Video

je me garde ce poulet de côté

Super vidéo, magnifique intégrale et magnifique solution ! Quel filtre graphique appliques-tu et (avec quel logiciel) sur tes équations ?

Merci.

C'est quel niveau, Bac +....? Juste pour savoir, J'ai quitté l'école à 16 ans, Mais là science m'intrigue..!

Très instructif, j’ai utilisé une autre méthode très rapide qui ne demande pas d’énormes expressions : Il y a une formule qui stipule que pour tout x réel on a : arctan(x)+arctan(1/x)=pi/2 (Cela peut se démontrer en dérivant à gauche, on trouve 0 ce qui implique que le résultat est constant, on peut calculer par exemple en x=1 et on trouve bien pi/2) Ainsi : arctan(2) = pi/2 - arctan(1/2) et arctan(3) = pi/2 - arctan(1/3) On a donc : S = arctan(1) - arctan(1/2) - arctan(1/3) + pi Or, on peut montrer géométriquement par découpe d’angle que : arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3) Enfin on trouve : S = arctan(1) - arctan(1) + pi S = pi Voila c’est tout merci beaucoup pour ta vidéo et continue comme ça 👍

J’allais dire que cela me faisait penser à la methode pour résoudre les équations de type ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 mais tu m’as retiré les mots de la bouche à la fin 😅

Merci beaucoup pour ce contenu de haute qualité et très agréable à regarder Continue comme ça 💪💪

j'ai pas regardé la vidéo mais a priori c'est pas comme ça que vous faites. chgt de var u = 1/x, on découpe trivialement puis on est à une transformation d'abel de zeta(2). bcp plus simple que de s'emebeter avec des 1/x pour x<1 ...

Merci pas tout compris je reregarderai

Bravo pour ce petit bijou !! Je ferai cependant deux remarques : 1 - la figure représentant la fonction f(x) = x [1/x] n’est pas exacte… Les segments (une fois prolongés) passent par l’origine, ce qui ne correspond pas à votre graphique. Plus précisément, le segment correspondant à x € ]1/(k+1), 1/k ] joint les points Mk (1/(k+1), k/(k+1)) et Nk (1/k, 1). Ces deux points sont sur la droite y = k x, et les Mk sont alignés sur la droite x + y = 1, et les Nk sur la droite y = 1. NB : Le segment Mk Nk est ouvert en Mk. NB2 : tous les segments sont inclus dans le carré [0, 1] x [0, 1]. 2 - on peut s’inspirer du graphe pour une approche géométrique du calcul, en constatant que l’intégrale sur [0, 1] de f est aussi la somme infinie des trapèzes définis par les segment Mk Nk et leurs projections sur Ox, à savoir les segments ]1/(k+1), 1/k ]. Si on appelle Ak l’aire du trapèze d’ordre k, alors Ak est le produit de la base par la demi-somme des hauteurs, et donc (en calculant 2 Ak) : 2 Ak = (1/k - 1/(k+1)) (1 + k/(k+1)) En développant (audace !) : 2 Ak = 1/k - 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 En sommant pour k € N*, on retrouve le télescopage, et aussi la somme zêta (2). Merci pour vos intéressantes videos !

J’étais arrivé jusqu’à la somme mais j’avais pas vu l’astuce du k+1-1 malheureusement, donc j’étais bloqué, et même si je m’étais débrouillé pour faire apparaître la somme des inverses des carrés j’avais une autre somme que je savais pas calculer… je pense que j’aurais pu la faire avec une grosse astuce consistant à transformer le 1/k en intégrale et en permutant les symboles mais ça partait loin mdr

Plus qu'à refaire la vidéo en corrigeant notamment toutes les erreurs repérées dans les commentaires. Mais elle est déjà très bien. ;-)

Sympa ! J'avais jamais eu l'intuition qu'avec une hauteur de tir l'angle max n'est pas 45 degrés...

