass ich dir helfen konnte. Tatsächlich habe ich bereits überlegt, ob und was ich als nächstes machen könnte. Von daher werde ich hier zeitnah etwas zu machen.

Ich würde grundsätzlich wie folgt unterscheiden: Wenn die Definition der vorliegenden Funktion gutartig ist,z.b. polynomiell oder exponentialfunktion, dann einfach bekannte Rechenregeln nutzen. Wenn die Funktion abschnittsweise definiert ist oder eine separate Definition für einzelne Punkte hat (oder die Aufgabenstellung es verlangt): Definition nutzen.

Vielen Dank! Schön, wenn ich dir helfen konnte.

Welcher Schritt fehlt hier deiner Meinung nach? Meiner Meinung nach ist der beschriebe Weg ausreichend. Im letzten Schritt taucht phi lediglich als Argument von sin^3 und cos^3 auf womit automatisch |(r(cos^3(phi)+sin^3(phi))/2)| <= |r| *|(1+1)/2|=|r| gilt. Der letzte Ausdruck ist also durch |r| beschränkt, was für r-> 0 gegen 0 geht.

@@algebraba2911 Okay, mit diesem zusätzlichen Argument gäbe es dann volle Punktzahl (vorausgesetzt, man darf Polarkoordinaten benutzen). Die gleichmäßige Konvergenz bezüglich phi ist aber wirklich wesentlich und muss gezeigt werden. Sonst ist die Argumentation lückenhaft. Besser wäre es dabei, den Limes immer wegzulassen und durch Abschätzungen auf |r| (und zwar unabhängig von phi!) zu kommen, was gegen 0 läuft für r gegen 0. Ohne dies, wie gesagt, gäbe es an jeder vernünftigen Hochschule Abzüge. Ein kleines Beispiel, warum meine Anmerkung wichtig ist: f(x,y)=1, wenn y=x², x>0 und f(x,y)=0 sonst. Hier ist es so, dass für jeden Winkel phi für ein hinreichend kleines r>0 gilt f(r cos(phi), r sin(phi))=0. Aber dennoch ist der Limes von f im Ursprung nicht existent. Das liegt nämlich daran, dass man zu jedem r>0 einen Winkel phi finden kann mit f(r cos(phi), r sin(phi))=1.

Ja, da gebe ich dir Recht. Zunächst Abschätzungen durchzuführen und dann den Grenzwert zu bilden würde vermutlich sauberer aussehen. Vielen Dank für das schöne Beispiel. Gefällt mir gut. Sonst kannte ich hauptsächlich solche bei denen sich später noch ein phi im Nenner befindet und die letzte Abschätzung nicht mehr geht.

Diese Gleichung ist richtig. Im Video steht ja auch 1=3-2 = 3-(35-3*11). S1 ist jedoch der Vorfaktor der 35 bei dieser Darstellung und der ist negativ.

Ja, sind sie. 1 und 2 sind ja die Einheitsvektoren (1,0) und (0,1) und der dritte vektor ist (1,1). Es gilt (1,0)+(0,1)=(1,1), also sind diese linear abhängig.

Dankeschön 😊

Sorry, dass dir mein Video scheinbar nicht geholfen hat. Kannst du genauer sagen, was du schlecht findest, damit ich das ggf in weiteren Videos berücksichtigen kann.

Das tut mir sehr leid. Wenn du konkreter benennst, ab welchem Schritt es schiefgeht, kann ich dir besser helfen.

@@algebraba2911 schwer zusagen.. ich hab die Matrix in einen Online-Rechner geworfen und der hatte, so wie ich, y1=(-2,-2,1). (Die andere beiden spalten der Matrix waren (-2,-1,0) und (-2,-1,-1)).Dann hatte ich alpha = 3 und Beta =1/3 und der Rechner alpha = 1,5 und Beta = 0,42 oder so. Evtl liegt da irgendwo ein Fehler..

@@user-xb9fv9xk6n Ok, kann es dann sein, dass sich deine Notation und die von dem Rechner den du verwendest einfach von meiner unterscheiden? Hier ist y1 (und auch y2 später) erstmal kein echter Rechenschritt, sondern einfach nur die aktuelle Spalte bzw. ein Teil von dieser, um die Zwischenschritte für die nächste Transformation zu bestimmen.

Der andere Fall ist vollkommen analog dazu. Je nachdem wie strikt bzw genau man sein möchte kann man den Fall mit aufschreiben, dann steht im Zähler x statt y und der Bruch wird ebenfalls durch 2 abgeschätzt.

Fr

Gern geschehen 😊

Danke dachte ich bin dumm

Vielen Dank euch beiden. Ihr habt Recht, die sind vertauscht. Sorry dafür. Ich habe es auch als Hinweis im Untertitel ergänzt.

