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Matam
France
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Présentation et résolution de problèmes avec des raisonnements et/ou des résultats que je trouve élégants et intéressants à partager.
UN PETIT BIJOU 💎
\int_0^1 x \lfloor \frac{1}{x}
floor \; dx
# Intégrale
# Analyse
# Mathématique
floor \; dx
# Intégrale
# Analyse
# Mathématique
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Video
UN RESULTAT ASSEZ SURPRENANT 🤔
zhlédnutí 15KPřed 14 dny
\sum_{k=1}^n k! \sim # Mathématiques # Analyse # Série
ANGLE DE LANCER OPTIMAL 🎾
zhlédnutí 7KPřed 21 dnem
Angle de lancer optimal ? #maths #trigonométrie #physics #science #calcul #equation #education
L'AIRE D'UN DRÔLE DE FLOCON ❄️
zhlédnutí 1,3KPřed měsícem
Aire du flocon de Von Koch # Mathématiques # Analyse # Suite # Géométrie
DES COSINUS IMBRIQUES 🧱
zhlédnutí 2,4KPřed měsícem
U_0 \in \mathbb{R} U_{n 1}=\cos U_n # Mathématiques # Suite # Analyse
EXPONENTIEL OU FACTORIEL ? 💪
zhlédnutí 9KPřed měsícem
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a^n}{n!}$ #Mathématiques #Limite #Factoriel #exponentielle
UNE JOLIE QUESTION 🧐
zhlédnutí 10KPřed měsícem
\cos(frac{\pi}{10}) #Mathématiques #Calcul #Trigonométrie
je me garde ce poulet de côté
Super vidéo, magnifique intégrale et magnifique solution ! Quel filtre graphique appliques-tu et (avec quel logiciel) sur tes équations ?
Merci.
C'est quel niveau, Bac +....? Juste pour savoir, J'ai quitté l'école à 16 ans, Mais là science m'intrigue..!
Très instructif, j’ai utilisé une autre méthode très rapide qui ne demande pas d’énormes expressions : Il y a une formule qui stipule que pour tout x réel on a : arctan(x)+arctan(1/x)=pi/2 (Cela peut se démontrer en dérivant à gauche, on trouve 0 ce qui implique que le résultat est constant, on peut calculer par exemple en x=1 et on trouve bien pi/2) Ainsi : arctan(2) = pi/2 - arctan(1/2) et arctan(3) = pi/2 - arctan(1/3) On a donc : S = arctan(1) - arctan(1/2) - arctan(1/3) + pi Or, on peut montrer géométriquement par découpe d’angle que : arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3) Enfin on trouve : S = arctan(1) - arctan(1) + pi S = pi Voila c’est tout merci beaucoup pour ta vidéo et continue comme ça 👍
Très joli ! Attention, la formule Atg (x)+ Atg (1/x) = π/2 n'est valable que pour x > 0...
La preuve "par découpe d’angle que : arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3)" ne paraît pas évidente... En revanche, si a = Atg (1/2) et b = Atg (1/3), alors tg (a+b) = (1/2 + 1/3) / (1 - 1/6) = 1, ce qui prouve l’égalité.
J’allais dire que cela me faisait penser à la methode pour résoudre les équations de type ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 mais tu m’as retiré les mots de la bouche à la fin 😅
Oui c'est comme ça que j'ai eu l'idée !
Merci beaucoup pour ce contenu de haute qualité et très agréable à regarder Continue comme ça 💪💪
Merci à toi 😁
j'ai pas regardé la vidéo mais a priori c'est pas comme ça que vous faites. chgt de var u = 1/x, on découpe trivialement puis on est à une transformation d'abel de zeta(2). bcp plus simple que de s'emebeter avec des 1/x pour x<1 ...