Est-il justifié d'évaluer en k=-1 malgré que k soit initialement défini sur N ? Je sors de ma terminale je n'ai pas encore étudié la décomposition en éléments simples

Une masterclass...Tout simplement.

excellent travail

tres sympathique

12:20 Une manière de voir la dimension d'un objet, c'est de voir comment l'une de ses caractéristique se comporte lorsque la taille de l'objet est modifiée. Dans le cas d'un carré plein, une caractéristique pertinente est son aire (son volume n'aurait pas de sens). Soit un carré plein de côté a. Son aire est A=a². Multiplions le côté du carré plein par N. Sa nouvelle aire est A'=(a×N)²=a²×N²=A×N^d avec d=2, qui est ce qu'on appelle la dimension du carré plein. Soit maintenant un cube de côté a. Une caractéristique pertinente est ici son volume. Le volume du cube en question est V=a³. Multiplions le côté du cube par N. Son nouveau volume est V'=(a×N)³=a³×N³=V×N^d, avec d=3, qui est ce qu'on appelle la dimension du cube. Rappelons la subtilité suivante : la dimension d'un cercle est de 1 et celle d'un disque est de 2. En 12:27, vous dites que le flocon n'est pas une figure en 2 dimensions. Mais strictement parlant, le flocon est une courbe, donc de dimension 1 (on parle d'ailleurs de courbe de Koch, 3 d'entre elles formant le flocon). Soit maintenant une courbe de Koch, que je représente schématiquement par _/\_ . Comment se comporte sa longueur L lorsque sa taille triple ? Cette longueur est infinie, mais pour simplifier on va la noter L quand même. Hé bien, après triplement de la taille, il comporte alors 4 copies de lui-même. Donc la nouvelle longueur L' vérifie L'=4L=3^d×L, où d est par définition la dimension de l'objet. On a donc 3^d=4, donc d= ln 4/ ln 3. Cette explication n'est pas très satisfaisante, car comme on l'a indiqué, la longueur de la courbe de Koch ( _/\_ ) est infinie. Il existe plusieurs définitions de la notion de dimension fractale (voir « dimension fractale » sur Wikipédia), qui permettent probablement de définir la dimension de la courbe de Koch de manière plus rigoureuse. Comme très souvent, la version anglophone de l'article est bien plus riche que la version francophone. Je ne suis pas du tout spécialiste de la question. En 9:28, n'oubliez pas le + devant le symbole infini, on est en France, où l'on indique explicitement le + pour +∞, ce qui est assez logique, ∞ n'étant pas un nombre, il vaut mieux distinguer les deux infinis sous la forme +∞ et -∞ que sous la forme ∞ et -∞ (à ce sujet on remarque une dissymétrie dans les deux boucles du symbole infini dans la police de caractère qu'emploie CZcams pour le champ de commentaire. Les concepteurs de certaines polices de caractères devraient retourner à l'école car ça ne va pas du tout, ces ignares d'artistes ont cru voir un genre de 8 renversé. Donald Knuth, mathématicien et aussi concepteur de police de caractère, n'a pas fait cette grossière erreur. Malheureusement CZcams n'a pas retenu l'une des polices de caractère conçue par Donald Knuth).

Bonjour et merci. À 15:00 il manque tout de même une justification pour scinder la somme en deux...

Utilisez \leqslant au lieu de \leq. D'une part, on est en France, où ce symbole est systématiquement utilisé, d'autre part les Américains ignorent que c'est le symbole recommandé par la norme ISO 80000-2 (voir Wikipedia). Le symbole \leq prisé par les Américains est moche, et donc à éviter. La même remarque s'applique pour le symbole supérieur ou égal. Seconde remarque : n'oubliez pas que les phrases comportant des équations restent des phrases, et donc comportent des signes de ponctuation comme le point final. Vous pouvez parfaitement inclure un point à la fin d'une équation hors ligne, avant la fin de l'environnement en question. Merci d'utiliser ce qui semble être l'outil manim pour l'animation de vos vidéos, avec un style de rendu personnalisé. Vous réalisez comment ce style de rendu qui par exemple rend variable l'épaisseur des traits ?

4:57 Vous écrivez v_x=... + v_{x0} et de même pour la composante y. Au lieu de v_{x0}, il me semble plus correct d'écrire v_{0x} : il s'agit de la composante x du vecteur v_0, vecteur introduit dans la ligne précédente. Or votre écriture fait plutôt référence à la valeur initiale de la composante x du vecteur v, Le lien avec la ligne précédente où apparaît le vecteur v_0 est moins évident.

Magnifique merci

Wow, comment as-tu fait pour avoir cette police avec manim ? (ou autre ?)

Magnifique.

Salut ! Super vidéo ! Juste une question : quel logiciel ou application utilise tu pour avoir ces animations et cette police ????

La partie entière inférieure de x est supérieure stricte à x-1 et inférieure ou égale à x

Superbe vidéo !