Du hast Recht, an der Stelle ist etwas merkwürdig. Der Fehler ist aber in der Zeile darüber mit einem "-" statt "+". Die 2. Summe geht bis n, wobei nur die Terme für n-1 und n übrig bleiben. Setzt man diese in 1/(l+1) ein, bekommt man 1/n und 1/(n+1) statt 1/(n-1). Danach geht es aber korrekt weiter als hätte dort 1/(n+1) gestanden.

@@algebraba2911 Vielen Dank

Vielen Dank für den Hinweis. Ich habe das Thumbnail abgeändert.

Du hast Recht. Das ist am Anfang etwas unglücklich notiert. Tatsächlich gehen hier beide Koordinaten gegen 0, da beide nach Transformation durch r dargestellt werden und r gegen 0 geht. Am Anfang hätte hier einfach (x,y) gegen (0,0) stehen sollen statt x gegen 0.

danke für die Erklärung @@algebraba2911

Ja, jedes Gleichungssystem kann in eine Koeffizientenmatrix überführt und in dieser Form gelöst werden.

Sehr gerne!

Direkt am Anfang wird s_1, s_2, s_3 bestimmt. Dort stehen auch die r_1,r_2,r_3, auch wenn sie nicht direkt erwähnt werden. Zur Konstruktion der Lösung sind die r_i nicht direkt verwendet worden. Mit der Gleichung 1 = r_i * m_i + s_i * M_i im Hinterkopf, kann aber auch die r_i recht schnell ablesen: r_1 = 12 (Minute 3:00), r_2 = -4 (Minute 3:19), r_3 = -2 (Minute 3:32).

(x+iy)^2 kann per 1. binomischer Formel ausgewertet werden. Das ergibt dann x^2 +2xiy +(iy)^2 = x^2+2ixy +(i^2) * y^2 = x^2+2ixy - y^2 (da i^2 = -1). Sorry, falls du eine andere Stelle meintest, aber das Video hat nur 10 Minuten, daher funktioniert dein Link leider nicht.

Du kannst quasi die gleichen Schritte machen, aber am Ende musst du P invertieren. P ist ja eine Permutationsmatrix und hat daher dann auch wieder eine Inverse Q, die ebenfalls eine Permutationsmatrix ist. Du hättest dann zusätzlich zu PA = LR die Matrizen für A = QLR bestimmt (natürlich kannst du statt Q auch P als Namen verwenden).

Euler hat bereits ausreichend Denkmäler in der Mathemstik😊 tatsächlich liegt der Grund hier auch in der Euler Formel. Es gilt e^(ix)=cos(x)+i*sin(x), d.h. der e-Ausdruck gibt am Einheitskreis genau den Punkt der auf der Geraden mit dem entsprechenden Schnittwinkel liegt.

@@algebraba2911 und dieser Punkt hat auf einer der Koordinaten genau den Wert e ?

Wir haben am Anfang den Bruch mit (3-4i)/(3-4i) erweitert. Dadurch ergibt sich im Nenner der Ausdruck (3+4i)*(3-4i). Da das die 3. binomische Formel ist, wissen wir, dass 3^2-(4i)^2 rauskommen muss, also rechnen wir weiter 3^2-(4i)^2 = 9 - (-16) = 25 und diesen Nenner ziehen wir dann in Form von 1/25 als Faktor vor die Klammer.

@@algebraba2911 Danke 🙏🏽

Sehr gerne 🙂

Die Vektoren werden normiert, da wir hier ja das OrthoNORMALisierungsverfahren von Gram-Schmidt anwenden, d.h. wir orthogonalisieren mit dem Orthogonalisierungsverfahren und normieren dann. Wir möchten als Endprodukt ja eine Basis des Vektorraums haben, deren Vektoren sowohl orthogonal zueinander als auch normiert sind.

Ich kann jetzt natürlich nur Mutmaßungen anstellen, warum das bei anderen anders gemacht wird. Es gibt natürlich verschiedene Wege, um die Zerlegung zu bestimmen. Man kann die Unbekannten Werte der Matrizen L und R z.B. auch als Lösung eines Linearen Gleichungssystems betrachten. Sofern in den anderen Videos aber ähnlich gearbeitet wurde wie hier, dann würde ich mich eher an die Methode hier halten aus folgenden Gründen: 1. Ich habe bewusst immer Umformungen angewandt, die einer Elementarmatrix vom Typ II entsprechen (siehe de.wikipedia.org/wiki/Elementarmatrix ), damit es überschaubar bleibt. Man hätte natürlich mehrere Elementarmatrizen in einem Schritt kombinieren können, sofern es sich bei gegebener Matrix anbietet, aber dann ist es eben weniger offensichtlich, was passiert. 2. Bei der Art und Weise wie es hier gemacht wurde, sind die Einträge für die Matrix L direkt offensichtlich. Ich bezweifle, dass das bei beliebigen anderen Methoden auch immer der Fall ist. 3. Das Verfahren hier ist zumindest meiner Meinung nach der Standard und lässt sich auch andererorts schnell wiederfinden ( z.B. engl Wiki en.wikipedia.org/wiki/LU_decomposition#Algorithms ) Dann muss man nicht so oft umdenken, wenn man mal neue Quellen vor sich hat.