Plus simple, mais pas plus accessible. Je dois choisir entre les deux :/
Merci pas tout compris je reregarderai
Bravo pour ce petit bijou !! Je ferai cependant deux remarques : 1 - la figure représentant la fonction f(x) = x [1/x] n’est pas exacte… Les segments (une fois prolongés) passent par l’origine, ce qui ne correspond pas à votre graphique. Plus précisément, le segment correspondant à x € ]1/(k+1), 1/k ] joint les points Mk (1/(k+1), k/(k+1)) et Nk (1/k, 1). Ces deux points sont sur la droite y = k x, et les Mk sont alignés sur la droite x + y = 1, et les Nk sur la droite y = 1. NB : Le segment Mk Nk est ouvert en Mk. NB2 : tous les segments sont inclus dans le carré [0, 1] x [0, 1]. 2 - on peut s’inspirer du graphe pour une approche géométrique du calcul, en constatant que l’intégrale sur [0, 1] de f est aussi la somme infinie des trapèzes définis par les segment Mk Nk et leurs projections sur Ox, à savoir les segments ]1/(k+1), 1/k ]. Si on appelle Ak l’aire du trapèze d’ordre k, alors Ak est le produit de la base par la demi-somme des hauteurs, et donc (en calculant 2 Ak) : 2 Ak = (1/k - 1/(k+1)) (1 + k/(k+1)) En développant (audace !) : 2 Ak = 1/k - 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 En sommant pour k € N*, on retrouve le télescopage, et aussi la somme zêta (2). Merci pour vos intéressantes videos !
Il a dit que c’était pas un graphe exact, simplement un moyen de ce donner des idées
@@Toonix11 Oui, bien sûr... mais le graphe exact donne aussi une méthode efficace de calcul de l'intégrale, c'est pour cela que j'ai essayé d'approfondir. Merci pour votre remarque.
Si on n’étudie pas le graphe, on peut aussi résoudre analytiquement : En posant t = 1/x, et dx = -1/t^2 dt, on obtient I = ∫ [t] / t^3 dt sur [1, +∞ [ Comme [t] / t^3 ~ 1/t^2 lorsque t -> ∞, l’intégrale est convergente. En séparant l’intervalle : I = ∑ Jn pour n € N*, avec Jn = ∫ [t] / t^3 dt sur [n, n+1[ Ou encore Jn = ∫ n / t^3 dt sur [n, n+1[. En intégrant : Jn = n/2 [1/n^2 - 1/(n+1)^2] On retrouve les mêmes termes que dans la video (normal !) et on finit le calcul de la même façon, avec pour résultat π^2 / 12. NB : le changement de variable permet de simplifier les calculs, et aussi de prouver facilement la convergence.
Merci pour vos retours réguliers sous mes vidéos jp !
@@m.a.t.a.m You're welcome !!
J’étais arrivé jusqu’à la somme mais j’avais pas vu l’astuce du k+1-1 malheureusement, donc j’étais bloqué, et même si je m’étais débrouillé pour faire apparaître la somme des inverses des carrés j’avais une autre somme que je savais pas calculer… je pense que j’aurais pu la faire avec une grosse astuce consistant à transformer le 1/k en intégrale et en permutant les symboles mais ça partait loin mdr
Ce n'est pas trop grave. On peut se débrouiller avec une DES, mais la technique belge est tellement rapide ici !
Plus qu'à refaire la vidéo en corrigeant notamment toutes les erreurs repérées dans les commentaires. Mais elle est déjà très bien. ;-)
Sympa ! J'avais jamais eu l'intuition qu'avec une hauteur de tir l'angle max n'est pas 45 degrés...
Moi de même !
Est-il justifié d'évaluer en k=-1 malgré que k soit initialement défini sur N ? Je sors de ma terminale je n'ai pas encore étudié la décomposition en éléments simples
Ce n'est pas un problème, la décomposition que j'écris est valable sur ℝ, elle l'est donc aussi sur ℕ*. C'est cool de voir que j'arrive à intéresser des terminales !
ℝ privé de {-2,-1,0} !!!!
Une autre manière de traiter la décomposition en élément simple c’est d’identifier les termes puis de résoudre un système : On a : a/k + b/k+1 + c/k+2 On met tout sur le meme dénominateur : [a(k+1)(k+2) + b(k)(k+2) + c(k)(k+1)]/k(k+1)(k+2) D’où : a(k+1)(k+2) + b(k)(k+2) + c(k)(k+1) = 1 En développant puis refactorisant par les puissances de k on se trouve avec : k^2(a+b+c) + k(3a+2b+c) + 2a = 1 Par identification on obtient : a+b+c = 0 3a+2b+c = 0 2a = 1 Le système est facile à résoudre et on retrouve bien : a = 1/2 b = -1 c = 1/2 Voilà j’espère que cette technique pourra t’être utile 👍
Une masterclass...Tout simplement.
Merci beaucoup !
excellent travail
Merci !
tres sympathique
Merci !