(INF)!=INF INF+some positive numbers=INF

pour le résultat des 11 101 1001... a la fin (18:23), on peut deja remarquer que les inverse des 0.9, 0.99, 0.999 sont les nombres 1.1111, 1.01010101... 1.001001001... etc ce qui ressemble beaucoup aux nombres obtenu, et cet inverse correspond a sum(k!,k=0, n)/n! que l'on peut décomposer en n!/n! + sum(k!,k=0, n-1)/n! = 1 + sum(k!,k=0, n-1)/n! on veut donc que sum(k!,k=0, n-1)/n! <=0.0...010...01 en particulier (n-1)!/n! < 0.0...010...01 d'ou 1/n < 0.0...010...01 donc n > 99 et on est déjà assez proche des résultat obtenu, malgré une minoration assez grossière de n, en fait, les termes deviennent tellement vite négligeable que cette approximation a 2 termes est déjà vraiment bonne

7:38 la représentation graphique de la fonction x partie entière de 1/x est incorrecte. Elle est majorée par 1, et composée de segments de droites passant par l'origine dont la pente est de plus en plus grande quand x s'approche de 0.

Très sympa comme chaîne, continu !

super video, je trouve ca accessible meme pour moi qui rentre en prepa

Génial!

mon gazo j'ai l'impression que c"est juste ce que tu fais au premier cours de méca en terminale mais en rajoutant des intégrales aux bornes chelou

Mon prof ajoutait à la fin : 'Allez l'OM'

Une autre méthode, que je trouve personnellement plus simple, est d'effectuer le changement de variable u=1/x qui est un C1 difféomorphisme ]0,+inf[ sur ]0,+inf[. On a dx=-1/u^2 du. L'intégrale devient alors : I = - int(entre 1 et +inf)(floor(u)/u^3)). Maintenant, on subdivise l'intervalle [1,+inf[ en [k,k+1[. Je trouve que c'est plus simple à manipuler. Certes, celà revient à la même chose, mais je toruve que c'est plus intuitif que de subdiviser comme vous l'avez fait.

C'est une fonction bro

Nice mais juste une petite coquille à 6:42 La partie entière de 1/2 n'est pas égale à 1.

Le problème est déjà un peu plus amusant avec une atmosphère homogène calme et un projectile rigoureusement sphérique. L’intégration n’est guère plus compliquée.

Trés bien pour une terre plate, sans rotation, dans un champ de gravité constant et sans atmosphère. Ça fait beaucoup d’approximations qui ne sont licites que pour une très faible portée. Le calcul d’une trajectoire d’artillerie, ou même d’une balle de fusil est infiniment plus complexe et la trajectoire n’à strictement rien à voir avec une parabole.

calcul d'une intégrale très instructif (pour l'existence malheureusement certains commentaires mettent en évidence que la preuve est faillible) en admettant l'existence, une autre astuce pour le calcul est d'écrire le k en facteur comme une somme d'unités et d'intervertir les deux symboles sigma (tout est positif tu fais ce que tu veux), et ça se simplifie assez vite

Très belle intégrale et un surprenant résultat qui fait référence au fameux problème de Bâle, reliant ainsi cette intégrale à la théorie des nombres. Euler devrait pousser des grimaces à où il est. C'est ça la magie des mathématiques.

Il manque la résistance a l'air ;) Le calcul est bon sur la lune, pas sur terre :D

Sans manquer de respect pour moi ce que tu racontes c'est de l'hébreu

La "preuve" de l'existence de l'intégrale n'est pas correcte du tout. 1) EDIT : Confusion de ma part entre fonction CPM sur ]0,1] et sur [0,1] 2) Il y a des petites erreurs dans les inégalités, et faudrait justifier les équivalences, mais à la limite ça c'est pas bien grave. 3) Pour montrer que l'intégrale existe, tu utilises cette même intégrale... c'est un raisonnement circulaire, ça peut pas marcher. Et puis je vois pas pourquoi l'encadrement final permettrait de conclure. Ici c'est beaucoup plus simple que ça : la fonction est réglée donc elle est intégrable au sens de Riemann, mais malheureusement ça c'est plus au programme de prépa

Super, en plus c'est une intégrale qui peut faire peur mais qu'on peut calculer sans avoir un niveau de fou. Je le mets dans ma liste d exos

Woooow j'aurais jamais cru à l'apparition du π jusqu'au moment où j'ai vu la somme infinie et le carré en dessous 🤩🤩

résultat fascinant et très belle présentation merci

Non suelement la solution est magnifique mais en plus... ON A ENFIN TROUVÉ UNE UTILITÉ À LA RELATION DE CHASLES

c'est beau, merci très bonne vidéo !