Das freut mich!

Ja, ich habe wieder etwas Zeit gefunden und versuche vor allem Community-Fragen zu beantworgen.

Vielen Dank! Du hast Recht. Aus diesem Grund habe ich das Beispiel nochmal neu gemacht: czcams.com/video/TZrQSKTsa0g/video.html

Sehr gerne!

Ob du den Ausdruck vor oder nach dem Ausmultiplizieren gleich epsilon setzt, spielt keine Rolle. Beides wäre für epsilon selbst in Ordnung, ändert aber nichts daran, dass delta nicht von sich selbst abhängen darf, was bei delta = eps/(delta+2|y| der Fall wäre. Du hättest immernoch nach delta auflösen müssen, um es nur in Abhängigkeit von epsilon und y zu bestimmen.

Schade. Wenn du genauer sagen kannst, wo dein Problem liegt oder welcher Aufgabentyp dir Schwierigkeiten macht, könnte ich dazu ggf noch ein Video machen.

Du könntest die Determinante von U und V bestimmen. Beide müssen 1 sein. Wenn du -1 bei einem der beiden rauskriegst kannst du eine Spalte der jeweilgen Matrix mal -1 nehmen.

@@kirillolkhovsky9160 Danke für den Hinweis. Das wäre ja niederschwelllig vom Aufwand.

@@kirillolkhovsky9160 Sorry, aber das ist viel zu leicht gedacht. Selbst das Beispiel aus dem Video zeigt, dass das so nicht funktionieren wird. Die Anpassung im Videobeispiel ändert zwei Vorzeichen von Vektoren, d.h. das Vorzeichen der Determinanten wurde gar nicht verändert.

@@Scotti.Q Ganz so leicht wie beschrieben funktioniert es dann leider doch nicht. Tatsächlich ist es in der Praxis ein vieldiskutiertes Problem, da es nicht nur darum geht, passende Sign-Switches zu finden, sondern (da potentiell mehrere Möglichkeiten existieren), auch die Frage im Raum steht, welcher Sign-Switch der Richtige für die konkrete Anwendung ist. Eine vollständige Antwort kann ich dir leider auch nicht liefern. Hier wurde das Problem beispielsweise mal andiskutiert: math.stackexchange.com/questions/2828430/what-constraints-are-needed-to-make-singular-value-decomposition-a-unique-transf und in diesem Paper findest du ein Beispiel für eine Sign-Switch-Funktion auf Seite 13: www.researchgate.net/publication/227677444_Resolving_the_sign_ambiguity_in_the_singular_value_decomposition#fullTextFileContent

Ok, vielen Dank für das Feedback. Ich versuche dazu noch etwas zu machen.

Ich habe foldendes Video erstellt und hoffe, dass es dir hilft: czcams.com/video/JZ5LhYRMPmk/video.html

Die Wahrscheinlichkeiten wurden festgelegt. Es ging hier einfach darum ein kleines anschauliches Beispiel für eine Markovkette zu generieren. Das Ganze hätte mit Wahrscheinlichkeiten wie 1/2 und 1/2 auch funktioniert.

​@@algebraba2911Verstehe, aber wie sieht es dann mit den Dämpfungsfaktor aus? Wie integriert man ihn in die Matrix ein

Vielen Dank für den wertvollen Hinweis. Ich werde zeitnah noch ein Video mit einem allgemeinerem Beispiel machen bei dem man nicht nur teilerfremde Zahlen betrachtet und dann tatsächlich nicht nur das Produkt braucht.

Du hast die Begriffe etwas durcheinander gebracht. Wir betrachen den Rang der Matrix und die Dimension des (Eigen-)raumes. Mir ist deine Frage nicht ganz klar. Wir definieren die geometrische Vielfachheit über die Dimension des Eigenraums. Durch diesen Bezug zum geometrischen Objekt eines Raums kommt ja auch der Name. Wieso sollte es dann möglich sein, eine geometrische Vielfachheit von 0 zu haben? Per Definition gehört zu einem Eigenwert ein Eigenvektor der nicht null ist, also enthält der Eigenraum mindestens den Span dieses Vektors und ist damit mindestens eindimensional. Diese Eigenschaft kann man sich auch zu nutze machen: Wenn eine nxn-Matrix n verschiedene Eigenwerte hat, brauchen wir nichts zu prüfen, da wir dann automatisch wissen, dass jeder eine geometrische Vielfachheit von genau 1 hat.

@@algebraba2911 "per definition gehört zu einem eigenwert ein eigenvektor der nicht null ist" diese info hat mir gefehlt :). War verwirrt da ich eigenwert 0, 2 und -2 hatte und nicht genau wusste wie ich die jordanblöcke bei nem eigenwert 0 bilde...