12:20 Une manière de voir la dimension d'un objet, c'est de voir comment l'une de ses caractéristique se comporte lorsque la taille de l'objet est modifiée. Dans le cas d'un carré plein, une caractéristique pertinente est son aire (son volume n'aurait pas de sens). Soit un carré plein de côté a. Son aire est A=a². Multiplions le côté du carré plein par N. Sa nouvelle aire est A'=(a×N)²=a²×N²=A×N^d avec d=2, qui est ce qu'on appelle la dimension du carré plein. Soit maintenant un cube de côté a. Une caractéristique pertinente est ici son volume. Le volume du cube en question est V=a³. Multiplions le côté du cube par N. Son nouveau volume est V'=(a×N)³=a³×N³=V×N^d, avec d=3, qui est ce qu'on appelle la dimension du cube. Rappelons la subtilité suivante : la dimension d'un cercle est de 1 et celle d'un disque est de 2. En 12:27, vous dites que le flocon n'est pas une figure en 2 dimensions. Mais strictement parlant, le flocon est une courbe, donc de dimension 1 (on parle d'ailleurs de courbe de Koch, 3 d'entre elles formant le flocon). Soit maintenant une courbe de Koch, que je représente schématiquement par _/\_ . Comment se comporte sa longueur L lorsque sa taille triple ? Cette longueur est infinie, mais pour simplifier on va la noter L quand même. Hé bien, après triplement de la taille, il comporte alors 4 copies de lui-même. Donc la nouvelle longueur L' vérifie L'=4L=3^d×L, où d est par définition la dimension de l'objet. On a donc 3^d=4, donc d= ln 4/ ln 3. Cette explication n'est pas très satisfaisante, car comme on l'a indiqué, la longueur de la courbe de Koch ( _/\_ ) est infinie. Il existe plusieurs définitions de la notion de dimension fractale (voir « dimension fractale » sur Wikipédia), qui permettent probablement de définir la dimension de la courbe de Koch de manière plus rigoureuse. Comme très souvent, la version anglophone de l'article est bien plus riche que la version francophone. Je ne suis pas du tout spécialiste de la question. En 9:28, n'oubliez pas le + devant le symbole infini, on est en France, où l'on indique explicitement le + pour +∞, ce qui est assez logique, ∞ n'étant pas un nombre, il vaut mieux distinguer les deux infinis sous la forme +∞ et -∞ que sous la forme ∞ et -∞ (à ce sujet on remarque une dissymétrie dans les deux boucles du symbole infini dans la police de caractère qu'emploie CZcams pour le champ de commentaire. Les concepteurs de certaines polices de caractères devraient retourner à l'école car ça ne va pas du tout, ces ignares d'artistes ont cru voir un genre de 8 renversé. Donald Knuth, mathématicien et aussi concepteur de police de caractère, n'a pas fait cette grossière erreur. Malheureusement CZcams n'a pas retenu l'une des polices de caractère conçue par Donald Knuth).
Merci pour ce retour permettant d'apporter de la clarté !
Bonjour et merci. À 15:00 il manque tout de même une justification pour scinder la somme en deux...
Elle converge puisque l’integrale converge
Il faut justifier la convergence des deux sommes
Vous avez raison, parfois compliqué de savoir ce qu'il faut justifier ou non...
Utilisez \leqslant au lieu de \leq. D'une part, on est en France, où ce symbole est systématiquement utilisé, d'autre part les Américains ignorent que c'est le symbole recommandé par la norme ISO 80000-2 (voir Wikipedia). Le symbole \leq prisé par les Américains est moche, et donc à éviter. La même remarque s'applique pour le symbole supérieur ou égal. Seconde remarque : n'oubliez pas que les phrases comportant des équations restent des phrases, et donc comportent des signes de ponctuation comme le point final. Vous pouvez parfaitement inclure un point à la fin d'une équation hors ligne, avant la fin de l'environnement en question. Merci d'utiliser ce qui semble être l'outil manim pour l'animation de vos vidéos, avec un style de rendu personnalisé. Vous réalisez comment ce style de rendu qui par exemple rend variable l'épaisseur des traits ?
Êtes-vous professeur ? J'ai l'impression d'avoir en face de moi mon professeur tatillon, mais je ne vous le reproche pas, bien au contraire. Merci beaucoup pour votre retour, j'en prends note. Malheureusement, je crois avoir pris le réflexe d'écrire \le sur LaTeX. J'utilise LaTeX et Illustrator pour le rendu !
4:57 Vous écrivez v_x=... + v_{x0} et de même pour la composante y. Au lieu de v_{x0}, il me semble plus correct d'écrire v_{0x} : il s'agit de la composante x du vecteur v_0, vecteur introduit dans la ligne précédente. Or votre écriture fait plutôt référence à la valeur initiale de la composante x du vecteur v, Le lien avec la ligne précédente où apparaît le vecteur v_0 est moins évident.
Exact !
Magnifique merci
Wow, comment as-tu fait pour avoir cette police avec manim ? (ou autre ?)
LATEX saupoudré d'Illustrator !
@@m.a.t.a.m ah ok 😂
Magnifique.
Salut ! Super vidéo ! Juste une question : quel logiciel ou application utilise tu pour avoir ces animations et cette police ????
LATEX, Illustrator, Powerpoint ! (et un peu Première Pro)
@@m.a.t.a.m merci beaucoup ☺️ !
La partie entière inférieure de x est supérieure stricte à x-1 et inférieure ou égale à x
Superbe vidéo !
Merci bien 😁
(INF)!=INF INF+some positive numbers=INF
pour le résultat des 11 101 1001... a la fin (18:23), on peut deja remarquer que les inverse des 0.9, 0.99, 0.999 sont les nombres 1.1111, 1.01010101... 1.001001001... etc ce qui ressemble beaucoup aux nombres obtenu, et cet inverse correspond a sum(k!,k=0, n)/n! que l'on peut décomposer en n!/n! + sum(k!,k=0, n-1)/n! = 1 + sum(k!,k=0, n-1)/n! on veut donc que sum(k!,k=0, n-1)/n! <=0.0...010...01 en particulier (n-1)!/n! < 0.0...010...01 d'ou 1/n < 0.0...010...01 donc n > 99 et on est déjà assez proche des résultat obtenu, malgré une minoration assez grossière de n, en fait, les termes deviennent tellement vite négligeable que cette approximation a 2 termes est déjà vraiment bonne
7:38 la représentation graphique de la fonction x partie entière de 1/x est incorrecte. Elle est majorée par 1, et composée de segments de droites passant par l'origine dont la pente est de plus en plus grande quand x s'approche de 0.
Oui, c'est exact. En fait, pour réaliser cette vidéo, je me suis dit qu'incorporer le graphe était une bonne manière d'avoir une approche simple et intuitive. Cependant, le graphe sur GeoGebra ne me semblait pas très clair au voisinage de 0, j'ai donc pris l'initiative d'en faire une approximation qui permet de comprendre l'idée. Je le précise heureusement dans la vidéo !
@@m.a.t.a.m Merci de cette réponse. Il aurait été souhaitable de modifier l'image pour ne pas troubler des apprenants curieux.
@@YannCogan J'y penserai à deux fois pour la prochaine fois !
Très sympa comme chaîne, continu !
Merci beaucoup 😁
super video, je trouve ca accessible meme pour moi qui rentre en prepa
Bon courage et merci !
Génial!
Merci beaucoup !
mon gazo j'ai l'impression que c"est juste ce que tu fais au premier cours de méca en terminale mais en rajoutant des intégrales aux bornes chelou
En terminale, avec mon professeur, la notion d'intégrale n'était pas vue tout de suite, donc nous faisions des primitives, puis nous utilisions les conditions initiales "à la main" (ce dont tu parles j'imagine). L'intégration rend le tout plus rapide, selon moi.
@@m.a.t.a.m la mala est ganx...
Mon prof ajoutait à la fin : 'Allez l'OM'
Une autre méthode, que je trouve personnellement plus simple, est d'effectuer le changement de variable u=1/x qui est un C1 difféomorphisme ]0,+inf[ sur ]0,+inf[. On a dx=-1/u^2 du. L'intégrale devient alors : I = - int(entre 1 et +inf)(floor(u)/u^3)). Maintenant, on subdivise l'intervalle [1,+inf[ en [k,k+1[. Je trouve que c'est plus simple à manipuler. Certes, celà revient à la même chose, mais je toruve que c'est plus intuitif que de subdiviser comme vous l'avez fait.
J'ai essayé de rendre cette intégrale la plus accessible possible, mais le changement de variable n'est, je crois, pas au programme de terminale (le symbole sigma non plus, mais bon...). Donc, je me voyais mal faire un changement de variable sur une fonction aussi """"bizarre""""" (bornes et cpm).
C'est une fonction bro
Nice mais juste une petite coquille à 6:42 La partie entière de 1/2 n'est pas égale à 1.
Non
Le problème est déjà un peu plus amusant avec une atmosphère homogène calme et un projectile rigoureusement sphérique. L’intégration n’est guère plus compliquée.
Trés bien pour une terre plate, sans rotation, dans un champ de gravité constant et sans atmosphère. Ça fait beaucoup d’approximations qui ne sont licites que pour une très faible portée. Le calcul d’une trajectoire d’artillerie, ou même d’une balle de fusil est infiniment plus complexe et la trajectoire n’à strictement rien à voir avec une parabole.
Ba oui c’est pas la question ici c’est un problème d’introduction et qui ce veux plus math que physique Mais je t’en prie donne nous la solution sans AUCUNE approximation
calcul d'une intégrale très instructif (pour l'existence malheureusement certains commentaires mettent en évidence que la preuve est faillible) en admettant l'existence, une autre astuce pour le calcul est d'écrire le k en facteur comme une somme d'unités et d'intervertir les deux symboles sigma (tout est positif tu fais ce que tu veux), et ça se simplifie assez vite
Très belle intégrale et un surprenant résultat qui fait référence au fameux problème de Bâle, reliant ainsi cette intégrale à la théorie des nombres. Euler devrait pousser des grimaces à où il est. C'est ça la magie des mathématiques.
Absolument d'accord !!!!
Il manque la résistance a l'air ;) Le calcul est bon sur la lune, pas sur terre :D
Sans manquer de respect pour moi ce que tu racontes c'est de l'hébreu
La "preuve" de l'existence de l'intégrale n'est pas correcte du tout. 1) EDIT : Confusion de ma part entre fonction CPM sur ]0,1] et sur [0,1] 2) Il y a des petites erreurs dans les inégalités, et faudrait justifier les équivalences, mais à la limite ça c'est pas bien grave. 3) Pour montrer que l'intégrale existe, tu utilises cette même intégrale... c'est un raisonnement circulaire, ça peut pas marcher. Et puis je vois pas pourquoi l'encadrement final permettrait de conclure. Ici c'est beaucoup plus simple que ça : la fonction est réglée donc elle est intégrable au sens de Riemann, mais malheureusement ça c'est plus au programme de prépa
Je pense qu'on peut s'en sortir avec le fait que f tende vers 1 en 0. Ainsi, elle est intégrable au voisinage de 0, puis elle est intégrable sur tout intervalle [a,1] a>0 puisque continue par morceaux
Tu connais la définition d’une fonction continue par morceaux sur un intervalle ? Tu me sembles un peu perdu…
l'intégrale de Riemann est abordée en prépa, même dans les petites, et accessible au lycée sinon c'est parfaitement possible de montrer qu'elle converge : on ne somme que du positif, et c'est majoré par une fonction intégrable, c'est nickel
@@pom737 ouais, il est totalement à l’ouest l’autre 😂
@@clement4512 Oui, c'est vrai qu'on peut se servir des intégrales généralisées pour faire illusion. Mais bon c'est pas très élégant
Super, en plus c'est une intégrale qui peut faire peur mais qu'on peut calculer sans avoir un niveau de fou. Je le mets dans ma liste d exos
Woooow j'aurais jamais cru à l'apparition du π jusqu'au moment où j'ai vu la somme infinie et le carré en dessous 🤩🤩
résultat fascinant et très belle présentation merci
Merci !
Non suelement la solution est magnifique mais en plus... ON A ENFIN TROUVÉ UNE UTILITÉ À LA RELATION DE CHASLES
Et la méthode des rectangles alors?
En vrai ça sert à quoi ce truc dans la vie de tous les jours
C bien une réponse de toquards ça... Vas voir "Les maths ne servent à rien" d'Axel Arno, t'auras ta réponse @@juliencarbone01
@@juliencarbone01Dans la vie de tous les jours, à rien de spécial, mais pourquoi cette question ? Heureusement que l'on ne fait pas que des trucs purement pour "la vie de tous les jours", la vie serait bien fade sinon ! Ça a la même utilité dans la vie de tous les jours que l'histoire, la littérature, regarder des films ou des séries, faire des sudoku, jouer à des jeux : pour le plaisir, pour s'entraîner intellectuellement, etc. De plus les scientifiques s'en servent pour faire avancer les sciences et donc fatalement ça se répercute sur les technologies et techniques du quotidien.
@@DanielBWilliamsJe n'aurais pas répondu mieux
c'est beau, merci très bonne vidéo !
Merci à vous pour votre commentaire (et votre magnifique photo de profil !)